ファイバー関数

圏論、位相幾何学、代数幾何学におけるファイバー関手は、被覆空間をとる関手を点上のファイバーに一般化する、いくつかの緩く関連した関手を指します。 ${\displaystyle \pi \colon X\rightarrow S}$ ${\displaystyle \pi^{-1}(s)}$${\displaystyle s\in S}$

ファイバー関手 （またはファイバー関手）は、考慮される形式主義に応じて複数の定義を持つ緩い概念です。ファイバー関手の主な最初の動機の1つは、トポス理論に由来しています。^[1]トポスは、サイト上の層のカテゴリであることを思い出してください。サイトが点と同様に単一のオブジェクトである場合、点のトポスは集合のカテゴリ と同値です。位相空間 上の層のトポス（ と表記）がある場合、に点を与えることは、随伴関手を定義することと同値です。${\displaystyle {\mathfrak {セット}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathfrak {T}}(X)}$${\displaystyle a}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle a^{*}:{\mathfrak {T}}(X)\leftrightarrows {\mathfrak {Set}}:a_{*}}$

関数は点上のファイバー、つまり茎に束を送ります。 ^[2]${\displaystyle a^{*}}$${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle a}$

位相 空間上の被覆空間の圏を考える。このとき、点からはファイバー関手^{[3]が存在する。}${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathfrak {Cov}}(X)}$${\displaystyle x\in X}$

${\displaystyle {\text{Fib}}_{x}:{\mathfrak {Cov}}(X)\to {\mathfrak {Set}}}$

はファイバー に被覆空間を送ります。この関手は からの自己同型を持ちます。これは、基本群が位相空間 上の被覆空間に作用するからです。特に、集合 に作用します。実際、 の自己同型はから来ます。 ${\displaystyle \pi :Y\to X}$${\displaystyle \pi^{-1}(x)}$${\displaystyle \pi_{1}(X,x)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \pi^{-1}(x)\subset Y}$${\displaystyle {\text{Fib}}_{x}}$${\displaystyle \pi_{1}(X,x)}$

連結スキーム上のエタール位相 から生じる被覆空間の代数的類似物が存在する。基礎サイトは有限エタール被覆から成り、これは有限^{[4] [5]}平坦な射影射であり、あらゆる幾何学的点上の繊維は有限エタール代数のスペクトルとなる。固定された幾何学的点 について、幾何学的繊維を考え、 を基礎となる -点の集合とする。すると、${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X\to S}$${\displaystyle s\in S}$${\displaystyle \kappa (s)}$${\displaystyle {\overline {s}}:{\text{Spec}}(\Omega )\to S}$${\displaystyle X\times _{S}{\text{Spec}}(\Omega )}$${\displaystyle {\text{Fib}}_{\overline {s}}(X)}$${\displaystyle \オメガ}$

${\displaystyle {\text{Fib}}_{\overline {s}}:{\mathfrak {Fet}}_{S}\to {\mathfrak {Sets}}}$

はファイバー関手であり、 は上の有限エタール位相からのトポスです。実際、 の自己同型は と表記されるプロ有限群 を形成し、これらの有限ファイバー集合への連続群作用を誘導し、被覆とそのような作用を持つ有限集合との同値性を与えることは、グロタンディークの定理です。 ${\displaystyle {\mathfrak {フェット}}_{S}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle {\text{Fib}}_{\overline {s}}}$${\displaystyle \pi _{1}(S,{\overline {s}})}$

ファイバー関手の別のクラスは、代数幾何学におけるモチーフのコホモロジー実現から来ている。例えば、デ・ラームコホモロジー関手は、その基礎となるデ・ラームコホモロジー群にモチーフを送る。^[6]${\displaystyle H_{dR}}$${\displaystyle M(X)}$${\displaystyle H_{dR}^{*}(X)}$

• トポス
• エタール位相幾何学
• 動機（代数幾何学）
• 遠アーベル幾何学

• SGA 4 および SGA 4 IV
• Motivic Galois グループ - https://web.archive.org/web/20200408142431/https://www.him.uni-bonn.de/fileadmin/him/Lecture_Notes/motivic_Galois_group.pdf