エンベロープ（波）

物理学と工学において、振動信号のエンベロープは、その極値を示す滑らかな曲線です。 ^[1]エンベロープは、一定振幅の概念を瞬間振幅に一般化したものです。図は、上限エンベロープと下限エンベロープの間で変化する変調正弦波を示しています。エンベロープ関数は、時間、空間、角度、または任意の変数の関数である可能性があります。

空間xと時間tの両方でエンベロープ関数が生じる一般的な状況は、ほぼ同じ波長と周波数の2つの波の重ね合わせである。^[2]

${\displaystyle {\begin{aligned}F(x,\ t)&=\sin \left[2\pi \left({\frac {x}{\lambda -\Delta \lambda }}-(f+\Delta f)t\right)\right]+\sin \left[2\pi \left({\frac {x}{\lambda +\Delta \lambda }}-(f-\Delta f)t\right)\right]\\[6pt]&\approx 2\cos \left[2\pi \left({\frac {x}{\lambda _{\rm {mod}}}}-\Delta f\ t\right)\right]\ \sin \left[2\pi \left({\frac {x}{\lambda }}-f\ t\right)\right]\end{aligned}}}$

これは、 2つの正弦波の加算に対する三角関数の公式と、近似値 Δ λ  ≪  λ を使用する。

${\displaystyle {\frac {1}{\lambda \pm \Delta \lambda }}={\frac {1}{\lambda }}\ {\frac {1}{1\pm \Delta \lambda /\lambda }}\approx {\frac {1}{\lambda }}\mp {\frac {\Delta \lambda }{\lambda ^{2}}}.}$

ここで変調波長 λ _{mod は}次のように与えられる: ^{[2] [3]}

${\displaystyle \lambda _{\rm {mod}}={\frac {\lambda ^{2}}{\Delta \lambda }}\ .}$

変調波長はエンベロープ自体の2倍です。これは、変調コサイン波の各半波長が変調正弦波の正と負の両方の値を制御するためです。同様に、ビート周波数はエンベロープの周波数で、変調波の2倍、つまり2Δ fです。^[4]

この波が音波である場合、耳はfに関連付けられた周波数を聞き、この音の振幅はビート周波数に応じて変化します。^[4]

上記の正弦波の引数は、係数 2 πを除いて次のようになります。

${\displaystyle \xi _{C}=\left({\frac {x}{\lambda }}-f\ t\right)\ ,}$

${\displaystyle \xi _{E}=\left({\frac {x}{\lambda _{\rm {mod}}}}-\Delta f\ t\right)\ ,}$

ここで、下付き文字CとE はそれぞれ搬送波とエンベロープを表します。波の同じ振幅F は、 ξ _Cと ξ _Eの同じ値から生じ、それぞれは、xとtの異なるが適切に関連した選択に対して同じ値に戻る可能性があります。この不変性は、これらの波形を空間で追跡して、一定振幅の位置が時間とともに伝播する際の速度を見つけることができることを意味します。搬送波の引数が同じままであるための条件は次のとおりです。

${\displaystyle \left({\frac {x}{\lambda }}-f\ t\right)=\left({\frac {x+\Delta x}{\lambda }}-f(t+\Delta t)\right)\ ,}$

これは、振幅を一定に保つために、距離Δ xが時間間隔Δ tといわゆる位相速度 v _{pによって関係していることを示しています。}

${\displaystyle v_{\rm {p}}={\frac {\Delta x}{\Delta t}}=\lambda f\ .}$

一方、同様の考察から、エンベロープはいわゆる群速度 v _gで伝播することが分かる。^[5]

${\displaystyle v_{\rm {g}}={\frac {\Delta x}{\Delta t}}=\lambda _{\rm {mod}}\Delta f=\lambda ^{2}{\frac {\Delta f}{\Delta \lambda }}\ .}$

群速度のより一般的な表現は、波数ベクトル k を導入することによって得られます。

${\displaystyle k={\frac {2\pi }{\lambda }}\ .}$

小さな変化 Δ λの場合、対応する波数ベクトルの小さな変化の大きさ、例えば Δ k は次のようになることがわかります。

${\displaystyle \Delta k=\left|{\frac {dk}{d\lambda }}\right|\Delta \lambda =2\pi {\frac {\Delta \lambda }{\lambda ^{2}}}\ ,}$

