数字

数字（しばしば単に数字と略される）は、位置記法（一般的な基数10など）で数字を表すために、単独（「1」など）または組み合わせ（「15」など）で使用される単一の記号です。「数字」という名前は、指を意味するラテン語のdigitiに由来しています。 ^[1]

整数を基数とするあらゆる数値システムでは、必要な異なる桁の数は基数の絶対値です。たとえば、10 進数 (基数 10) では 10 桁 (0 から 9) が必要ですが、 2進数(基数 2) では 2 桁 (0 と 1) のみが必要です。10 より大きい基数では 10 桁を超える桁が必要であり、たとえば 16進数(基数 16) では 16 桁 (通常は 0 から 9 と A から F) が必要です。

概要

基本的なデジタルシステムでは、数字は任意の長さの数字の列です。列内の各位置には位の値があり、各桁には値があります。数字の値は、列内の各桁に位の値を掛け、結果を合計することで計算されます。

デジタル価値

記数法の各桁は整数を表します。たとえば、10 進法では数字「1」は整数1 を表し、16 進法では文字「A」は数値10を表します。位置記数法では、 0から記数法の基数までの整数ごとに 1 つの固有の桁があります(基数は含まれません)。

したがって、位置指定十進法では、0 から 9 までの数字は、右端の「一の位」の位置にそれぞれの数字「0」から「9」を使用して表すことができます。数字 12 は、一の位に数字「2」、その「2」の左側の「十の位」に数字「1」を使用して表されます。一方、数字 312 は、3 つの数字、「百の位」に「3」、「十の位」に「1」、「一の位」に「2」の 3 つの数字を使用して表されます。

位取りの計算

10進数表記では、小数点記号（英語ではピリオド、他のヨーロッパ言語ではカンマが一般的） ^{[2] を}使って「一の位」または「一の位」を表し、^[3]^[4]^[5]その位の値は1である。この記号の左側の各位の位の値は、前の桁の位の値に基数を掛けた値に等しい。同様に、小数点記号の右側の各位の位の値は、前の桁の位の値を基数で割った値に等しい。例えば、数字10.34 （基数10で表記）では、

0は区切りのすぐ左にあるので一の位または一の位にあり、一の位または一の位と呼ばれます。^[6]^[7]^[8]

一の位の左側の1は十の位にあり、十の位数字と呼ばれる。^[9]

3は一の位の右側にあるので10分の1の位にあり、10分の1の数字と呼ばれます。^[10]

小数点第4位の右隣の4は百分の一の位にあり、百分の一桁と呼ばれる。^[10]

数字の合計値は、10 が 1、1 が 0、10 分の 3 が 3、100 分の 4 です。数字に値を与えないゼロは、1 が 1 の位ではなく 10 の位にあることを示します。

数字の任意の桁の位の値は、簡単な計算で求めることができます。この計算自体が、数字体系の背後にあるロジックを補完するものです。計算では、与えられた数字に、指数n − 1で累乗した基数を掛けます。ここで、n は区切りからその数字の位置を表します。nの値は正 (+) ですが、これは数字が区切りの左側にある場合のみです。右側では、その数字に負 (-) nで累乗した基数を掛けます。たとえば、10.34 (10 進数で表記) という数字では、

1はセパレータの左から2番目なので、計算によるとその値は、

n-1=2-1=1

1\times 10^{1}=10

4は区切りの右から2番目なので、計算によるとその値は、

n=-2

4\times 10^{-2}={\frac {4}{100}}

歴史

最初の真の位置表記法は、ヒンドゥー・アラビア数字であると考えられています。このシステムは7世紀までにインドで確立されましたが、^{[11]数字の}ゼロの使用がまだ広く受け入れられていなかったため、まだ現代の形になっていませんでした。ゼロの代わりに、数字の意味を示すためにドットが付けられたり、スペースがプレースホルダーとして使用されたりすることがありました。ゼロが初めて広く認められて使用されたのは876年でした。^{[12]元の数字は、数字を表すために使用される}グリフに至るまで、現代のものと非常によく似ていました。^[11]

13世紀までに、西洋のアラビア数字はヨーロッパの数学界で受け入れられました（フィボナッチは算盤の書でアラビア数字を使用しました）。アラビア数字は15世紀に一般的に使用され始めました。^[13] 20世紀末までに、世界中のコンピューター化されていない計算のほとんどすべてがアラビア数字で行われ、ほとんどの文化で土着の数字システムに取って代わりました。

数字を使った他の歴史的な記数法

マヤ数字の正確な年代は不明ですが、ヒンドゥー・アラビア数字よりも古い可能性があります。この数字は20 進法(基数 20) であるため、20 桁あります。マヤ人は 0 を表すために貝殻の記号を使用しました。数字は縦書きで、1 の位が一番下になります。マヤ人には現代の10 進記号に相当するものがなかったため、分数を表すことができませんでした。

