9を投げ出す

9を捨てるというのは、3つの算術的手順のいずれかです: ^[1]

• 正の整数の小数桁を加算します。オプションで、9 や、合計が 9 または 9 の倍数になる桁を無視します。この手順の結果は、元の数値が 1 桁以上ある場合は元の数値より小さくなり、9 で割った後の余りは元の数値と同じになり、元の数値から 9 の倍数を減算することで得られます。この手順の名前は、この後者の特性に由来しています。
• 1 桁の数字が得られるまで、この手順を以前の適用から得られた結果に繰り返し適用します。この 1 桁の数字は、元の数字の「デジタル ルート」と呼ばれます。数字が 9 で割り切れる場合、そのデジタル ルートは 9 です。そうでない場合、そのデジタル ルートは 9 で割った後の余りです。
• 上記の手順を使用して算術計算のエラーをチェックする健全 性テスト。このテストは、オペランド自体に適用するのと同じ一連の算術演算をオペランドのデジタル根に適用することによって実行されます。計算に間違いがなければ、2 つの結果のデジタル根は同じになります。したがって、異なる場合は、計算に 1 つ以上の間違いがあったに違いありません。

1 つの数字から「9 を取り除く」には、その小数桁を単純に足し合わせて、いわゆる桁の合計を求めます。たとえば、2946 の桁の合計は、2 + 9 + 4 + 6 = 21 です。21 = 2946 − 325 × 9 なので、2946 の桁の合計を求めると、そこから 325 個の 9 を取り除くことになります。桁の合計を求めるときに桁 9 を無視すると、もう 1 つの 9 を取り除くことになり、結果は 12 になります。

より一般的には、数字を足して 9 を割り出す場合、合計が 9 になる数字のセット、または 9 の倍数を無視できます。たとえば、3264 という数字では、数字 3 と 6 を足すと 9 になります。したがって、この 2 つの数字を無視して、他の 2 つの数字を足すと、2 + 4 = 6 になります。6 = 3264 − 362 × 9 なので、この計算により、3264 から 362 個の 9 が割り出されることになります。

任意の数 は、通常、10進数の桁の列 で表され、桁の合計は です。元の数とその桁の合計の差は ${\displaystyle 10^{n}d_{n}+10^{n-1}d_{n-1}+\cdots +d_{0}}$${\displaystyle d_{n}d_{n-1}\dots d_{0}}$${\displaystyle d_{n}+d_{n-1}+\cdots +d_{0}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&10^{n}d_{n}+10^{n-1}d_{n-1}+\cdots +d_{0}-\left(d_{n}+d_{n-1}+\cdots +d_{0}\right)\\={}&\left(10^{n}-1\right)d_{n}+\left(10^{n-1}-1\right)d_{n-1}+\cdots +9d_{1}.\end{aligned}}}$

の形の数は必ず9で割り切れるので（）、元の数をその桁の合計で置き換えると、 ${\displaystyle 10^{i}-1}$${\displaystyle 10^{i}-1=9\times \left(10^{i-1}+10^{i-2}+\cdots +1\right)}$

${\displaystyle {\frac {10^{n}-1}{9}}d_{n}+{\frac {10^{n-1}-1}{9}}d_{n-1}+\cdots +d_{1}}$

9個たくさん。

前の段落で説明した手順を、それぞれの前の適用結果に繰り返し適用すると、最終的な結果は、 1 つを除いてすべての 9 が「除去」された 1 桁の数字になります。結果として得られる 1 桁の数字は、元の数字のデジタル ルートと呼ばれます。例外は、元の数字のデジタル ルートが 9 で、その数字の合計がそれ自身であるため、さらに数字の合計を取っても除去されない場合に発生します。

たとえば、12565 という数字の数字の合計は 1+2+5+6+5 = 19 で、その数字の合計は 1+9=10 で、その数字の合計は 1+0=1 となり、1 桁の数字になります。したがって、12565 の数字根は 1 であり、その計算により、12565 から (12565 - 1)/9 = 1396 個の 9 が取り除かれることになります。

