ガウスビーム

光学において、ガウスビームは、横方向の振幅エンベロープがガウス関数で与えられる理想的な電磁放射ビームであり、これはガウス強度（放射照度）プロファイルも意味します。この基本（またはTEM ₀₀）横ガウスモードは、多くのレーザーの意図された出力を表します。このようなビームは発散が少なく、他のどのビームよりも焦点を合わせることができます。ガウスビームが理想的なレンズによって再焦点を合わせると、新しいガウスビームが生成される。特定の波長と偏光の円形ガウスビームに沿った電場と磁場の振幅プロファイルは、 2つのパラメータによって決まります。1つは、ビームの最も狭い点の幅の尺度であるウェストw ₀ 、もう1つはウェストに対する位置zです。 ^[1]

ガウス関数の範囲は無限であるため、完全なガウスビームは自然界には存在せず、そのようなビームの端は有限のレンズやミラーによって遮断される。しかし、ガウス関数は、ビーム内のレンズやミラーがビームのスポットサイズw ( z )よりも大幅に大きい場合に、現実のビームの有用な近似となる。

基本的に、ガウス分布は、電磁場の波動方程式である 軸ヘルムホルツ方程式の解です。他の解も存在しますが、ガウス分布の解族はコンパクトな梁を含む問題に役立ちます。

以下の式は、 zのすべての値で円形の断面を持つビームを想定しています。これは、単一の横方向の寸法rが現れることからわかります。楕円形の断面を持つビーム、または2 つの横方向の寸法に対してzの異なる位置にウェストがあるビーム (非点収差ビーム) もガウスビームとして記述できますが、 2 つの横方向の寸法xとyに対してw ₀の値とz = 0の位置が異なります。

ガウスビームは横方向電磁波（TEM）モードです。^[2]電界振幅の数学的表現は、近軸ヘルムホルツ方程式の解です。^[1] x方向の偏光と+ z方向の伝播を仮定すると、位相（複素）表記の電界は次のように表されます。

$${\displaystyle {\mathbf {E} (r,z)}=E_{0}\,{\hat {\mathbf {x} }}\,{\frac {w_{0}}{w(z)}}\exp \left({\frac {-r^{2}}{w(z)^{2}}}\right)\exp \left(\!-i\left(kz+k{\frac {r^{2}}{2R(z)}}-\psi (z)\right)\!\right)}$$

ここで^{[1] [3]}

• rは梁の中心軸からの半径距離であり、
• zはビームの焦点（または「ウエスト」）からの軸方向の距離です。
• iは虚数単位であり、
• k = 2 πn / λは自由空間波長λに対する波数（ラジアン/メートル）であり、 n はビームが伝播する媒体の屈折率である。
• E ₀ = E (0, 0) 、原点（ r = 0、 z = 0）における電場振幅
• w ( z )は、ビームに沿った平面zにおいて、フィールド振幅が軸方向値の1/ eに低下する半径（つまり、強度値が軸方向値の1/ e ^{2に低下する半径）である。}
• w ₀ = w (0)はウエスト半径、
• R ( z ) はビームの波面のzにおける、
• ψ ( z )=arctan( z / zR )はzにおけるGouy位相であり、光の位相速度に起因するもの_を超えた追加の位相項。

物理的な電場は、振幅の実数部に時間係数を掛けることで、上記の位相場振幅から得られます。 ここで、 は光の角周波数、 tは時間です。時間係数には、不透明度の数学的記述 § 複素共役の曖昧さで説明されているように、任意の符号規則が関係します。 $${\displaystyle \mathbf {E} _{\text{phys}}(r,z,t)=\operatorname {Re} (\mathbf {E} (r,z)\cdot e^{i\omega t}),}$$${\textstyle \omega }$

この解法は近軸近似に依存しているため、非常に強く発散するビームに対しては正確ではありません。上記の形式は、w ₀ ≫ λ / nであるほとんどの実用的なケースで有効です。

対応する強度（または放射照度）分布は次のように表される。

$${\displaystyle I(r,z)={|E(r,z)|^{2} \over 2\eta }=I_{0}\left({\frac {w_{0}}{w(z)}}\right)^{2}\exp \left({\frac {-2r^{2}}{w(z)^{2}}}\right),}$$

ここで、定数ηはビームが_伝播する媒体の波動インピーダンスです。自由空間の場合、 η = η ₀ ≈ 377 Ω です。I 0 = | E ₀ | ² /2 η はビームの中心のウェストにおける強度です。