タイの数字体系は、数字を表す記号を除いて、ヒンドゥー・アラビア数字体系と同じです。これらの数字はタイでは以前ほど一般的ではありませんが、アラビア数字と並んで今でも使用されています。

棒数字は、かつて中国や日本の数学者が使っていた棒の数え方を記した形式で、ゼロだけでなく負の数も表すことができる十進法の位置システムです。棒数え方自体は、ヒンドゥー・アラビア数字システムよりも古いものです。蘇州数字は棒数字の変種です。

現代のデジタルシステム

コンピュータサイエンス

コンピュータサイエンスで広く使用されている2進数（基数2）、8進数（基数8）、16進数（基数16）のシステムはすべて、ヒンドゥー・アラビア数字システムの慣例に従っています。^[14] 2進数システムでは数字「0」と「1」のみを使用し、8進数システムでは数字「0」から「7」を使用します。16進数システムでは、10進システムのすべての数字に加えて、それぞれ10から15の数字を表す文字「A」から「F」を使用します。^[15] 2進システムが使用される場合、「ビット」という用語は通常、「桁」の代替として使用され、「2進数」という用語の合成語です。

珍しいシステム

三進法と平衡三進法が時々使われてきました。どちらも3を基数とするシステムです。^[16]

バランス型3進法は、1、0、-1の数字の値を持つという点で珍しい。バランス型3進法はいくつかの有用な特性を持つことが判明しており、このシステムはロシアの実験用コンピュータSetunで使用されている。^[17]

過去 300 年間に何人かの著者が、位置表記法の利便性、つまり修正された 10 進数表現について言及してきました。負の値を表す数字の使用には、いくつかの利点が挙げられています。1840 年にAugustin-Louis Cauchy は、数の符号付き数字表現の使用を提唱し、1928 年にFlorian Cajori は、負の数に関する参考文献集を発表しました。符号付き数字表現の概念は、コンピュータ設計にも取り入れられています。

数学における数字

数字は数を記述する上で重要な役割を果たしているにもかかわらず、現代数学においてはそれほど重要ではありません。^[18]しかし、数を数字の列として表現することを利用する重要な数学的概念がいくつかあります。

デジタルルーツ

デジタルルートは、与えられた数値の各桁を合計し、その結果の各桁を合計し、これを繰り返して1桁の数値が得られるまで繰り返すことによって得られる1桁の数値です。^[19]

9を投げ出す

9 を除外することは、手作業で行われた計算をチェックするための手順です。これを説明するために、上で説明したように、をのデジタル根として表します。9 を除外することは、ならばという事実を利用します。9 を除外するプロセスでは、後者の式の両辺が計算され、それらが等しくない場合は、元の加算に誤りがあったに違いありません。^[20] $f(x)$ $x$ $A+B=C$ $f(f(A)+f(B))=f(C)$

反復単位と反復数字

レプユニットは、数字 1 のみで表現される整数です。たとえば、1111 (千、百十一) はレプユニットです。レプディジットはレプユニットの一般化であり、同じ数字を繰り返して表現される整数です。たとえば、333 はレプディジットです。レプユニットの素数性は数学者の関心事です。^[21]

回文数とライクレル数

回文数は、数字を逆にしても同じ数になる数である。^[22]ライクレル数とは、数字を逆にして自分自身に加えるという反復処理を行っても回文数にならない正の整数である。^{[23] 10進数にライクレル数が存在するかどうかという問題は、}娯楽数学における未解決の問題であり、最小の候補は196である。^[24]

古代の数字の歴史

数えるための補助手段、特に身体の部位を使うこと（指で数えること）は、現代と同様に先史時代にも確かに使われていました。さまざまなバリエーションがあります。10本の指を数えることに加え、文化によっては指だけでなく指の関節、指の間、足の指も数えていました。ニューギニアのオクサプミン文化では、上半身の27か所で数字を表すシステムを使用しています。^[25]

数字の情報を保存するために、木、骨、石に彫られたタリー（数珠）が先史時代から使われてきました。 ^[26]古代アメリカ先住民グループを含む石器時代の文化では、ギャンブル、個人的なサービス、貿易品にタリー（数珠）が使われていました。

粘土に数字情報を保存する方法は、紀元前8000年から3500年の間にシュメール人によって発明されました。 ^[27]これは、ビーズのように紐に通された様々な形の小さな粘土トークンを使用して行われました。紀元前3500年頃から、粘土トークンは徐々に、粘土板（もともとトークンを入れる容器）に丸いスタイラスでさまざまな角度で刻印された数字記号に置き換えられ、その後焼かれました。紀元前3100年頃、書かれた数字は数えられるものから切り離され、抽象的な数字になりました。

