広がり（射影幾何学）

有限幾何学で頻繁に研究される問題は、ある物体を点、線、平面などのより単純な物体で覆う方法を特定することです。射影幾何学では、この問題の特定の例として、射影空間を同じ次元を持つ互いに素な 2 つの部分空間で覆うことができるかどうか、またどのように覆うことができるかを特定することが、多数の応用があります。このような分割はスプレッド と呼ばれます。具体的には、射影空間 のスプレッド( は整数、分割環) は、ある に対して - 次元の部分空間の集合であり、その空間のすべての点はスプレッドの要素の 1 つに正確に含まれます。 ${\displaystyle PG(d,K)}$${\displaystyle d\geq 1}$${\displaystyle K}$${\displaystyle r}$${\displaystyle 0<r<d}$

スプレッドは有限体上の射影幾何学で特によく研究されているが、注目すべき結果のいくつかは無限射影幾何学にも当てはまる。有限の場合、スプレッドに関する基礎研究はアンドレ^[1]と、それとは独立にブルック・ボーズ^[2]の並進平面の理論との関連で発表されている。これらの論文では、有限射影空間の次元部分空間のスプレッドが存在するのは、 の場合のみであることが示されている。^[3]${\displaystyle r}$${\displaystyle PG(d,q)}$${\displaystyle r+1\mid d+1}$

すべての整数 に対して、射影空間には常に - 次元部分空間の広がりがあり、このセクションでは、広がりという用語はこの特定の種類の広がりを指します。この形式の広がりは、無限射影幾何学でも発生する可能性があります (実際に頻繁に発生します)。これらの広がりは、そのような広がりのすべてを使用して、アンドレ/ブルックボーズ構成を使用して変換平面を作成できるため、文献で最も広く研究されています。^{[1] [2]}${\displaystyle n\geq 1}$${\displaystyle PG(2n+1,q)}$${\displaystyle n}$

を整数の射影空間、を分周環とする。のレグルス[ ^4]は、次の性質を持つ、 互いに素な次元部分空間の集合である。${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle PG(2n+1,K)}$${\displaystyle n\geq 1}$${\displaystyle K}$ ${\displaystyle R}$${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle n}$

1. ${\displaystyle R}$少なくとも3つの要素を含む
2. の3つの要素に交わるすべての線は横断線と呼ばれ、のすべての要素に交わります。${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$
3. 横断線上のすべての点は、${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$

内の任意の３つの互いに素な次元部分空間は、一意のレグルスに含まれる。^[5]の広がりが正則であるとは、 の任意の３つの異なる次元部分空間に対して、それらによって決定される一意のレグルスのすべての要素が に含まれることである。正則な広がりは、一般にムーファン平面を生成し、周囲場の位数が より大きい有限の場合にはデザルグ平面を生成するという点で、並進平面の理論において重要である。レグルスは３つの要素のみを含むので、 のすべての広がりは自明に正則である。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle S}$${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle n}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle PG(2n+1,2)}$

正規分布の構築は、代数モデルを使用すると最も簡単に確認できます。を体上の次元ベクトル空間とすると、の 次元部分空間を使用しての 次元部分空間をモデル化できます。このモデルでは、点と超平面を表すために同次座標を使用します。 発生は交差によって定義され、ゼロベクトルのみで交差する部分空間は互いに素であると見なされます。このモデルでは、 のゼロベクトルは事実上無視されます。 ${\displaystyle V}$${\displaystyle (2n+2)}$ ${\displaystyle F}$${\displaystyle k}$${\displaystyle PG(2n+1,F)}$${\displaystyle (k+1)}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V}$

を体とし、の- 次元拡大体をとします。を 上の - 次元ベクトル空間として考えます。これは、上記の射影空間のモデルを提供します。 の各要素は、と一意に表すことができます。ここで です。 正規の広がりは、 の各 に対してによって定義される - 次元射影空間の集合と によって与えられます。^[6]${\displaystyle F}$${\displaystyle E}$${\displaystyle n}$${\displaystyle F}$${\displaystyle V=E\oplus E}$${\displaystyle 2n}$${\displaystyle F}$${\displaystyle PG(2n-1,F)}$${\displaystyle V}$${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle x,y\in E}$${\displaystyle n}$${\displaystyle J(k)=\{(x,kx):x\in E\}}$${\displaystyle k\in E}$${\displaystyle J(\infty )=\{(0,y):y\in E\}}$

