リースシーケンス

数学では、ヒルベルト空間内のベクトル列( x _n )は、次のような 定数が存在する場合、リース列と呼ばれます。 ${\displaystyle (H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$ ${\displaystyle 0<c\leq C<+\infty }$

${\displaystyle c\left(\sum _{n}|a_{n}|^{2}\right)\leq \left\Vert \sum _{n}a_{n}x_{n}\right\Vert ^{2}\leq C\left(\sum _{n}|a_{n}|^{2}\right)}$

ℓ ^p空間ℓ ^{2における}スカラー列 ( a _n )すべてに対して、リース列は次の式 で表される。

${\displaystyle {\overline {\mathop {\rm {span}} (x_{n})}}=H}$。

あるいは、リース基底を の形式の族として定義することもできます。ここで はの正規直交基底であり、は有界な全単射作用素です。したがって、リース基底は正規直交である必要はなく、正規直交基底の一般化です。^[1]${\displaystyle \left\{x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }=\left\{Ue_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }}$${\displaystyle \left\{e_{n}\right\}_{n=1}^{\infty}}$${\displaystyle H}$${\displaystyle U:H\rightarrow H}$

をヒルベルト空間の正規直交基底とし、を次の意味で 「近い」ものとする。${\displaystyle \{e_{n}\}}$${\displaystyle H}$${\displaystyle \{x_{n}\}}$${\displaystyle \{e_{n}\}}$

${\displaystyle \left\|\sum a_{i}(e_{i}-x_{i})\right\|\leq \lambda {\sqrt {\sum |a_{i}|^{2}}}}$

ある定数、、および任意のスカラーに対して、 は のリース基底となる。^{[2] [3]}${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle 0\leq \lambda <1}$${\displaystyle a_{1},\dotsc ,a_{n}}$ ${\displaystyle (n=1,2,3,\dotsc )}$${\displaystyle \{x_{n}\}}$${\displaystyle H}$

H が有限次元空間である場合、Hのすべての基底はリース基底です。

をL ^p空間L ² ( R )に置き、 ${\displaystyle \varphi}$

${\displaystyle \varphi _{n}(x)=\varphi (xn)}$

のフーリエ変換をとします。定数cとCを で定義します。次の式は同値です。 ${\displaystyle {\hat {\varphi }}}$${\displaystyle {\varphi}}$${\displaystyle 0<c\leq C<+\infty }$

${\displaystyle 1.\quad \forall (a_{n})\in \ell ^{2},\ \ c\left(\sum _{n}|a_{n}|^{2}\right)\leq \left\Vert \sum _{n}a_{n}\varphi _{n}\right\Vert ^{2}\leq C\left(\sum _{n}|a_{n}|^{2}\right)}$

${\displaystyle 2.\quad c\leq \sum _{n}\left|{\hat {\varphi }}(\omega +2\pi n)\right|^{2}\leq C}$

上記の条件の最初のものは、( ) が張る空間のリース基底を形成するための定義です。 ${\displaystyle {\varphi _{n}}}$

• 正規直交基底
• ヒルベルト空間
• ベクトル空間のフレーム

• Antoine, J.-P.; Balazs, P. (2012). 「フレーム、セミフレーム、ヒルベルトスケール」.数値関数解析と最適化. 33 (7–9). arXiv : 1203.0506 . doi :10.1080/01630563.2012.682128. ISSN  0163-0563.
• Christensen, Ole (2001)、「フレーム、リース基底、および離散ガボール/ウェーブレット展開」(PDF)、米国数学会報、新シリーズ、38 (3): 273–291、doi : 10.1090/S0273-0979-01-00903-X
• Mallat, Stéphane (2008)、A Wavelet Tour of Signal Processing: The Sparse Way (PDF) (第 3 版)、pp. 46–47、ISBN 9780123743701
• Paley, Raymond EAC ; Wiener, Norbert (1934)。複素領域におけるフーリエ変換。プロビデンス、ロードアイランド州：アメリカ数学協会。ISBN 978-0-8218-1019-4。
• ヤング、ロバート M. (2001)。非調和フーリエ級数入門、改訂版、93。アカデミック プレス。ISBN 978-0-12-772955-8。

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