位相代数

数学において、位相代数は 代数であると同時に位相空間であり、代数構造と位相構造が特定の意味で一貫しています。 ${\displaystyle A}$

位相体上の位相代数 は、双線型乗法を伴う 位相ベクトル空間である。${\displaystyle A}$ ${\displaystyle K}$

${\displaystyle \cdot :A\times A\to A}$、

${\displaystyle (a,b)\mapsto a\cdot b}$

これは上の代数になり、ある明確な意味で連続です。通常、乗算の連続性は、次の（同値ではない）要件のいずれかによって表現されます。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle K}$

• 同時連続性：^[1]ゼロの各近傍に対して、ゼロおよびとなる近傍が存在する（言い換えると、この条件は乗算が位相空間間の写像として連続であることを意味する）、または${\displaystyle U\subseteq A}$${\displaystyle V\subseteq A}$${\displaystyle W\subseteq A}$${\displaystyle V\cdot W\subseteq U}$${\displaystyle A\times A\to A}$
• ステレオタイプ連続性：^[2]各全有界集合 および各零近傍に対して、かつとなる零近傍が存在する、または${\displaystyle S\subseteq A}$${\displaystyle U\subseteq A}$${\displaystyle V\subseteq A}$${\displaystyle S\cdot V\subseteq U}$${\displaystyle V\cdot S\subseteq U}$
• 分離連続性：^[3]各要素および各ゼロ近傍に対して、およびとなるゼロ近傍が存在する。${\displaystyle a\in A}$${\displaystyle U\subseteq A}$${\displaystyle V\subseteq A}$${\displaystyle a\cdot V\subseteq U}$${\displaystyle V\cdot a\subseteq U}$

(確かに、共同連続性はステレオタイプ連続性を意味し、ステレオタイプ連続性は個別連続性を意味します。) 前者の場合は「共同連続乗算を持つ位相代数」と呼ばれ、後者の場合は「個別連続乗算を持つ位相代数」と呼ばれます。 ${\displaystyle A}$

単位結合位相代数は (時には)位相環と呼ばれます。

この用語はデイヴィッド・ファン・ダンツィヒによって造られ、彼の博士論文（1931年）のタイトルにも登場します。

1.フレシェ代数は、共連続乗算を持つ結合位相代数の例です。

2.バナッハ代数はフレシェ代数の特殊なケースです。

3.ステレオタイプ代数は、ステレオタイプ連続乗算を持つ結合位相代数の例です。

• nラボにおける位相代数

• ベッケンシュタイン、E.ナリシ、L.サフェル、C. (1977)。トポロジカル代数。アムステルダム：北オランダ。ISBN 9780080871356。
• Akbarov, SS (2003). 「位相ベクトル空間理論と位相代数におけるポンチャギン双対性」.数学科学ジャーナル. 113 (2): 179–349. doi : 10.1023/A:1020929201133 . S2CID  115297067.
• マリオス、A. (1986)。位相代数。アムステルダム：北ホラント。ISBN 9780080872353。
• Balachandran, VK (2000)。位相代数。アムステルダム:北ホラント。ISBN 9780080543086。
• Fragoulopoulou, M. (2005).反転を伴う位相代数. アムステルダム: 北ホラント. ISBN 9780444520258。