上記の通常のスプレッドの構築は、より一般的なスプレッドの構築の一例であり、体乗法はベクトル空間として考えた場合、上の線型変換であるという事実を利用しています。 は 上の有限次元拡張であるため、 から 自身への線型変換はの要素を持つ行列で表すことができます。スプレッド セットは、次の特性を持つ 上の行列の集合です。${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$${\displaystyle n}$${\displaystyle F}$${\displaystyle E}$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle F}$${\displaystyle S}$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle F}$

• ${\displaystyle S}$ゼロ行列と単位行列を含む
• 内の任意の2つの異なる行列とに対して、は特異でない${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle S}$${\displaystyle XY}$
• それぞれの要素のペアに対して、${\displaystyle a,b\in E}$${\displaystyle X\in S}$${\displaystyle aX=b}$

有限の場合、ここで はある素数冪 の順序体であり、最後の条件は行列を含む拡散集合と同等である。拡散集合 が与えられれば、によって定義される - 次元射影空間の集合として拡散を作成することができる。この場合、各 に対して、 と を組み合わせると、^[2]となる。 具体的な例として、次の 9 つの行列は上の 2 × 2 行列として表されるため、 の拡散集合となる。^[6]${\displaystyle E}$${\displaystyle q^{n}}$${\displaystyle q}$${\displaystyle q^{n}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle n}$${\displaystyle J(k)=\{(x,xM):x\in E\}}$${\displaystyle M\inS}$${\displaystyle J(\infty )=\{(0,y):y\in E\}}$${\displaystyle GF(9)}$${\displaystyle GF(3)}$${\displaystyle AG(2,9)}$

${\displaystyle \left[{\begin{matrix}0&0\\0&0\end{matrix}}\right],\left[{\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}}\right],\left[{\begin{matrix}2&0\\0&2\end{matrix}}\right],\left[{\begin{matrix}0&1\\2&0\end{matrix}}\right],\left[{\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}}\right],\left[{\begin{matrix}2&1\\2&2\end{matrix}}\right],\left[{\begin{matrix}0&2\\1&0\end{matrix}}\right],\left[{\begin{matrix}1&2\\1&1\end{matrix}}\right],\left[{\begin{matrix}2&2\\2&1\end{matrix}}\right]}$

スプレッドセットの別の例として、9次のホール平面が挙げられます^[6]

${\displaystyle \left[{\begin{matrix}0&0\\0&0\end{matrix}}\right],\left[{\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}}\right],\left[{\begin{matrix}2&0\\0&2\end{matrix}}\right],\left[{\begin{matrix}1&1\\1&2\end{matrix}}\right],\left[{\begin{matrix}2&2\\2&1\end{matrix}}\right],\left[{\begin{matrix}0&1\\2&0\end{matrix}}\right],\left[{\begin{matrix}0&2\\1&0\end{matrix}}\right],\left[{\begin{matrix}1&2\\2&2\end{matrix}}\right],\left[{\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}}\right]}$

新しいスプレッドを作成する一般的な方法の 1 つは、通常のスプレッドから始めて、それを何らかの方法で変更することです。ここで紹介するテクニックは、このアプローチのより基本的な例の一部です。

スプレッドから始めて、その要素の部分集合であるスイッチングセットを探すことで、新しいスプレッドを作成できます。スイッチングセット は、正しい次元の互いに素な部分空間の別の集合で置き換えることができます。 では、レグルスはスイッチングセットを形成します。これは、レグルスの横断集合もレグルスを形成し、これをの反対レグルスと呼びます。スプレッド内のレグルスの線を削除し、反対レグルスに置き換えると、元のスプレッドと同型ではないことが多い新しいスプレッドが生成されます。このプロセスは、導出または純置換と呼ばれるより一般的なプロセスの特殊なケースです。^[7]${\displaystyle PG(3,K)}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$

の正則スプレッドから始めて、任意のレグルスを反転すると、ホール平面を生成するスプレッドが生成されます。より一般的には、このプロセスは、正則スプレッド内の任意のレグルスの集合に独立に適用でき、準正則スプレッド^[8]が生成されます。結果として得られる変換平面は、準正則平面と呼ばれます。アンドレ平面は、準正則平面の特別なサブクラスを形成します。ホール平面は、正則スプレッド内の単一のレグルスを置き換えることによって生じる最も単純な例です。 ${\displaystyle PG(3,q)}$