P _{0 が}ビームの 全出力である場合、$${\displaystyle I_{0}={2P_{0} \over \pi w_{0}^{2}}.}$$

ビームに沿った位置z（焦点から測定）では、スポットサイズパラメータwは双曲線関係式で与えられます：^[1] ここで^[1]はレイリー範囲 と呼ばれ、以下でさらに説明するように、媒体の屈折率です。 $${\displaystyle w(z)=w_{0}\,{\sqrt {1+{\left({\frac {z}{z_{\mathrm {R} }}}\right)}^{2}} },}$$ $${\displaystyle z_{\mathrm {R} }={\frac {\pi w_{0}^{2}n}{\lambda }}}$$${\displaystyle n}$

ビームの半径w ( z )は、ビームに沿った任意の位置zにおいて、その位置での強度分布の半値全幅(FWHM)と次式の関係にある: ^[4] $${\displaystyle w(z)={\frac {{\text{FWHM}}(z)}{\sqrt {2\ln 2}}}.}$$

波面の曲率は、ウェストの両側のレイリー距離z = ± z _Rで最大となり、ウェスト自体でゼロと交差します。レイリー距離| z | > z _{Rを超えると、再び大きさが減少し、} z → ±∞のときにゼロに近づきます。曲率は、その逆数R (曲率半径)で表されることがよくあります。基本的なガウスビームの場合、位置zでの曲率は次のように表されます。

$${\displaystyle {\frac {1}{R(z)}}={\frac {z}{z^{2}+z_{\mathrm {R} }^{2}}},}$$

したがって、曲率半径R ( z )は^[1] 曲率の逆数であるため、曲率半径は符号が反転し、曲率がゼロになる梁のウェストで無限大になります。 $${\displaystyle R(z)=z\left[{1+{\left({\frac {z_{\mathrm {R} }}{z}}\right)}^{2}}\right].}$$

多くのレーザー ビームは楕円形の断面を持っています。また、2 つの横方向の次元でウェストの位置が異なるビームも一般的で、非点収差ビームと呼ばれます。これらのビームは、上記の 2 つの発展方程式を使用して処理できますが、xとyの各パラメーターの値はそれぞれ異なり、 z = 0ポイントの定義も異なります。Gouy 位相は、各次元からの寄与を合計して正しく計算された単一の値であり、各次元から寄与される Gouy 位相は± π /4 の範囲内にあります。

楕円ビームは、遠方からウエストまで伝播するにつれて楕円率比が反転します。ウエストから遠いところでは大きかった寸法は、ウエストの近くでは小さくなります。

近軸ヘルムホルツ方程式の任意の解は、エルミート・ガウスモード（振幅プロファイルは直交座標を使用してxとyで分離可能）、ラゲール・ガウスモード（振幅プロファイルは円筒座標を使用してrとθで分離可能）、または同様にインス・ガウスモードの組み合わせ（振幅プロファイルは楕円座標を使用してξとηで分離可能）として分解できます。^{[5] [6] [7]ビーム}zに沿った任意の点では、これらのモードには、指定されたモードの追加の幾何学的因子を乗じた基本ガウスモードと同じガウス因子が含まれます。しかし、異なるモードは異なる Gouy 位相で伝播するため、モードの重ね合わせによる正味の横方向プロファイルはz方向に変化します。一方、単一のエルミート・ガウス (またはラゲール・ガウス) モードの伝播はビームに沿って同じ形状を維持します。

他のモード分解もありますが、ガウス分布はコンパクトなビーム、つまり光出力が軸に沿ってかなり厳密に制限されている問題に役立ちます。レーザーが基本ガウス モードで動作していない場合でも、高次モードの空間範囲がレーザーの共振器(キャビティ)の境界を超える傾向があるため、これらの分解を使用すると、その出力は通常、最低次モードの中に見つかります。「ガウス ビーム」は通常、基本 (TEM ₀₀ ) ガウス モードに制限された放射を意味します。

ガウスビームのフィールドの幾何学的依存性は、光の波長λ (自由空間でない場合は誘電体媒体内) と次のビームパラメータによって決まります。これらはすべて、次のセクションで詳しく説明するように関連しています。

特定の波長λのガウスビームの形状は、ビームウェスト w _{0 という}1 つのパラメータによってのみ決まります。これは、ビーム幅w ( z ) (上記で定義) が最小となる (同様に、軸上の強度( r = 0 ) が最大となる) 焦点 (上記式のz = 0 ) におけるビームサイズの尺度です。このパラメータから、ビーム形状を記述する他のパラメータが決定されます。これには、以下に詳述するレイリー範囲z _Rと漸近ビーム発散θが含まれます。

レイリー距離またはレイリー範囲 z _{R は}、ガウスビームのウエストサイズによって決まります。

$${\displaystyle z_{\mathrm {R} }={\frac {\pi w_{0}^{2}n}{\lambda }}.}$$

ここで、λは光の波長、n は屈折率です。ウェストからレイリー範囲z _Rに等しい距離では、ビームの幅w は、ビームウェストであるw = w _{0の焦点よりも}√ 2大きくなります。これはまた、軸上 ( r = 0 ) の強度がピーク強度 ( z = 0 )の半分であることを意味します。ビームに沿ったその点は、波面曲率 ( 1/ R ) が最大になる場所でもあります。 ^[1]

