全単射

数学において、全単射、全単射関数、または一対一対応とは、 2つの集合間の関数であって、2番目の集合（終域）の各要素が、最初の集合（定義域）のちょうど1つの要素の像となるような関数のことである。関数が与えられた場合${\displaystyle f:A\to B}$要素の画像${\displaystyle a\in A}$要素${\displaystyle f(a)\in B}$終域における要素の逆像。${\displaystyle b\in B}$任意の要素${\displaystyle a\in A}$領域内で、${\displaystyle f(a)=b}$同様に、全単射とは、 2つの集合間の関係であり、一方の集合の各要素が他方の集合のちょうど1つの要素と対応付けられる関係のことである。

関数が全単射であるのは、それが可逆である場合に限る。つまり、関数が${\displaystyle f:X\to Y}$関数が存在する場合に限り、全単射である。${\displaystyle g:Y\to X,}$fの逆関数であって、 2 つの関数を合成する2 つの方法のそれぞれが恒等関数を生成するようなもの:${\displaystyle g(f(x))=x}$各${\displaystyle x}$で${\displaystyle X}$そして${\displaystyle f(g(y))=y}$各${\displaystyle y}$で${\displaystyle Y.}$

例えば、2を掛ける演算は整数から偶数への全単射を定義し、その逆関数は2で割る演算である。

関数が全単射であるのは、それが単射（または一対一）である（つまり、終域の各要素が定義域の要素のうち最大で１つから写像される）ことと、全射（または上への写像）である（つまり、終域の各要素が定義域の要素のうち少なくとも１つから写像される）ことの両方を満たす場合に限る。一対一対応という用語は、単射ではあるが必ずしも全射ではない一対一関数と混同してはならない。

基本的な演算である計数によって、ある有限集合から最初の自然数（1、2、3、…）への全単射が、計数対象の集合の要素数まで確立されます。したがって、2つの有限集合が同じ要素数を持つのは、それらの間に全単射が存在する場合に限ります。より一般的に言えば、2つの集合が同じ基数を持つとは、それらの間に全単射が存在する場合を指します。

集合からそれ自身への全単射関数は置換とも呼ばれ、^{[ 1 ]}集合のすべての置換の集合はその対称群を形成する。

さらに特性を持つ全単射の中には、自己同型写像​​、同型写像、同相写像、微分同相写像、置換、およびほとんどの幾何学的変換など、特定の名称が付けられているものがある。ガロア対応は、一見すると性質が大きく異なる数学的対象の集合間の全単射である。

集合Xの要素と集合Yの要素をペアにする二項関係が全単射であるためには、次の4つの性質が満たされなければならない。

1. Xの各要素は、Yの少なくとも1つの要素とペアにならなければならない。
2. Xのどの要素もYの複数の要素とペアになることはできない。
3. Yの各要素はXの少なくとも1つの要素とペアにならなければならず、
4. Yのどの要素も、Xの複数の要素とペアになることはできません。

性質 (1) と (2) を満たすということは、ペアリングが定義域Xを持つ関数であることを意味します。性質 (1) と (2) は、 Xのすべての要素がYのちょうど 1 つの要素とペアになっているという単一のステートメントとして記述される方が一般的です。性質 (3) を満たす関数は「 Yに全射」であると言われ、全射(または全射関数) と呼ばれます。性質 (4) を満たす関数は「単射関数」であると言われ、単射(または単射関数)と呼ばれます。^{[ 2 ]}この用語では、全単射とは全射かつ単射である関数、言い換えれば、全単射とは「単射」かつ「全射」である関数です。^{[ 3 ]}