紀元前2700年から2000年の間、シュメールでは、丸いスタイラスは徐々に葦のスタイラスに置き換えられ、粘土に楔形の楔形文字を押し付けるために使われました。これらの楔形文字は、置き換えられた丸い数字に似ており、丸い数字の加法的な記号値表記を保持していました。これらのシステムは徐々に共通の60進数システムに収束しました。これは、垂直の楔とV字の2つの刻印のみで構成される位取りシステムであり、分数も表すことができました。 [ ^28]この60進数システムは、古バビロニア時代の初め（紀元前1950年頃）に完全に開発され、バビロニアで標準となりました。^[29]

60進法は、楔形文字の縦のくさびとV字の連続で、10進法と6進法を交互に保持する混合基数システムでした。紀元前1950年までに、これは位置表記システムでした。60進法は商業で広く使用されるようになりましたが、天文学やその他の計算にも使用されました。このシステムはバビロニアから輸出され、メソポタミア全土で使用され、ギリシャ人、ローマ人、エジプト人を含む、標準的なバビロニアの測定単位と計数単位を使用するすべての地中海諸国で使用されました。バビロニア式の60進法は、現代社会でも時間（時間あたりの分数）と角度（度）を測定するために使用されています。^[30]

現代の数字の歴史

中国では、軍隊と食料は素数のモジュラー計算法を使って数えられていた。軍隊の一意の数と米の量は、これらの計算法の一意の組み合わせとして現れる。モジュラー計算の大きな利点は、掛け算が簡単なことである。^[31]このため、食料にモジュラー計算を使用することは特に魅力的である。従来の計算法では、掛け算や割り算が非常に難しい。現代では、モジュラー計算はデジタル信号処理で時々使用される。^[32]

ギリシャ最古の数字体系はアッティカ数字であったが^[33]、紀元前4世紀には準十六進法のアルファベット体系が使われ始めた（ギリシャ数字を参照）。^{[34]ユダヤ人も同様の体系（}ヘブライ数字）を使い始め、最も古い例は紀元前100年頃の硬貨である。^[35]

ローマ帝国は蝋、パピルス、石に記された数え方を使い、様々な数字に文字を割り当てるというギリシャの慣習にほぼ従っていました。ローマ数字のシステムは、 16世紀に位置表記法が一般的に使用されるようになるまで、ヨーロッパで一般的に使用されていました。 ^[36]

中央アメリカのマヤ人は、おそらくオルメカから受け継いだ18進数と20進数の混合システムを使用しており、位置表記法やゼロなどの高度な機能が含まれていました。^{[37]彼らはこのシステムを使用して、太陽年の長さや}金星の軌道の非常に正確な計算を含む高度な天文学的計算を行いました。^[38]

インカ帝国は、色のついた繊維を結んで作った数珠「キプ」を使って大規模な指令経済を営んでいた。 ^[39]結び目と色のコード化に関する知識は16世紀にスペインの征服者によって抑圧され、アンデス地方では今でもキプのような単純な記録装置が使われているものの、残っていない。

一部の権威者は、位置計算は中国で棒が広く使われたことから始まったと考えています。^[40]位置に関する最も古い記録は、 400年頃の中国での棒計算の結果のようです。ゼロは、7世紀にインドで初めてブラフマグプタによって使用されました。^[41]

現代の位置を表すアラビア数字体系はインドの数学者によって開発され、773年頃にインド大使がバグダッドに持ち込んだ天文表とともにイスラムの数学者に受け継がれた。 ^[42]

インドからは、イスラム教のスルタンとアフリカの間の盛んな貿易を通じて、この概念がカイロにもたらされた。アラビアの数学者たちはこのシステムを拡張して小数も含め、 9世紀にムハンマド・イブン・ムーサー・アル＝フワーリズミーが重要な著作を書いた。^[43]現代のアラビア数字は、12世紀にスペインでこの著作が翻訳され、レオナルド・ディ・ピサの1201年の『算盤の書』によってヨーロッパに導入された。 ^[44]ヨーロッパでは、ゼロを含む完全なインドのシステムは12世紀にアラブ人から派生した。^[45]

2進法（基数2）は17世紀にゴットフリート・ライプニッツによって広められました。^[46]ライプニッツはキャリアの早い段階でこの概念を開発し、中国の易経のコピーを検討した際に再検討しました。 ^[47] 2進数は、20世紀にコンピューターアプリケーションによって一般的に使用されるようになりました。^[46]

最も一般的なシステムの数字

追加の数字

参照

参考文献

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