2点間の距離z = ± z _Rは共焦点パラメータまたはビームの焦点深度と呼ばれます。 ^[8]

ガウス関数の裾が実際にゼロになることはありませんが、以下の説明では、ビームの「エッジ」はr = w ( z )の半径であるとみなします。これは、強度が軸上の値の1/ e ^{2に低下する場所です。ここで、} z ≫ z _Rの場合、パラメータw ( z )はzとともに直線的に増加します。これは、ウェストから遠いビームの「エッジ」（上記の意味で）が円錐形であることを意味します。その円錐（r = w ( z )）とビーム軸（r = 0）の間の角度が、ビームの 発散を定義します。$${\displaystyle \theta =\lim _{z\to \infty }\arctan \left({\frac {w(z)}{z}}\right).}$$

これまで検討してきたように、近軸の場合、θ（ラジアン）はおよそ^[1] $${\displaystyle \theta ={\frac {\lambda }{\pi nw_{0}}}}$$

ここでnはビームが伝搬する媒体の屈折率、λは自由空間波長である。発散ビームの全角度広がり、または前述の円錐の 頂角は次のように表される。$${\displaystyle \Theta =2\theta \,.}$$

その円錐にはガウスビームの全パワーの 86% が含まれます。

発散はスポットサイズに反比例するため、波長λが与えられた場合、小さなスポットに焦点を合わせたガウスビームは、焦点から遠ざかるにつれて急速に発散します。逆に、遠距離でのレーザービームの発散を最小限に抑えるには (そして遠距離でのピーク強度を高めるには)、ウェストでの断面積 ( w ₀ ) を大きくする必要があります (したがって、w ( z ) がw ₀より小さくなることはないことから、発射される場所の直径も大きくなります)。ビーム幅と発散のこの関係は、回折、およびフラウンホーファー回折を表すフーリエ変換の基本的な特性です。指定された振幅プロファイルを持つビームもこの逆関係に従いますが、基本的なガウスモードは、焦点でのビームサイズと遠距離発散の積が他のどのケースよりも小さくなる特殊なケースです。

ガウスビームモデルは近軸近似を使用しているため、波面がビームの軸から約30°以上傾いているとモデルは機能しなくなります。[ ^{9]上記の発散の式から、ガウスビームモデルは、約}2λ / πより大きいウェストを持つビームに対してのみ正確であることを意味します。

レーザー ビームの品質は、ビーム パラメータ積(BPP)によって定量化されます。ガウス ビームの場合、BPP はビームの発散とウエスト サイズw _{0 の}積です。実際のビームの BPP は、ビームの最小直径と遠距離場発散を測定し、それらの積を取ることによって得られます。実際のビームの BPP と、同じ波長の理想的なガウス ビームの BPP の比は、M ² (「M の 2 乗」) として知られています。ガウス ビームのM ^{2は 1 です。実際のレーザー ビームの}M ²値はすべて 1 より大きくなりますが、非常に高品質のビームは 1 に非常に近い値になることがあります。

ガウスビームの開口数はNA = n sin θと定義され、ここでnはビームが伝搬する媒体の屈折率である。これはレイリー距離が開口数と次の式で関係していることを意味する。 $${\displaystyle z_{\mathrm {R} }={\frac {nw_{0}}{\mathrm {NA} }}.}$$

グイ位相は、ビームが焦点領域の周囲で徐々に獲得する位相シフトである。位置zにおける基本ガウスビームのグイ位相は、^{[1]で与えられる。} $${\displaystyle \psi (z)=\arctan \left({\frac {z}{z_{\mathrm {R} }}}\right).}$$

グイ位相により、ウェスト（ z ≈ 0 ）付近の見かけの波長が増加する。したがって、その領域の位相速度は形式的に光速を超える。この逆説的な動作は、光の位相速度（平面波に正確に当てはまる）からの逸脱が非常に小さい近接場現象として理解される必要がある。ただし、開口数が大きいビームの場合は、波面の曲率（前のセクションを参照）が単一波長の距離にわたって大幅に変化する。すべての場合において、波動方程式はあらゆる位置で満たされる。

グイ位相の符号は、電場位相器に選択された符号規則に依存する。^[10] e ^iωt依存性がある 場合、グイ位相は-π / 2から+ π /2に変化し、e ^{- iωt}依存性がある場合、軸に沿って + π /2から-π /2に変化する。