より複雑なスイッチング セットも構築されています。Bruen ^[9]は、の奇数の規則的な広がりにおけるレギュラリのチェーンの概念、つまり、 2 本の直線で対になって交わり、チェーンのレギュラリに含まれるすべての直線が、チェーンの 2 つの異なるレギュラリに含まれるという概念を検討しました。Bruen は、 の規則的な広がりにおけるチェーンの例を構築し、チェーン内の各レギュラリの反対のレギュラリからの直線のちょうど半分の和をとることで、チェーンを置き換えることができることを示しまし た。それ以来、Bruen チェーンの例が数多く文献に登場しており、Heden ^[10]は、反対の半分のレギュラリを使用して任意の Bruen チェーンを置き換えることができることを示しました。チェーンは、29 を除く 37 までのすべての奇数の素数累乗に対しての規則的な広がりに存在することが知られており、 に対しては存在しないことが知られています。^[11]追加の Bruen チェーンは存在しないと推測されています。 ${\displaystyle PG(3,q)}$${\displaystyle q}$${\displaystyle (q+3)/2}$${\displaystyle PG(3,5)}$${\displaystyle PG(3,q)}$${\displaystyle q}$${\displaystyle q\in \{29,41,43,47,49\}}$

ベイカーとエバート^[12]は、チェーンの概念をネストへと一般化した。ネストとは、規則的な広がりを持つレギュラスの集合であり、ネストのレギュラスに含まれるすべての線は、ネストの正確に2つの異なるレギュラスに含まれる。チェーンとは異なり、ネスト内の2つのレギュラスは、1組の線で出会う必要はない。チェーンとは異なり、規則的な広がりを持つネストは、交換可能である必要はないが^[13]、交換可能なネストの無限の族がいくつか知られている。^{[14] [15]}

高次元では、横断線が正しい次元を持たないため、レギュラスを反転することはできない。レギュラスに類似するもので、反転可能なノルム面と呼ばれるものがある。^[16]高次元のアンドレ平面は、これらのノルム面を反転して得られるスプレッドから得ることができ、また、アンドレ平面を生じないサブレギュラースプレッドの類似物も存在する。^{[17] [18]}

初期の通常のスプレッドを参照せずに、他の幾何学的オブジェクトから スプレッドを構築する方法はいくつか知られています。これに対するよく研究されたアプローチをいくつか以下に示します。${\displaystyle PG(3,q)}$

において、二次円錐は、固定点 P (頂点)を含む直線の集合と、 P を通らない平面上の円錐上の点との和集合です。円錐には点があるため、二次円錐にも点があります。従来の幾何学的円錐断面と同様に、 の平面は、点、円錐、直線、または直線対のいずれかで二次円錐と交わることができます。二次円錐のフロックとは、二次円錐との交点が互いに交わらない円錐である平面の集合です。フロックの典型的な構築方法は、二次円錐と交わらない直線を選び、円錐の頂点を含まない平面を取ることです。このようなフロックは線型と呼ばれます。 ${\displaystyle PG(3,q)}$${\displaystyle q+1}$${\displaystyle q(q+1)+1}$${\displaystyle PG(3,q)}$${\displaystyle q}$${\displaystyle m}$${\displaystyle q}$${\displaystyle m}$

フィッシャーとタス^[19]は、クラインの対応を用いて二次円錐の群れからの広がりを構築する方法を示し、結果として得られる広がりが規則的であるのは、最初の群れが線形である場合に限ることを示しています。二次円錐の群れの無限族は数多く知られており、散発的な例も数多くあります。^[20]${\displaystyle PG(3,q)}$

二次円錐の群れから生じるすべてのスプレッドは、すべて固定された直線上で交わるレギュリの和集合である。通常のスプレッドと同様に、これらのレギュリはいずれもその反対のレギュリと置き換えることができ、いくつかの潜在的に新しいスプレッドを作成することができる。^[21]${\displaystyle q}$${\displaystyle m}$

双曲ファイブレーションでは、空間が互いに素な双曲二次曲線に分割され、2 本の線がすべての二次曲線と互いに素になります。双曲二次曲線はレグルスとその反対によって覆われる点で構成されるため、双曲ファイブレーションは異なる広がりを生み出します。 ${\displaystyle PG(3,q)}$${\displaystyle q-1}$${\displaystyle 2^{q-1}}$

