ヴァイツェンベックのアイデンティティ

数学、特に微分幾何学、数理物理学、表現論において、ローランド・ヴァイツェンベックにちなんで名付けられたヴァイツェンベック恒等式は、同じ主記号を持つ多様体上の2つの2階楕円型作用素間の関係を表します。通常、ヴァイツェンベックの公式は、何らかの主G束に関連付けられたベクトル束間のG不変自己随伴作用素に対して実装されますが、そのような公式が存在する正確な条件を定式化することは困難です。この記事では、リーマン幾何学、スピン幾何学、複素解析におけるヴァイツェンベック恒等式の3つの例に焦点を当てます。

リーマン幾何学では、向き付けられたコンパクトなリーマン多様体M上の微分形式上のラプラシアンの概念が 2 つあります。最初の定義では、ド・ラーム演算子dの形式的随伴として定義される発散演算子δを使用します。 ここで、αは任意のp形式、β は任意の ( p + 1 ) 形式であり、は( p + 1 ) 形式のバンドル上に誘導される計量です。通常の形式のラプラシアンは次のように与えられます 。 $${\displaystyle \int _{M}\langle \alpha ,\delta \beta \rangle :=\int _{M}\langle d\alpha ,\beta \rangle }$$${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$$${\displaystyle \Delta =d\delta +\delta d.}$$

一方、レヴィ-チヴィタ接続は 、Ω ^p M がp形式の束である微分演算子を提供します 。ボクナーラプラシアンは、が の随伴で あるによって与えられます 。これは、接続またはラフラプラシアンとも呼ばれます。 $${\displaystyle \nabla :\Omega ^{p}M\rightarrow \Omega ^{1}M\otimes \Omega ^{p}M,}$$$${\displaystyle \Delta '=\nabla ^{*}\nabla }$$${\displaystyle \nabla^{*}}$${\displaystyle \nabla}$

ヴァイツェンベックの公式は、 A が曲率のみを含む 0 次線形演算子で ある場合に成り立つことを主張します。$${\displaystyle \Delta '-\Delta =A}$$

Aの正確な形は、曲率の慣例に依存する全体の符号を除いて、 次 のように与えられる。$${\displaystyle A={\frac {1}{2}}\langle R(\theta ,\theta )\#,\#\rangle +\operatorname {Ric} (\theta ,\#),}$$

• Rはリーマン曲率テンソルであり、
• Ricはリッチテンソルであり、
• ${\displaystyle \theta :T^{*}M\otimes \Omega ^{p}M\rightarrow \Omega ^{p+1}M}$は、1形式とp形式のウェッジ積をとって( p +1)形式を与える写像である。
• ${\displaystyle \#:\Omega ^{p+1}M\rightarrow T^{*}M\otimes \Omega ^{p}M}$は1 形式上のθの普遍微分逆関数です。

M がディラック演算子ðを持つ有向スピン多様体である場合、スピンバンドル上にスピンラプラシアン Δ = ð ²を形成できます。一方、レヴィ-チヴィタ接続はスピンバンドルに拡張され、微分演算子 を生成します。 リーマン多様体の場合と同様に、 とします。これは別の自己随伴演算子であり、さらに、スピンラプラシアンと同じ先頭記号を持ちます。ワイツェンベックの公式により、次の式が得られます。 ここで、Sc はスカラー曲率です。この結果は、リヒネロヴィッチの公式としても知られています。 $${\displaystyle \nabla :SM\rightarrow T^{*}M\otimes SM.}$$${\displaystyle \Delta '=\nabla ^{*}\nabla }$$${\displaystyle \Delta '-\Delta =-{\frac {1}{4}}Sc}$$

M がコンパクトなケーラー多様体である場合、 ( p , q )-形式上の-ラプラシアン（ドルボー複体を参照）とユークリッド ラプラシアンを関連付けるワイツェンベックの公式が存在します。具体的には、各点においてユニタリ フレームで と と します 。${\displaystyle {\bar {\partial}}}$$${\displaystyle \Delta ={\bar {\partial }}^{*}{\bar {\partial }}+{\bar {\partial }}{\bar {\partial }}^{*},}$$$${\displaystyle \Delta '=-\sum _{k}\nabla _{k}\nabla _{\bar {k}}}$$

ワイツェンベックの公式によれば、の場合、 は曲率を含むゼロ次の演算子です。具体的には、ユニタリフレームの場合、s番目の場所にk があることになります。 ${\displaystyle \alpha \in \Omega ^{(p,q)}M}$$${\displaystyle \Delta ^{\prime }\alpha -\Delta \alpha =A(\alpha )}$$${\displaystyle A}$$${\displaystyle \alpha =\alpha _{i_{1}i_{2}\dots i_{p}{\bar {j}}_{1}{\bar {j}}_{2}\dots {\bar {j}}_{q}}}$$$${\displaystyle A(\alpha )=-\sum _{k,j_{s}}\operatorname {Ric} _{{\bar {j}}_{\alpha }}^{\bar {k}}\alpha _{i_{1}i_{2}\dots i_{p}{\bar {j}}_{1}{\bar {j}}_{2}\dots {\bar {k}}\dots {\bar {j}}_{q}}}$$

• 共形幾何学では、牽引束上で定義された特定の微分演算子のペアを関連付けるワイツェンベックの公式があります。Branson, T. および Gover, AR、「共形不変演算子、微分形式、コホモロジー、および Q 曲率の一般化」、Communications in Partial Differential Equations、30 (2005) 1611–1669 を参照してください。

• ボクナーのアイデンティティ
• ボッホナー・小平・中野恒等式
• 微分幾何学におけるラプラシアン演算子

• グリフィス、フィリップ、ハリス、ジョー（1978）、代数幾何学の原理、Wiley-Interscience（1994年出版）、ISBN 978-0-471-05059-9