基本的なガウスビームの場合、グイ位相は、ウエストの片側の遠方場から反対側の遠方場に移動するときに、光速に対する正味の位相差がπラジアン（つまり位相反転）になる。この位相変化はほとんどの実験では観察できない。しかし、これは理論的に重要であり、高次のガウスモードではより広い範囲をカバーします。^[10]

ビームが開口部を中心としている場合、横断面の位置zにおける半径rの円を通過するパワー Pは^[11]であり、 ここでは ビームによって伝達される全パワーである。 $${\displaystyle P(r,z)=P_{0}\left[1-e^{-2r^{2}/w^{2}(z)}\right],}$$$${\displaystyle P_{0}={\frac {1}{2}}\pi I_{0}w_{0}^{2}}$$

半径r = w ( z )の円の場合、円を通過する電力の割合は $${\displaystyle {\frac {P(z)}{P_{0}}}=1-e^{-2}\approx 0.865.}$$

同様に、ビームのパワーの約90％は半径r = 1.07 × w ( z )の円を流れ、95％は半径r = 1.224 × w ( z )の円を流れ、99％は半径r = 1.52 × w ( z )の円を流れます。^[11]

ビームウェストからの軸方向距離zにおけるピーク強度は、半径rの円内に含まれる電力の限界を、円が縮小するにつれて円の面積πr ²で割ったものとして計算できます。 $${\displaystyle I(0,z)=\lim _{r\to 0}{\frac {P_{0}\left[1-e^{-2r^{2}/w^{2}(z)}\right]}{\pi r^{2}}}.}$$

この限界はロピタルの法則を使って評価できる。 $${\displaystyle I(0,z)={\frac {P_{0}}{\pi }}\lim _{r\to 0}{\frac {\left[-(-2)(2r)e^{-2r^{2}/w^{2}(z)}\right]}{w^{2}(z)(2r)}}={2P_{0} \over \pi w^{2}(z)}.}$$

ガウスビームのスポットサイズと曲率はビームに沿ったzの関数として、複素ビームパラメータq ( z ) ^{[12] [13]}で次のように表すこともできる。 $${\displaystyle q(z)=z+iz_{\mathrm {R} }.}$$

q ( z )の逆数は、実部と虚部にそれぞれ波面曲率と相対軸強度を含む：^[12]

$${\displaystyle {1 \over q(z)}={1 \over R(z)}-i{\lambda \over n\pi w^{2}(z)}.}$$

複素ビームパラメータは、ガウスビーム伝搬の数学的解析、特に光線転送行列を使用した光共振器空洞の解析を簡素化します。

この形式を使用すると、前述の電場（または磁場）の式が大幅に簡素化されます。楕円ガウスビーム（楕円軸がx方向とy方向）の相対的な場の強度をuとすると、次のように xとyに分割できます。$${\displaystyle u(x,y,z)=u_{x}(x,z)\,u_{y}(y,z),}$$

どこ $${\displaystyle {\begin{aligned}u_{x}(x,z)&={\frac {1}{\sqrt {{q}_{x}(z)}}}\exp \left(-ik{\frac {x^{2}}{2{q}_{x}(z)}}\right),\\u_{y}(y,z)&={\frac {1}{\sqrt {{q}_{y}(z)}}}\exp \left(-ik{\frac {y^{2}}{2{q}_{y}(z)}}\right),\end{aligned}}}$$

ここでq _x ( z )とq _y ( z )はx方向とy方向の複素ビームパラメータです。

円形ビームプロファイルの一般的なケースでは、q _x ( z ) = q _y ( z ) = q ( z )かつx ² + y ² = r ²となり、^[14] $${\displaystyle u(r,z)={\frac {1}{q(z)}}\exp \left(-ik{\frac {r^{2}}{2q(z)}}\right).}$$

ガウスビームが薄いレンズを通過して伝播する場合、ビームがレンズの円筒対称軸に沿って進み、レンズがビームの幅よりも大きいという条件で、出射ビームも（異なる）ガウスビームになります。レンズの焦点距離、ビームウェスト半径、および入射ビームのビームウェスト位置を使用して、出射ビームのビームウェスト半径と位置を決定できます。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle w_{0}}$${\displaystyle z_{0}}$${\displaystyle w_{0}'}$${\displaystyle z_{0}'}$

SalehとTeichによって導き出されたように、入射ビームと出射ビームの関係は、レンズを通過するガウスビームの各点に追加される位相を考慮することによって見つけることができます。 ^[15] Selfによる別のアプローチは、薄いレンズがガウスビームの波面に与える影響を考慮することです。^[16]${\displaystyle (x,y)}$

上記の問題の正確な解は、単純に倍率で表されます。${\displaystyle M}$

${\displaystyle {\begin{aligned}w_{0}'&=Mw_{0}\\[1.2ex](z_{0}'-f)&=M^{2}(z_{0}-f).\end{aligned}}}$