空集合からそれ自身への写像はすべて全単射である。

• 任意の集合Xに対して、恒等関数1 _X : X → X、1 _X ( x ) = xは全単射である。
• 乗法逆関数は、単位区間(0, 1) と半無限区間 (1, +∞)の全単射を与える。
• 関数f : R → R、f ( x ) = 2 x + 1 は全単射です。なぜなら、各 y に対して、f ( x ) = y となるような x = ( y − 1)/2 が一意に存在するからです。より一般的には、実数上の任意の線形関数f : R → R、f ( x ) = ax + b (ただしaはゼロでない)は全単射です。各実数yは、実数x = ( y − b )/ aから得られる (またはペアになっている) ものです。
• 関数f : R → (−π/2, π/2) は、f ( x ) = arctan( x ) で定義され、全単射です。これは、実数xは区間 (−π/2, π/2) 内のちょうど 1 つの角度yと対応付けられ、 tan( y ) = x (つまり、y = arctan( x )) となるためです。もし終域 (−π/2,  π/2) を拡大して π/2 の整数倍を含めるようにすると、この arctan 関数によって π/2 の整数倍と対応付けられる実数は存在しないため、この関数はもはや全射ではなくなります。
• 指数関数g : R → R、g ( x ) = e ^xは全単射ではありません。例えば、g ( x ) = −1となるようなRのx は存在せず、 gが全射ではないことがわかります。ただし、終域を正の実数に限定すると、$\displaystyle \mathbb {R} ^{+}\equiv \left(0,\infty \right)}$すると、g は全単射になります。その逆関数 (下記参照) は自然対数関数 ln です。
• 関数h : R → R ⁺、h ( x ) = x ²は全単射ではありません。例えば、h (−1) = h (1) = 1 であり、hが単射ではないことを示しています。ただし、定義域が制限されている場合、${\displaystyle \mathbb {R} _{0}^{+}\equiv \left[0,\infty \right)}$その場合、hは全単射となり、その逆関数は正の平方根関数となる。
• シュレーダー・ベルンシュタインの定理によれば、任意の2つの集合XとY、および2つの単射関数f : X→Yとg : Y→Xが与えられたとき、全単射関数h : X→Yが存在する。

定義域がXである全単射f (関数表記ではf : X → Yと表記) は、YからXへ向かう逆関係(矢印を反転させることによって) も定義します。任意の関数に対して「矢印を反転させる」プロセスは一般に関数を生成するわけではありませんが、全単射の性質 (3) と (4) によれば、この逆関係は定義域がYである関数です。さらに、性質 (1) と (2) によれば、この逆関数は全射かつ単射であり、つまり逆関数が存在し、かつ全単射でもあります。逆関数を持つ関数は可逆であると言われます。関数が可逆であるのは、それが全単射である場合のみです。

簡潔な数学的記法で述べると、関数f : X → Yは、次の条件を満たす場合に限り全単射である。

Yのすべてのyに対して、y = f ( x )となるXの一意のxが存在する。

野球の打順の例を続けると、ここで定義されている関数は、選手の名前を入力として受け取り、その選手の打順における位置を出力します。この関数は全単射であるため、打順における位置を入力として受け取り、その位置で打席に立つ選手を出力する逆関数が存在します。

構成​${\displaystyle g\,\circ \,f}$2つの全単射${\displaystyle f:X\to Y}$そして${\displaystyle g:Y\to Z}$は全単射であり、その逆は次式で与えられる。${\displaystyle g\,\circ \,f}$は${\displaystyle (g\,\circ \,f)^{-1}\;=\;(f^{-1})\,\circ \,(g^{-1})}$。

逆に、構成が${\displaystyle g\,\circ \,f}$2 つの関数の関数が全単射である場合、 fが単射であり、gが全射であることだけが導かれる。

XとYが有限集合である場合、 XとY の間に全単射が存在するのは、XとYの要素数が等しい場合に限る。実際、公理的集合論では、これは「要素数が等しい」（等数性）の定義とされており、この定義を無限集合に一般化すると、無限集合の様々な大きさを区別する方法である基数の概念が得られる。

自然数との全単射を持つ無限集合は、可算無限集合であると言われます。同様に、整数または有理数との全単射を持つ無限集合も、自然数との全単射を持つため、可算無限集合です。この概念は、関数が可算であるかどうかを判断する上で不可欠です。

例えば、偶数f(n)=2nの集合は可算無限集合である。なぜなら、偶数と自然数の間には全単射が存在するからである。

• 関数f : R → Rは、そのグラフがすべての水平線と垂直線とちょうど一度ずつ交わる場合に限り、全単射である。
• Xが集合である場合、X からX自身への全単射関数と関数合成の演算 (${\displaystyle \circ }$) は群を形成し、Xの対称群を形成します。これは、S( X )、S _X、またはX ! ( X の階乗) などと表記されます。
• 全単射は集合の濃度を保存します。定義域の部分集合Aの濃度が | A | であり、終域の部分集合Bの濃度が | B | である場合、次の等式が成り立ちます。

  | f ( A )| = | A | および | f ⁻¹ ( B )| = | B |。

• XとYが同じ濃度を持つ有限集合であり、 f : X → Y が成り立つ場合、以下は同値である。
  1. fは全単射である。
  2. fは全射である。
  3. fは単射である。
• 有限集合Sに対して、要素の可能な全順序の集合とSからSへの全単射の集合の間には全単射が存在する。つまり、Sの要素の順列の数は、その集合の全順序の数と同じであり、n ! である。

