準ホップ代数

準ホップ代数は、1989 年にロシアの数学者ウラジミール・ドリンフェルトによって定義されたホップ代数の一般化です。

準ホップ代数とは、次のような 全単射反準同型S（対掌体）が存在する準双代数 である。${\displaystyle {\mathcal {B_{A}}}=({\mathcal {A}},\Delta ,\varepsilon ,\Phi )}$${\displaystyle \alpha,\beta\in{\mathcal{A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

${\displaystyle \sum _{i}S(b_{i})\alpha c_{i}=\varepsilon (a)\alpha }$

${\displaystyle \sum _{i}b_{i}\beta S(c_{i})=\varepsilon (a)\beta }$

すべての人のために、そしてどこで ${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}}$

${\displaystyle \Delta (a)=\sum _{i}b_{i}\otimes c_{i}}$

そして

${\displaystyle \sum _{i}X_{i}\beta S(Y_{i})\alpha Z_{i}=\mathbb {I} ,}$

${\displaystyle \sum _{j}S(P_{j})\alpha Q_{j}\beta S(R_{j})=\mathbb {I} .}$

ここで、量とに対する展開は次のように与えられる。 ${\displaystyle \Phi}$${\displaystyle \Phi^{-1}}$

${\displaystyle \Phi =\sum _{i}X_{i}\otimes Y_{i}\otimes Z_{i}}$

そして

${\displaystyle \Phi ^{-1}=\sum _{j}P_{j}\otimes Q_{j}\otimes R_{j}.}$

準双代数に関しては、準ホップであるという性質はねじれの下でも保存されます。

準ホップ代数は、ドリンフェルトツイストの研究と、量子アフィン代数の有限次元既約表現に関連する F 行列による表現の基礎を形成します。 F 行列は、対応するR 行列を因数分解するために使用できます。これは、量子アフィン代数として統計力学への応用につながり、その表現は、さまざまな統計モデルの可解条件であるヤン-バクスター方程式の解を生成し、モデルの特性を対応する量子アフィン代数から演繹することを可能にします。 F 行列の研究は、代数ベーテ仮説の枠組みの中でハイゼンベルクの XXZ モデルなどのモデルに適用されてきました。これは、量子逆散乱法を使用して2 次元の積分可能なモデルを解くための枠組みを提供します。

• 準三角ホップ代数
• 準三角形の準ホップ代数
• リボンホップ代数

• ウラジミール・ドリンフェルト、「準ホップ代数」、レニングラード数学誌1 (1989)、1419-1457
• JM Maillet および J. Sanchez de Santos、「Drinfeld Twists and Algebraic Bethe Ansatz」、Amer. Math. Soc. Transl. (2) Vol. 201、2000年