倍率はとに依存し、次のように表される。 ${\displaystyle w_{0}}$${\displaystyle z_{0}}$

${\displaystyle M={\frac {M_{r}}{\sqrt {1+r^{2}}}}}$

どこ

${\displaystyle r={\frac {z_{R}}{z_{0}-f}},\quad M_{r}=\left|{\frac {f}{z_{0}-f}}\right|.}$

ビーム位置の同等の表現は次の通りである。 ${\displaystyle z_{0}'}$

${\displaystyle {\frac {1}{z_{0}+{\frac {z_{R}^{2}}{(z_{0}-f)}}}}+{\frac {1}{z_{0}'}}={\frac {1}{f}}.}$

この最後の式は、光線光学薄レンズ方程式が の極限で回復されることを明確にしています。 の場合、入射ビームは「十分に平行化」されるため となることにも留意してください。 ${\displaystyle \left|\left({\tfrac {z_{R}}{z_{0}}}\right)\left({\tfrac {z_{R}}{z_{0}-f}}\right)\right|\ll 1}$${\displaystyle \left|z_{0}+{\frac {z_{R}^{2}}{z_{0}-f}}\right|\gg f}$${\displaystyle z_{0}'\approx f}$

いくつかの用途では、レーザービームを非常に小さなスポットに焦点を合わせるために収束レンズを使用することが望ましい。数学的には、これは倍率を最小化することを意味する。ビームサイズが利用可能な光学系のサイズによって制約される場合、これは通常、可能な限り大きなコリメートビームを小さな焦点距離のレンズに通すことによって、すなわち を最大化しを最小化することによって最もよく達成される。この状況では、近似 を行うことが正当化され、 となり、結果 が得られる。この結果は、多くの場合、次の形式で表される。 ${\displaystyle M}$${\displaystyle z_{R}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle z_{R}^{2}/(z_{0}-f)^{2}\gg 1}$${\displaystyle M\approx f/z_{R}}$${\displaystyle w_{0}'\approx fw_{0}/z_{R}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}2w_{0}'&\approx {\frac {4}{\pi }}\lambda F_{\#}\\[1.2ex]z_{0}'&\approx f\end{aligned}}}$

どこ

${\displaystyle F_{\#}={\frac {f}{2w_{0}}},}$

これは、媒体の屈折率が であると仮定し、 を代入した後に求められます。 ビームサイズをビームウェスト半径や ではなく、ビームウェスト直径やで表すことが一般的に好まれるため、係数 2 が導入されました。 ${\displaystyle n\approx 1}$${\displaystyle z_{R}=\pi w_{0}^{2}/\lambda }$${\displaystyle 2w_{0}'}$${\displaystyle 2w_{0}}$${\displaystyle w_{0}'}$${\displaystyle w_{0}}$

電磁放射の特殊なケースとして、ガウスビーム（および以下に詳述する高次ガウスモード）は、自由空間または均質誘電体媒体内の電磁場の波動方程式の解であり、 ^[17] Eの回転とHの回転に関するマクスウェル方程式を組み合わせることで得られ、次のようになります。 ここで、cは媒体内の光速であり、U は電場ベクトルまたは磁場ベクトルのいずれかを参照できます。どちらかの特定の解がもう一方を決定するためです。ガウスビームの解は、近軸近似、つまり波の伝播が軸の小さな角度内の方向に限定されている場合にのみ有効です。一般性を失うことなく、その方向を+ z方向とすると、解U は一般にuで表すことができます。u は時間依存性がなく、空間的に比較的滑らかに変化し、主な変化はz方向の波数kに空間的に対応します。^[17]$${\displaystyle \nabla ^{2}U={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}U}{\partial t^{2}}},}$$ $${\displaystyle U(x,y,z,t)=u(x,y,z)e^{-i(kz-\omega t)}\,{\hat {\mathbf {x} }}\,.}$$

この形式を近軸近似と一緒に使用すると、∂ ² u /∂ z ^{2 は}本質的に無視できます。電磁波方程式の解は伝播方向 ( z ) に直交する偏光に対してのみ成立するため、一般性を失うことなく偏光がx方向にあると見なすことができ、 u ( x、y、z )のスカラー方程式を解くことができます。

