最適な「L」フィルター

最適Lフィルタ（ルジャンドル・パポリスフィルタとも呼ばれる）は、1958年にアタナシオス・パポリスによって提案されました。このフィルタは、与えられたフィルタ次数において、単調な周波数応答を維持しながら、最大のロールオフ率を実現します。単調ではあるもののロールオフが遅いバターワースフィルタと、ロールオフが速いものの通過帯域または阻止帯域にリップルが生じるチェビシェフフィルタの中間的な特性を備えています。このフィルタの設計はルジャンドル多項式に基づいており、これが別名の由来であり、「最適L」の「 L 」の由来でもあります。

特性多項式の合成

N次最適Lフィルタ特性多項式合成の解は、特性多項式を解くことから得られる。 $L_{N}(\omega ^{2})$ 以下の制約と定義が与えられた場合。^{[ 1 ]}

{\begin{aligned}&L_{N}(0)=0\\&L(1)=1\\&{dL_{N}(\omega ^{2}) \over d\omega }\geq {\text{ 0 for 0 }}\leq \omega \leq 1\\&{dL_{N}(\omega ^{2}) \over d\omega }{\biggr |}_{\omega =1}{\text{ is maximum}}\\\end{aligned}}

奇数次の場合^{[ 2 ]}と偶数次の場合^{[ 1 ]}はどちらも、以下のようにルジャンドル多項式を用いて解くことができる。

{\begin{aligned}&N{\text{ 奇数: }}\\&L_{N}(\omega ^{2})={\frac {2}{N+1}}\int _{-1}^{2\omega ^{2}-1}{\bigg (}\sum _{i=0}^{i=k}a_{i}P_{i}(x){\bigg )}^{2}dx\\&{\text{ここで}}\\&P_{i}(x){\text{ は i 次第一種ルジャンドル多項式です}}\\&k={\frac {N-1}{2}}\\&a_{i}={\frac {2i+1}{\sqrt {2(k+1)}}}\\&\\&\\&N{\text{ 偶数: }}\\&L_{N}(\omega ^{2})=\int _{-1}^{2\omega ^{2}-1}(x+1){\bigg (}\sum _{i=0}^{i=k}a_{i}P_{i}(x){\bigg )}^{2}dx\\&{\text{ただし}}\\&k={\frac {N-2}{2}}\\&a_{i}={\begin{cases}{\frac {2i+1}{\sqrt {(k+2)(k+1)}}},&{\text{iが奇数かつkが奇数の場合、または}iが偶数かつkが偶数の場合}}\\0,&{\text{それ以外の場合}}\\\end{cases}}\\\end{aligned}}

周波数応答と伝達関数

振幅周波数振幅は、次の式を使用して作成されます。最適「L」特性関数はすでに二乗形式になっているため、チェビシェフフィルタやバターワースフィルタなどの他のフィルタタイプで行われるように、再度二乗する必要はありません。

{\begin{aligned}&T(\omega )={\sqrt {\frac {1}{1+\epsilon ^{2}L_{N}(\omega ^{2})}}}\\&\epsilon ^{2}=10^{|\delta |/10}-1.\\&\delta ={\text{通過帯域の振幅減衰量（dB）、通常3.0103}}\\\end{aligned}}

伝達関数を取得するには、 $T(j\omega )$ 作る $L_{N}(\omega ^{2})$ 係数はすべて正で、 $j\omega$ 周波数軸、そして左半平面の極を使用して構築します $T(j\omega )$ 。ご了承ください $L_{N}((j\omega )^{2})$ 偶数Nの場合は+1、奇数Nの場合は-1です（参照） $L_{N}(\omega ^{2})$ 下の表）。 $L_{N}((j\omega )^{2})$ 方程式に組み込む必要がある $T(j\omega )$ 下記。^{[ 3 ]}^{[ 4 ]}

{\begin{aligned}&T(j\omega )={\sqrt {\frac {1}{a+\epsilon ^{2}L_{N}((j\omega )^{2})}}}{\bigg |}_{\text{Left half plane}}\\&{\text{Where:}}\\&a={\begin{cases}1,&{\text{if }}N{\text{ is even}}\\-1,&{\text{if }}N{\text{ is odd}}\end{cases}}\\&\epsilon ^{2}=10^{|\delta |/10}-1.\\&\delta ={\text{magnitude attenuation of the passband in dB, usually 3.010}}\\\end{aligned}}