全単射は、集合と集合関数の圏Setにおける同型写像にまさに当てはまります。しかし、より複雑な圏では、全単射が必ずしも同型写像になるとは限りません。例えば、群の圏Grpでは、射は群構造を保存する必要があるため準同型写像でなければなりません。したがって、同型写像は全単射準同型写像である群同型写像となります。

一対一対応の概念は部分関数にも一般化され、部分関数は部分全単射と呼ばれますが、部分全単射は単射であるだけで十分です。この緩和の理由は、(適切な)部分関数は既に定義域の一部で未定義であるため、その逆関数を全関数、つまり定義域全体で定義されている関数に制約する説得力のある理由がないからです。与えられた基底集合上のすべての部分全単射の集合は、対称逆半群と呼ばれます。^{[ 4 ]}

同じ概念を定義する別の方法として、AからBへの部分全単射とは、A ′ がAの部分集合であり 、B ′がBの部分集合であるような、全単射f : A ′ → B ′のグラフであるような関係R (これは部分関数であることが判明する) のことであると言うことができる。^{[ 5 ]}

部分全単射が同じ集合上にある場合、それは一対一の部分変換と呼ばれることがあります。^{[ 6 ]}例としては、拡張複素平面への完全変換ではなく、複素平面上で単純に定義されたメビウス変換が挙げられます。 ^{[ 7 ]}

• Ax-グロタンディークの定理
• 全単射、単射、全射
• 全単射数化
• 全単射証明
• 圏論
• 多値関数

このトピックは集合論の基本概念であり、集合論の入門書であればどれでも見つけることができます。証明の書き方を解説する入門書はほぼすべて集合論の章を含んでいるため、以下のいずれかの書籍でこのトピックが見つかる可能性があります。

• ホール、マーシャル・ジュニア（1959）。群論。マクミラン。
• Wolf (1998).証明、論理、推測：数学者の道具箱。Freeman。
• サンドストロム（2003）。数学的推論：記述と証明。プレンティス・ホール。
• スミス、エッゲン、セントアンドレ（2006）。高等数学への移行（第6版）。トムソン（ブルックス/コール）。
• シューマッハ（1996）。第0章：抽象数学の基本概念。アディソン・ウェスリー。
• オレアリー（2003）。証明の構造：論理と集合論とともに。プレンティス・ホール。
• モラッシュ著『抽象数学への架け橋』ランダムハウス刊。
• マドックス（2002）。数学的思考と記述。ハーコート/アカデミックプレス。
• レイ（2001）。解析学と証明入門。プレンティスホール。
• ギルバート、ヴァンストーン（2005）。数学的思考入門。ピアソン・プレンティス・ホール。
• フレッチャー、パティ。『高等数学の基礎』 PWS-ケント。
• イグレヴィッツ、ストイル。『数学的推論入門』マクミラン。
• デブリン、キース（2004）。集合、関数、論理：抽象数学入門。チャップマン＆ホール／CRCプレス。
• D'Angelo; West (2000).数学的思考：問題解決と証明. Prentice Hall.
• クピラリ（1989）。『校正の基礎』ワズワース。ISBN 9780534103200。
• ボンド著『抽象数学入門』ブルックス/コール社。
• Barnier; Feldman (2000).高度な数学入門. Prentice Hall.
• Ash.抽象数学入門。MAA。
• レイ、スティーブン・R. 『解析学と証明入門』第5版、ピアソン、2014年。
• タオ、テレンス。『分析I』第3版、ヒンドゥスタン・ブック・エージェンシー、2016年。

ウィキメディア・コモンズには、全単射性に関連するメディアがあります。

• 「全単射」、数学百科事典、EMS Press、2001年 [1994年]
• ワイススタイン、エリック W. 「全射」 . MathWorld .
• 数学用語の初期の使用例：単射、全射、全単射の項目では、単射および関連用語の歴史について説明しています。