この解を上記の波動方程式に代入すると、スカラー波動方程式の近軸近似が得られる。 ^[17] 光円錐座標 で波動方程式を書くと、近似を一切使用せずにこの方程式が返される。^[18]任意のビームウェストw ₀のガウスビームは、スカラー波動方程式の近軸近似を満たします。これは、上で定義したように、 zでの波を複素ビームパラメータq ( z )で表すことによって最も簡単に検証できます。 他にも多くの解があります。線形システムの解として、任意の解の組み合わせ（定数による加算または乗算を使用）も解です。基本的なガウスは、前述のように、最小スポットサイズと遠方場発散の積を最小化するものです。近軸解、特に基本ガウスモードではないレーザー放射を記述する解を求める際には、発散と最小スポットサイズの積が徐々に増加する解の族を探します。この種の重要な直交分解には、エルミート・ガウス モードとラゲール・ガウス モードの 2 つがあり、それぞれ長方形と円形の対称性に対応します。これについては次のセクションで詳しく説明します。これら 2 つの場合、これまで検討してきた基本的なガウス ビームは最低次のモードです。 $${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=2ik{\frac {\partial u}{\partial z}}.}$$

コヒーレントな近軸ビームを、いわゆるエルミート-ガウスモードの直交セットを使用して分解することができます。これらのモードはいずれも、 xの係数とyの係数の積で与えられます。このような解は、直交座標で書かれた近軸ヘルムホルツ方程式のxとyの分離可能性により可能になります。^{[19]したがって、} xおよびy方向を参照する順序( l、m )のモードが与えられると、 x、y、zでの電場振幅は次のように与えられます。 ここで、 xおよびy依存性 の係数はそれぞれ次のように与えられます。 ここで、焦点からzにあるウェストw ₀のビームに対して、上記で定義した 複素ビームパラメータq ( z )を使用しました。この形式では、最初の係数は、 u _Jのセットを正規直交にするための正規化定数にすぎません。 2 番目の要素は、zに依存する追加の正規化であり、 w ( z )/ w ₀ (最後の 2 つの要素による)に従ってモードの空間範囲の拡大を補正します。これには、Gouy 位相の一部も含まれます。3 番目の要素は、高次の Gouy 位相シフトJを強化する純粋な位相です。 $${\displaystyle E(x,y,z)=u_{l}(x,z)\,u_{m}(y,z)\,\exp(-ikz),}$$$${\displaystyle u_{J}(x,z)=\left({\frac {\sqrt {2/\pi }}{2^{J}\,J!\;w_{0}}}\right)^{\!\!1/2}\!\!\left({\frac {{q}_{0}}{{q}(z)}}\right)^{\!\!1/2}\!\!\left(-{\frac {{q}^{\ast }(z)}{{q}(z)}}\right)^{\!\!J/2}\!\!H_{J}\!\left({\frac {{\sqrt {2}}x}{w(z)}}\right)\,\exp \left(\!-i{\frac {kx^{2}}{2{q}(z)}}\right),}$$

最後の 2 つの因子は、 x (またはy )の空間的変化を説明します。4 番目の因子はJ次エルミート多項式(「物理学者の形式」、つまりH ₁ ( x ) = 2 x ) であり、5 番目の因子はガウス振幅の減衰exp(− x ² / w ( z ) ² )を説明しますが、指数の複素数q を使用すると明らかではありません。この指数の展開により、ビームに沿ったzでの波面曲率 ( 1/ R ( z ) )を説明するxの位相因子も生成されます。

エルミートガウスモードは通常「TEM _{lm 」と指定されます。したがって、基本ガウスビームは TEM 00}と呼ばれることがあります( TEMは横方向電磁波)。u _l ( x , z )とu _m ( y , z )を乗算して 2-D モードプロファイルを取得し、正規化を削除して主要な係数が単にE ₀と呼ばれるようにすると、 ( l , m )モードをよりわかりやすい形式で記述できます。

$${\displaystyle {\begin{aligned}E_{l,m}(x,y,z)={}&E_{0}{\frac {w_{0}}{w(z)}}\,H_{l}\!{\Bigg (}{\frac {{\sqrt {2}}\,x}{w(z)}}{\Bigg )}\,H_{m}\!{\Bigg (}{\frac {{\sqrt {2}}\,y}{w(z)}}{\Bigg )}\times {}\\&\exp \left({-{\frac {x^{2}+y^{2}}{w^{2}(z)}}}\right)\exp \left({-i{\frac {k(x^{2}+y^{2})}{2R(z)}}}\right)\times {}\\&\exp {\big (}i\psi (z){\big )}\exp(-ikz).\end{aligned}}}$$

この形式では、パラメータw _{0 は}、前と同様に、モードのファミリー、特にz = 0での基本モードのウエストと他のすべてのモードパターンの空間範囲のスケーリングを決定します。w ₀、w ( z ) 、およびR ( z )は、上記の基本ガウスビームの場合と同じ定義を持つと仮定します。 l = m = 0の場合、前述の基本ガウスビームが得られることがわかります( H ₀ = 1であるため)。任意のzでのxプロファイルとyプロファイルの唯一の具体的な違いは、次数lとmのエルミート多項式因子によるものです。ただし、モードの Gouy 位相のzにわたる進化には変化があります。 $${\displaystyle \psi (z)=(N+1)\,\arctan \left({\frac {z}{z_{\mathrm {R} }}}\right),}$$

