ホップ代数の表現論

抽象代数学では、ホップ代数の表現は、その基礎となる結合代数の表現である。^{[ 1 ] [ 2 ]}つまり、体K上のホップ代数Hの表現は、通常並置によって表される作用H × V → Vを持つK-ベクトル空間Vである(つまり、( h , v )の像はhv と書かれる)。ベクトル空間VはH-加群と呼ばれる。

ホップ代数Hの表現のモジュール構造は、その基底となる結合代数のモジュールとしての構造に他なりません。ホップ代数の追加構造を考慮する主な用途は、すべてのHモジュールを圏として考える場合です。追加構造は、HモジュールVの不変要素を定義するためにも使用されます。Vの要素vは、すべてのh ∈ Hに対してhv = ε ( h ) vが成り立つ場合、 Hの下で不変です。ここでεはHの余単位です。V のすべての不変要素のサブセットは、Vの部分モジュールを形成します。 

結合代数Hの場合、 2 つのH加群V ₁とV ₂のテンソル積V ₁ ⊗ V ₂はベクトル空間ですが、必ずしもH加群ではありません。テンソル積がH加群上の関数積演算であるためには、任意のv ∈ V ₁ ⊗ V ₂および任意のh ∈ Hに対して、線形二項演算Δ : H → H ⊗ Hが存在し、  

${\displaystyle hv=\Delta h(v_{(1)}\otimes v_{(2)})=h_{(1)}v_{(1)}\otimes h_{(2)}v_{(2)},}$

また、 V ₁ ⊗ V ₂の任意のvとHのaおよびbに対して、

${\displaystyle \Delta (ab)(v_{(1)}\otimes v_{(2)})=(ab)v=a[b[v]]=\Delta a[\Delta b(v_{(1)}\otimes v_{(2)})]=(\Delta a)(\Delta b)(v_{(1)}\otimes v_{(2)})。}$

スウィードラーの無和記法を用いる。これは、アインシュタインの総和規約のインデックスフリー形式にいくらか似ている。これは、 Hのすべてのa、bに対してΔ( ab ) = Δ( a )Δ( b )となるような Δ が存在する場合に満たされる。 

H加群の圏が⊗ に関してモノイド圏であるためには、${\displaystyle V_{1}\otimes (V_{2}\otimes V_{3})}$そして${\displaystyle (V_{1}\otimes V_{2})\otimes V_{3}}$は同値でなければならず、 ε _H ⊗ V、V 、およびV ⊗ ε _Hが同値となるような、自明なモジュールと呼ばれる単位対象ε _Hが存在しなければならない。

これは、任意のvに対して

${\displaystyle V_{1}\otimes (V_{2}\otimes V_{3})=(V_{1}\otimes V_{2})\otimes V_{3}}$

そしてh in Hの場合、

${\displaystyle ((\operatorname {id} \otimes \Delta )\Delta h)(v_{(1)}\otimes v_{(2)}\otimes v_{(3)})=h_{(1)}v_{(1)}\otimes h_{(2)(1)}v_{(2)}\otimes h_{(2)(2)}v_{(3)}=hv=((\Delta \otimes \operatorname {id} )\Delta h)(v_{(1)}\otimes v_{(2)}\otimes v_{(3)}).}$

これは、Δが以下の条件を満たす場合、任意の3つのHモジュールに対して成り立つ。

${\displaystyle (\operatorname {id} \otimes \Delta )\Delta A=(\Delta \otimes \operatorname {id} )\Delta A.}$

自明なモジュールは一次元でなければならないので、すべてのv ∈ ε H_に対してhv = ε ( h ) vとなるような代数準同型ε  : H → Fを定義できる。自明なモジュールはFと同一視でき、1 はすべてのvに対して1 ⊗ v = v = v ⊗ 1となる要素である。したがって、任意のHモジュールVの任意のv、ε _Hの任意のc、およびHの任意のhに対して、 

${\displaystyle (\varepsilon (h_{(1)})h_{(2)})cv=h_{(1)}c\otimes h_{(2)}v=h(c\otimes v)=h(cv)=(h_{(1)}\varepsilon (h_{(2)}))cv.}$

代数準同型εが存在し、

${\displaystyle \varepsilon (h_{(1)})h_{(2)}=h=h_{(1)}\varepsilon (h_{(2)})}$

これは、自明なモジュールが存在するための十分条件である。

したがって、 H加群の圏がテンソル積に関してモノイド圏となるためには、Hがこれらの条件を満たす写像Δとεを持つことで十分である。これが双代数の定義の動機であり、ここでΔは余乗法、εは余単位と呼ばれる。

各H加群V が、基礎となるベクトル空間が双対であり、演算 * がH加群のモノイド圏上で関数的であるような双対表現Vを持つためには、任意のh ∈ H、x ∈ V、y ∈ V *に対して、線形写像S : H → Hが存在しなければならない。 

${\displaystyle \langle y,S(h)x\rangle =\langle hy,x\rangle .}$

どこ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$これは双対ベクトル空間の通常のペアリングです。マップが${\displaystyle \varphi :V\otimes V^{*}\rightarrow \varepsilon _{H}}$ペアリングによって誘導されるものがH準同型である場合、任意のh ∈ H、x ∈ V、y ∈ V * に対して、

${\displaystyle \varphi \left(h(x\otimes y)\right)=\varphi \left(x\otimes S(h_{(1)})h_{(2)}y\right)=\varphi \left(S(h_{(2)})h_{(1)}x\otimes y\right)=h\varphi (x\otimes y)=\varepsilon (h)\varphi (x\otimes y),}$

これは、以下の場合に満たされます。

${\displaystyle S(h_{(1)})h_{(2)}=\varepsilon (h)=h_{(1)}S(h_{(2)})}$

Hのすべてのhについて。

このような写像Sが存在する場合、それは対蹠写像と呼ばれ、Hはホップ代数である。したがって、関数テンソル積と双対表現を持つ加群のモノイド圏を求める欲求は、ホップ代数の概念の動機の一つとなっている。

ホップ代数には、追加の構造を持つ表現、すなわち代数である表現も存在する。

H をホップ代数とする。Aが積演算μ : A ⊗ A → A を持つ代数であり、ρ : H ⊗ A → AがA上のHの表現であるとき、μがH-同変であれば、 ρは代数上のHの表現であると言う。特殊な場合として、リー代数、リー超代数、および群も代数上に表現を持つことができる。  

• 丹中・クライン再構築定理