「左半平面」制約とは、括弧内に含まれるすべての多項式の根を求め、左半平面内の根のみを選択し、それらの根から多項式を再構築することを意味します。

例：4次伝達関数

N = 4 (4次)、通過帯域減衰 = -3.010 (1 r/s)。

4次フィルタではkの値が1（奇数）となるため、加算ではiの奇数の値のみを使用します。 $a_{i}$ そして $P_{i}(x)$ これは、総和の中に i=1 の項のみが含まれることを意味します。

伝達関数、 $T_{4}(j\omega )$ は、以下のように導出できる。

{\begin{aligned}&k={\frac {N-2}{2}}=1{\text{ (}}k{\text{ is odd)}}\\&a_{1}={\frac {2(1)+1}{\sqrt {((1)+2)((1)+1)}}}=1.2247449\\&P_{1}(x)=x\\&(x+1){\bigg (}\sum _{i=0}^{i=k}a_{i}P_{i}(x){\bigg )}^{2}=(x+1){\bigr (}1.2247449(x){\bigr )}^{2}=1.5x^{3}+1.5x^{2}\\&L_{4}(x^{2})=\int _{-1}^{2x^{2}-1}1.5x^{3}+1.5x^{2}{\text{ }}dx=6x^{8}-8x^{6}+3x^{4}\\&L_{4}(x^{2})=6x^{8}-8x^{6}+3x^{4}\\&L_{4}(j\omega ^{2})=6(j\omega )^{8}+8(j\omega )^{6}+3(j\omega )^{4}\\&echo={\sqrt {\epsilon ^{3.0103/10}-1}}=1\\&T_{4}(j\omega )={\bigg [}{\frac {1}{1+1^{2}(6(j\omega )^{8}+8(j\omega )^{6}+3(j\omega )^{4})}}{\bigg ]}_{\text{Left Half Plane}}\\&\\&T_{4}(j\omega )={\frac {1}{2.4494897(j\omega )^{4}+3.8282201(j\omega )^{3}+4.6244874(j\omega )^{2}+3.0412127(j\omega )+1}}\end{aligned}}

簡単な確認 $T_{4}(j)$ 計算結果は-3.0103dBとなり、これは予想通りの値です。

最初の10個の特性多項式の表

この表は上記の式から計算されます。 $L_{N}(\omega ^{2})$

参考文献

1 2深田実 (1959 年 9 月) 「単調応答を持つ偶数次最適フィルタ」IRE Transactions on Circuit Theory 6 (3 ) : 277– 281. doi : 10.1109/TCT.1959.1086558 .
↑ Papoulis, Athanasios (1958 年 3 月). 「単調応答を持つ最適フィルタ」. Proceedings of the IRE . 46 (3): 606– 609. doi : 10.1109/JRPROC.1958.286876 .
↑バイロン・ベネット博士のフィルタ設計講義ノート、1985年、モンタナ州立大学、電気工学科、ボーズマン、モンタナ州、アメリカ合衆国
↑ Sedra, Adel S.; Brackett, Peter O. (1978). Filter Theory and Design: Active and Passive . Beaverton, Oegon, US: Matrix Publishers, Inc. pp. 45–73 . ISBN 978-0916460143。

Papoulis, Athanasios (1958). "Optimum Filters with Monotonic Response". Proc. IRE . 46 (March): 606– 609. doi : 10.1109/JRPROC.1958.286876 .
クオ、フランクリン F. (1966).ネットワーク分析と合成. ワイリー. ISBN 0-471-51118-8。第2版。
最適な「L」フィルタ：多項式、極、回路要素（C.ボンド著、2004年）
C.ボンド著「L（最適）フィルタに関する注記」（ 2011年）

[:0-1] 1 2深田実 (1959 年 9 月) 「単調応答を持つ偶数次最適フィルタ」IRE Transactions on Circuit Theory 6 (3 ) : 277– 281. doi : 10.1109/TCT.1959.1086558 .

[2] Papoulis, Athanasios (1958 年 3 月). 「単調応答を持つ最適フィルタ」. Proceedings of the IRE . 46 (3): 606– 609. doi : 10.1109/JRPROC.1958.286876 .

[:5-3] バイロン・ベネット博士のフィルタ設計講義ノート、1985年、モンタナ州立大学、電気工学科、ボーズマン、モンタナ州、アメリカ合衆国

[:7-4] Sedra, Adel S.; Brackett, Peter O. (1978). Filter Theory and Design: Active and Passive . Beaverton, Oegon, US: Matrix Publishers, Inc. pp. 45–73 . ISBN 978-0916460143。

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特性多項式の合成

周波数応答と伝達関数

例：4次伝達関数

最初の10個の特性多項式の表

関連項目

参考文献