ここで、モードNの合成次数はN = l + mと定義される。基本(0,0)ガウスモードのグイ位相シフトはz全体にわたって± π /2ラジアンしか変化しないが（± zR間では± π /4_ラジアンしか変化しない）、高次モードではN + 1倍に増加する。 ^[10]

直角対称のエルミート ガウス モードは、特に、キャビティ設計が直角非対称のレーザーからの放射のモード解析に適しています。一方、円形対称のレーザーとシステムは、次のセクションで紹介するラゲール ガウス モードのセットを使用してより適切に処理できます。

円対称のビームプロファイル（または円筒対称のキャビティを持つレーザー）は、多くの場合、ラゲール・ガウスモード分解を使用して最もよく解かれます。^{[6]これらの関数は、}一般化ラゲール多項式を使用して円筒座標で表されます。各横モードは、この場合、ラジアルインデックスp ≥ 0と、正または負（またはゼロ）になる方位角インデックスlという2つの整数を使用してラベル付けされます。^{[20] [21]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}u(r,\phi ,z)={}&C_{lp}^{LG}{\frac {1}{w(z)}}\left({\frac {r{\sqrt {2}}}{w(z)}}\right)^{\!|l|}\exp \!\left(\!-{\frac {r^{2}}{w^{2}(z)}}\right)L_{p}^{|l|}\!\left({\frac {2r^{2}}{w^{2}(z)}}\right)\times {}\\&\exp \!\left(\!-ik{\frac {r^{2}}{2R(z)}}\right)\exp(-il\phi )\,\exp(i\psi (z)),\end{aligned}}}$$

ここで、L p _l^は一般化ラゲール多項式です。C^LG
_{LP 1000}は必要な正規化定数である: ^[22] 。 $${\displaystyle C_{lp}^{LG}={\sqrt {\frac {2p!}{\pi (p+|l|)!}}}\Rightarrow \int _{0}^{2\pi }d\phi \int _{0}^{\infty }dr\;r\,|u(r,\phi ,z)|^{2}=1,}$$

w ( z )とR ( z )は上記と同じ定義を持ちます。高次エルミート・ガウス・モードと同様に、ラゲール・ガウス・モードのグイ位相シフトの大きさは係数N + 1によって誇張されます。 この場合、結合モード数N = | l | + 2 pです。前と同様に、横方向の振幅変動は方程式の上段の最後の 2 つの係数に含まれており、これもrの基本的なガウス減衰を含みますが、今度はラゲール多項式で乗算されます。回転モード数lの影響は、ラゲール多項式に影響を及ぼすことに加えて、主に位相係数exp(− ilφ )に含まれており、ビーム プロファイルはビームの周りを 1 回転するごとにl完全な2 π位相だけ進められます (または遅れます) ( φ内)。トポロジカル電荷lの光渦の例であり、そのモードの 光の軌道角運動量と関連付けることができます。$${\displaystyle \psi (z)=(N+1)\,\arctan \left({\frac {z}{z_{\mathrm {R} }}}\right),}$$

楕円座標では、高次モードをインス多項式で表すことができます。偶数および奇数のインスガウスモードは^{[7]で与えられます。}

$${\displaystyle u_{\varepsilon }\left(\xi ,\eta ,z\right)={\frac {w_{0}}{w\left(z\right)}}\mathrm {C} _{p}^{m}\left(i\xi ,\varepsilon \right)\mathrm {C} _{p}^{m}\left(\eta ,\varepsilon \right)\exp \left[-ik{\frac {r^{2}}{2q\left(z\right)}}-\left(p+1\right)\zeta \left(z\right)\right],}$$ ここでξとηはCによって定義される半径と角度の楕円座標である。 $${\displaystyle {\begin{aligned}x&={\sqrt {\varepsilon /2}}\;w(z)\cosh \xi \cos \eta ,\\y&={\sqrt {\varepsilon /2}}\;w(z)\sinh \xi \sin \eta .\end{aligned}}}$$ ^m
_p( η , ε )はp次、m次の偶数インス多項式で、εは楕円率パラメータである。エルミート・ガウスモードとラゲール・ガウスモードは、それぞれε = ∞とε = 0のときのインス・ガウスモードの特殊なケースである。^[7]

