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線型空間は、入射幾何学における基本構造です。線型空間は、点と呼ばれる要素の集合と、線と呼ばれる要素の集合で構成されます。各線は、点の個別のサブセットです。線上の点は、その線に入射していると言われます。2 つの点はそれぞれ 1 つの線上にあり、2 つの線には共通する点が 1 つしかありません。直感的には、この規則は、2 本の直線が 2 回以上交差することはないという特性として視覚化できます。
線型空間は、射影平面とアフィン平面、さらに広義には 2ブロック設計の一般化と見なすことができます。2 ブロック設計では、すべてのブロックに同じ数の点が含まれるという要件が削除され、2 つの点が正確に 1 本の線に接することが基本的な構造特性となります。
線形空間という用語は1964 年にポール リボアによって造られましたが、線形空間に関する多くの結果はそれよりずっと古いものです。
意味
L = ( P , G , I )を接続構造とし、 Pの要素を点、 Gの要素を線と呼ぶ。 次の 3 つの公理が成り立つ場合、 L は線型空間である。
- (L1) 2つの異なる点が正確に1本の線と交差する。
- (L2) すべての直線は少なくとも 2 つの異なる点に接続されます。
- (L3) Lには少なくとも2つの異なる線が含まれています。
線形空間を定義する際に (L3) を省略する著者もいます。このような状況では、 (L3) に従う線形空間は非自明であるとみなされ、従わない線形空間は自明であるとみなされます。
例
点と線からなる正則ユークリッド平面は線型空間を構成し、さらにすべてのアフィン空間と射影空間も線型空間です。
以下の表は、5 点の可能なすべての非自明な線形空間を示しています。任意の 2 点は必ず 1 本の線と交差するため、慣例により、2 点のみと交差する線は描画されません。自明なケースは、単に 5 点を通る線です。
最初の図では、10 組の点を結ぶ 10 本の線が描かれていません。 2 番目の図では、7 組の点を結ぶ 7 本の線が描かれていません。
n − 1 点に接する直線を含むn点の線型空間を近似線型空間 と呼ぶ。（鉛筆を参照）
プロパティ
ド・ブリュイン・エルデシュの定理は、単一の点や単一の直線ではない任意の有限線形空間において、 が成り立つことを示しています。
参照
参考文献
- Shult、Ernest E. (2011)、Points and Lines、Universitext、Springer、doi :10.1007/978-3-642-15627-4、ISBN 978-3-642-15626-7。
- Albrecht Beutelspacher : Einführung in die endliche Geometrie II。 Bibliographisches Institut、1983、ISBN 3-411-01648-5、p. 159 (ドイツ語)
- JH van Lint、RM Wilson :組合せ論講座。ケンブリッジ大学出版局、1992年、ISBN 0-521-42260-4。p . 188
- LM Batten、Albrecht Beutelspacher:有限線型空間の理論。ケンブリッジ大学出版局、ケンブリッジ、1992年。