したがって、群速度は次のように書き直すことができます。

${\displaystyle v_{\rm {g}}={\frac {2\pi \Delta f}{\Delta k}}={\frac {\Delta \omega }{\Delta k}}\ ,}$

ここで、ω はラジアン/秒単位の周波数です: ω = 2 π f 。すべての媒体において、周波数と波数ベクトルは分散関係ω = ω ( k )で関連しており、群速度は次のように表すことができます:

${\displaystyle v_{\rm {g}}={\frac {d\omega (k)}{dk}}\ .}$

古典的な真空のような媒体では、電磁波の分散関係は次のようになります。

${\displaystyle \omega =c_{0}k}$

ここで、c _{0 は古典的な真空中の}光の速度です。この場合、位相速度と群速度は両方ともc ₀です。

いわゆる分散媒体では、分散関係は波数ベクトルの複雑な関数となることがあり、位相速度と群速度は同じではありません。たとえば、GaAsの原子振動（フォノン）によって示されるいくつかの種類の波について、波数ベクトルkのさまざまな方向に対する分散関係が図に示されています。一般的なケースでは、位相速度と群速度は異なる方向を持つ場合があります。^[7]

凝縮物質物理学では、結晶内の移動電荷キャリアのエネルギー固有関数はブロッホ波として表すことができます。

${\displaystyle \psi _{n\mathbf {k} }(\mathbf {r} )=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }u_{n\mathbf {k} }(\mathbf {r} )\ ,}$

ここで、nはバンドのインデックス（伝導帯や価電子帯など）、rは空間位置、k は波動ベクトルです。指数関数は、波動関数u _{nの急速に変化する部分を変調するゆっくりと変化するエンベロープに対応する正弦関数で、k は}格子の原子核に近い波動関数の挙動を記述します。エンベロープは、結晶のブリルアンゾーンによって制限される範囲内のk値に制限され、位置rによってエンベロープがどれだけ急速に変化するかが制限されます。

量子力学を用いてキャリアの挙動を決定する際には、シュレーディンガー方程式をエンベロープの挙動のみを参照するように簡略化し、境界条件を完全な波動関数ではなくエンベロープ関数に直接適用するエンベロープ近似が通常使用される。 ^[9]たとえば、不純物の近くに閉じ込められたキャリアの波動関数は、ブロッホ関数の重ね合わせを支配する エンベロープ関数Fによって支配される。

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )=\sum _{\mathbf {k} }F(\mathbf {k} )e^{i\mathbf {k\cdot r} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )\ ,}$

_ここで、エンベロープ F ( k )のフーリエ成分は近似シュレーディンガー方程式から求められる。^[10]いくつかの応用では、周期部分uk_はバンド端近くの値、例えばk = k0に置き換えられ、次のようになる。^[9]

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )\approx \left(\sum _{\mathbf {k} }F(\mathbf {k} )e^{i\mathbf {k\cdot r} }\right)u_{\mathbf {k} =\mathbf {k} _{0}}(\mathbf {r} )=F(\mathbf {r} )u_{\mathbf {k} =\mathbf {k} _{0}}(\mathbf {r} )\ .}$

複数のスリットからの回折パターンは、単一のスリットの回折パターンによって決定されるエンベロープを持つ。単一のスリットの場合、パターンは次のように表される: ^[11]

${\displaystyle I_{1}=I_{0}\sin ^{2}\left({\frac {\pi d\sin \alpha }{\lambda }}\right)/\left({\frac {\pi d\sin \alpha }{\lambda }}\right)^{2}\ ,}$

ここでαは回折角、dはスリット幅、λは波長である。スリットが複数ある場合のパターンは^[11]

${\displaystyle I_{q}=I_{1}\sin ^{2}\left({\frac {q\pi g\sin \alpha }{\lambda }}\right)/\sin ^{2}\left({\frac {\pi g\sin \alpha }{\lambda }}\right)\ ,}$

ここで、qはスリットの数、g は格子定数です。最初の要因である単一スリットの結果I _{1 は}、スリットの数と間隔に依存する、より急速に変化する 2 番目の要因を調整します。

エンベロープ検出器は、アナログ信号からエンベロープを抽出しようとする回路です。

デジタル信号処理では、エンベロープはヒルベルト変換または移動 RMS振幅を使用して推定されることがあります。^[12]

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