バンドルガーベ

数学において、バンドル ガーベは、接続を持つ特定の 1 次元ガーベ、またはそれと同等のドリーニュ コホモロジーにおける 2 次元クラスの幾何学的モデルです。

${\displaystyle U(1)}$-空間上の主バンドル（円バンドルを参照）は、1 形式接続と 2 形式曲率からなるドリーニュコホモロジーの 1 クラスの幾何学的実現です。バンドルのトポロジーは、の 2 番目の整コホモロジーである の元であるチャーンクラスによって分類されます。 ${\displaystyle M}$${\displaystyle U(1)}$${\displaystyle H^{2}(M,\mathbb {Z} )}$${\displaystyle M}$

ゲルブ、より正確には 1-ゲルブは、それぞれMの 3 番目の整コホモロジーである の元を定義する Deligne 2-クラスの抽象的な記述です。 ${\displaystyle H^{3}(M,\mathbb {Z} )}$

滑らかな多様体 に対して、p 番目の Deligne コホモロジー群は、重み q Deligne 複体と呼ばれる複体のハイパーコホモロジーによって定義されることを思い出してください。ここで、 は、でテンソル化された滑らかな微分 k 形式の芽の層です。したがって、重み の Deligne コホモロジー群 に対して と書きます。この場合、 Deligne 複体は です。 二重複体 を与える Cech 分解を見ることによって、Deligne コホモロジー群を理解することができます。また、関連する短完全列^{[1]も存在します。7}は、上の複素数値 2 形式の閉じた芽であり、は周期積分が積分であるような形式の部分空間です。これを使用して、が滑らかな多様体 上のバンドル ゲルブの同型類であること、または同等に、上の -バンドルの同型類であることを示すことができます。 ${\displaystyle M}$$${\displaystyle \mathbb {Z} (q)_{D}^{\infty }={\underline {\mathbb {Z} }}(q)\to {\mathcal {A}}_{M,\mathbb {C} }^{0}\xrightarrow {d} {\mathcal {A}}_{M,\mathbb {C} }^{1}\xrightarrow {d} \cdots \xrightarrow {d} {\mathcal {A}}_{M,\mathbb {C} }^{q-1}}$$${\displaystyle {\mathcal {A}}_{M,\mathbb {C} }^{k}}$${\displaystyle \mathbb {C} }$$${\displaystyle \mathbb {H} _{D}^{*}(M,\mathbb {Z} (q)_{D}^{\infty })}$$${\displaystyle q}$${\displaystyle q=3}$$${\displaystyle {\underline {\mathbb {Z} }}(3)\to {\mathcal {A}}_{M,\mathbb {C} }^{0}\xrightarrow {d} {\mathcal {A}}_{M,\mathbb {C} }^{1}\xrightarrow {d} {\mathcal {A}}_{M,\mathbb {C} }^{2}}$$ $${\displaystyle 0\to {\frac {{\mathcal {A}}_{\mathbb {C} ,M}^{2}(M)_{cl}}{{\mathcal {A}}_{\mathbb {C} ,M}^{2}(M)_{cl,0}}}\to \mathbb {H} ^{3}(M,\mathbb {Z} (3)_{D}^{\infty })\to H^{3}(M,\mathbb {Z} )\to 0}$$${\displaystyle {\mathcal {A}}_{\mathbb {C} ,M}^{2}(M)_{cl}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle {\mathcal {A}}_{\mathbb {C},M}^{2}(M)_{cl,0}}$${\displaystyle H^{3}(M,\mathbb {Z} )}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle B\mathbb {C} ^{*}}$${\displaystyle M}$

歴史的に、ゲルブの最も一般的な構築は、ゲルブのジロー理論に特徴付けられるカテゴリー理論的モデルであり、ゲルブは大まかに言えばM上の群の層です。

^1994年[2]にマレーは1-ゲルブの幾何学的実現であるバンドルゲルブを導入した。これらはその構築が完全に古典幾何学の枠組み内にあるため、多くの目的においてジローの実現よりも計算に適している。実際、その名前が示すように、これらはファイバーバンドルである。

この概念は翌年、より高位のゲルブにも適用された。^[3]

ツイストK理論とバンドルガーベスのK理論^[4]では、著者らはバンドルガーベスのモジュールを定義し、これを使用してバンドルガーベスのK理論を定義しました。次に、このK理論がローゼンバーグのツイストK理論と同型であり、解析を必要としない構成を提供することを示しました。

さらに彼らは、ツイストK理論の要素の特性類であるツイストチャーン指標の概念を定義した。ツイストチャーン指標は、通常の外微分で ありツイストが閉じた3次元形式である冪零演算子 に関するツイストコホモロジーの類を表す微分形式である。この構成は、マタイとスティーブンソンによって同変K理論と正則K理論に拡張された。^[5]$${\displaystyle d+H}$$${\displaystyle d}$ ${\displaystyle H}$

バンドル ガーベは、共形場理論の文脈でも登場しています。Gawedzki と Reis は、群多様体上の弦の伝播のWess-Zumino-Witten モデル(WZW)の Wess-Zumino 項を、バンドル ガーベの 接続として解釈しました。Urs Schreiber、Christoph Schweigert、Konrad Waldorf はこの構成を使用して、WZW モデルを無指向表面に拡張し、より一般的には、グローバルKalb-Ramond 結合を無指向弦に拡張しました。

詳細はn-Category Caféでご確認ください。

• バンドルガーベス：一般的な考え方と定義
• バンドル Gerbes: 接続と地上輸送

• ガーベ
• オービフォールド

• マイケル・マレー作、ガーベの束。
• マイケル・マレーによるバンドルガーベの紹介。
• Paolo Aschieri、Luigi Cantini、Branislav Jurco による「非アーベル束 Gerbes、その微分幾何学およびゲージ理論」。
• arxiv.org のバンドル ガーベ

• WZW ブレーンとストリング