アンドレ平面を生み出すすべての広がりは、通常の広がりも含めて、アンドレによって述べられたように、双曲的ファイブレーション（具体的には、任意の2 つの二次曲面によって生成される代数的ペンシル）から得ることができます。 ^{[1]エバート[22]}は、ネスト置換を使用して、双曲的ファイブレーションが識別される広がりのファミリーを発見しました。 ベイカーら^[23]は、双曲的ファイブレーションの構築の明示的な例を示しています。 はるかに堅牢な双曲的ファイブレーションのソースは、ベイカーら^[24]によって特定され、著者らは二次錐の群れと双曲的ファイブレーションの間の対応関係を開発しました。興味深いことに、二次錐の群れによって生成される広がりは、対応する双曲的ファイブレーションから生成される広がりと一般に同型ではありません。

ヒルシュフェルドとタス^[25]は、任意の奇数の整数に対して、を に同型な部分幾何学に分割すると の広がりが生じ、ここで分割の各部分幾何学は新しい広がりのレグルスに対応することを指摘している。 ${\displaystyle n\geq 3}$${\displaystyle PG(n-1,q^{2})}$${\displaystyle PG(n-1,q)}$${\displaystyle PG(2n-1,q)}$

の「古典的な」部分幾何学的分割は、シンガーサイクルのサブ軌道を使用して生成できますが、これは単に規則的な広がりを生成します。^[26] Yff ^{[27] は}、非古典的な部分幾何学的分割、つまり の7 つのコピーへの分割を発表しました。これは、サブプレーンを並べ替える巡回群を許容します。Baker ら^{[28] は、}同じ巡回群の作用を持つ、 のサブプレーンへ の分割の無限族をいくつか提供しています。${\displaystyle PG(n-1,q^{2})}$${\displaystyle PG(2,9)}$${\displaystyle PG(2,3)}$${\displaystyle PG(2,q^{2})}$

射影空間の部分スプレッドは、空間内の互いに素な 次元部分空間のペアの集合です。したがって、スプレッドは、空間のすべての点がカバーされる部分スプレッドにすぎません。部分スプレッドは、それを含むより大きな部分スプレッドが存在しない場合に完全または最大であると呼ばれます。つまり、部分スプレッドのすべてのメンバーと互いに素な 次元部分空間は存在しません。スプレッドと同様に、最もよく研​​究されているケースは、完全なスプレッドのサイズが である有限射影空間 の直線の部分スプレッドです。Mesner ^{[29] は}、より大きいサイズを持つ内の直線の部分スプレッドは完全ではあり得ないことを示しました。実際、それは 1 つのスプレッドのサブセットでなければなりません。下限について、Bruen ^[30]は、サイズが最大で 本の線である 内の直線の完全な部分スプレッドは完全ではあり得ないことを示しました。このサイズの部分スプレッドに追加できる直線が必ず存在します。Bruen ${\displaystyle PG(d,K)}$${\displaystyle r}$${\displaystyle r}$${\displaystyle PG(3,q)}$${\displaystyle q^{2}+1}$${\displaystyle PG(3,q)}$${\displaystyle q^{2}-{\sqrt {q}}}$${\displaystyle PG(3,q)}$${\displaystyle q+{\sqrt {q}}}$${\displaystyle PG(3,q)}$${\displaystyle q^{2}-q+1}$${\displaystyle q^{2}-q+2}$${\displaystyle q>2}$

古典的な極空間はすべて、射影空間の基礎となるベクトル空間上の二乗線形または二次形式の完全に等方的な部分空間の集合として、ある射影空間に埋め込まれます。 の部分広がりの特に興味深いクラスは、射影空間に埋め込まれた古典的な極空間の最大部分空間のみで構成されるものです。極空間のすべての点をカバーするこのような部分広がりは、極空間の 広がりと呼ばれます。${\displaystyle PG(d,K)}$${\displaystyle PG(d,K)}$

平行移動平面の理論の観点からは、シンプレクティック極空間は特に興味深い。なぜなら、その点の集合は 内のすべての点であり、その最大部分空間は の次元であるからである。したがって、シンプレクティック極空間の広がりは、射影空間全体の広がりでもあり、上記のように平行移動平面を作成するために使用できる。シンプレクティック広がりの例はいくつか知られている。Ball ら^{[31]を参照のこと。}${\displaystyle PG(2n+1,K)}$${\displaystyle n}$