円筒座標系には、複素振幅が合流型超幾何関数に比例する、もう一つの重要な近軸波モードのクラスがあります。

これらのモードは特異な位相プロファイルを持ち、光子の軌道角運動量の固有関数である。その強度プロファイルは単一の明るいリングによって特徴付けられる。ラゲール・ガウスモードと同様に、その強度は基本（0,0）モードを除いて中心（光軸上）でゼロに低下する。モードの複素振幅は、正規化された（無次元の）ラジアル座標ρ = r / w ₀と正規化された縦座標Ζ = z / z _Rで次のように表される：^[23]

$${\displaystyle {\begin{aligned}u_{{\mathsf {p}}m}(\rho ,\phi ,\mathrm {Z} ){}={}&{\sqrt {\frac {2^{{\mathsf {p}}+|m|+1}}{\pi \Gamma ({\mathsf {p}}+|m|+1)}}}\;{\frac {\Gamma \left({\frac {\mathsf {p}}{2}}+|m|+1\right)}{\Gamma (|m|+1)}}\,i^{|m|+1}\times {}\\&\mathrm {Z} ^{\frac {\mathsf {p}}{2}}\,(\mathrm {Z} +i)^{-\left({\frac {\mathsf {p}}{2}}+|m|+1\right)}\,\rho ^{|m|}\times {}\\&\exp \left(-{\frac {i\rho ^{2}}{\mathrm {Z} +i}}\right)\,e^{im\phi }\,{}_{1}F_{1}\left(-{\frac {\mathsf {p}}{2}},|m|+1;{\frac {\rho ^{2}}{\mathrm {Z} (\mathrm {Z} +i)}}\right)\end{aligned}}}$$

ここで、回転指数mは整数で実数値、Γ( x )はガンマ関数、_1F1 ( a , b ; x )は合流型超幾何関数である _。${\displaystyle {\mathsf {p}}\geq -|m|}$

超幾何ガウス(HyGG)モードのいくつかのサブファミリーは、修正ベッセルガウスモード、修正指数ガウスモード^[23]、および修正ラゲールガウスモードとしてリストすることができます。

超幾何ガウスモードの集合は過剰完備であり、直交モードの集合ではありません。複雑なフィールドプロファイルにもかかわらず、HyGG モードはビームウェスト ( z = 0 ) で非常に単純なプロファイルを持ちます。 $${\displaystyle u(\rho ,\phi ,0)\propto \rho ^{{\mathsf {p}}+|m|}e^{-\rho ^{2}+im\phi }.}$$

• ベッセルビーム
• トップハットビーム
• レーザービームプロファイラー
• 準光学

• バンドレス、ミゲル A.グティエレス・ベガ、フリオ C. (2004)。 「インセガウスビーム」。オプションしましょう。29 (2)。 OSA: 144–146。Bibcode :2004OptL...29..144B。土井：10.1364/OL.29.000144。PMID  14743992。
• ガーグ、アヌパム (2012)。『古典電磁気学を簡単に解説』プリンストン、ニュージャージー州：プリンストン大学出版局。ISBN 978-0691130187。
• Goubau, G.; Schwering, F. (1961). 「電磁波ビームの誘導伝搬について」. IRE Trans . 9 (3): 248–256. Bibcode :1961ITAP....9..248G. doi :10.1109/TAP.1961.1144999. MR  0134166.
• カリミ、E。ジト、G.ピッシリーロ、B.マルッチ、L.サンタマト、E. (2007)。 「超幾何ガウスビーム」。オプション。しましょう。32 (21)。 OSA: 3053 ～ 3055。arXiv : 0712.0782。Bibcode :2007OptL...32.3053K。土井：10.1364/OL.32.003053。PMID  17975594。S2CID 46526713  。
• マンデル、レナード、ウルフ、エミール（1995）。光コヒーレンスと量子光学。ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-41711-2。第 5 章「光ビーム」、267 ページ。
• Pampaloni, F.; Enderlein, J. (2004). 「ガウスビーム、エルミートガウスビーム、ラゲールガウスビーム：入門」. arXiv : physics/0410021 .
• Sakpal, S.; Milione, G.; Li, M.; Nouri, M.; Shahoei, H.; LaFave, T.; Ashrafi, S.; MacFarlane, D. (2018). 「楕円コア少数モードファイバーにおけるインス・ガウスビームの安定性」。Opt . Lett . 43 (11): 2656–2659. Bibcode :2018OptL...43.2656S. doi :10.1364/OL.43.002656. PMID  29856389. S2CID  46921059.
• サレハ、バハアEA;タイヒ、マルビン・カール (1991)。フォトニクスの基礎。ニューヨーク：ジョン・ワイリー＆サンズ。ISBN 0-471-83965-5。第3章「ビーム光学」、80～107ページ。
• ジーグマン、アンソニー E. (1986)。レーザー。大学の科学書。ISBN 0-935702-11-3。第16章。
• スベルト、オラツィオ (2010)。レーザーの原理(第 5 版)。
• ヤリブ、アムノン (1989)。量子エレクトロニクス(第 3 版)。ワイリー。ISBN 0-471-60997-8。