9 を捨てて算術計算の結果を確認するには、計算内の各数値をそのデジタル根に置き換え、同じ計算をこれらのデジタル根に適用します。次に、この計算結果のデジタル根を元の計算結果のデジタル根と比較します。計算に間違いがなければ、これら 2 つのデジタル根は同じになります。9 を捨てて加算、減算、乗算、除算を確認する例を以下に示します。

各加数において、9 と、合計が 9 になる数字のペアをすべて消して、残った数字を足します。これらの新しい値は、超過数と呼ばれます。各加数の残りの数字を、1 つの数字に達するまで足します。次に、合計と超過数を処理して、最終的な超過数を取得します。

^* 8 を 8 倍すると 64、6 と 4 を足すと 10、1 と 0 を足すと 1 になります。

この方法が機能するのは、元の数値が「10 進数」（基数 10）であり、係数が 1 だけ異なるように選択され、キャストアウトが数字の合計を取ることと同等であるためです。一般に、任意の 2 つの「大きな」整数xとy を、より小さな係数x'とy' （たとえば、7 を法として）で表すと、その合計、差、または積は常に元の数値と同じになります。この特性は、基数と係数が 1 だけ異なる「数字の合計」でも保持されます。

キャストアウト前の計算が正しかった場合、両側でキャストアウトしても正確さは保持されます。ただし、以前は等しくなかった 2 つの整数が 9 を法として同一になる可能性があります (平均して 9 分の 1 の確率で)。

与えられた分数には一意の表現がないため、この演算は分数では機能しません。

9 の位の足し算のコツは、その数字に 10 を足して、1 を数えることです。10 の位に 1 を足し、一の位から 1 を引くので、数字の合計は変わりません。たとえば、9 + 2 = 11 で、1 + 1 = 2 です。9 をそれ自身に加えると、数字の合計は次のように 9 になるはずです。9 + 9 = 18、(1 + 8 = 9)、9 + 9 + 9 = 27、(2 + 7 = 9)。簡単な掛け算を見てみましょう。5 × 7 = 35、(3 + 5 = 8)。ここで、(7 + 9) × 5 = 16 × 5 = 80、(8 + 0 = 8)、または 7 × (9 + 5) = 7 × 14 = 98、(9 + 8 = 17)、(1 + 7 = 8) を考えます。

負でない整数は 9×n + a と表すことができます。ここで、'a' は 0 から 8 までの 1 桁の数字で、'n' は負でない整数です。したがって、分配法則を使用すると、(9×n + a)×(9×m + b)= 9×9×n×m + 9(am + bn) + ab となります。最初の 2 つの因数は 9 倍されるため、合計は 9 または 0 になり、'ab' が残ります。この例では、'a' は 7、'b' は 5 でした。どの基数システムでも、その基数の前の数は 9 と同じように動作すると予想されます。

9 を除外する方法は非常に便利ですが、計算中に発生したすべてのエラーを検出できるわけではありません。たとえば、9 を除外する方法では、5 × 7 の計算で 8、17、26 などの誤った結果 (つまり、8 を法として 9 となる結果) が生成されても、そのエラーは認識されません。特に、9 を除外しても、 1234 ではなく 1324 となるような転置エラーは検出されません。つまり、この方法では、デジタル ルートが 8 桁のうちの 1 桁で、正しい結果の数字と異なる誤った結果のみが検出されます。

古代ギリシャの数学者に知られていた 9 を排除する形式は、ローマの司教ヒッポリュトス(170–235)が『異端反駁』で説明しており、シリアの新プラトン主義哲学者イアンブリコス(c.245–c.325)は、ニコマコスの『算術 入門』の注釈でより簡潔に説明しています。^[2] しかし、ヒッポリュトスとイアンブリコスの記述はどちらも、ギリシャ数字のデジタル和を繰り返して 1 から 9 までの一意の「根」^[3]を計算する方法の説明に限られていました。どちらも、この手順を使用して算術計算の結果を確認する方法についてはまったく認識していませんでした。

9 を消すことで算術計算の結果をチェックする方法を説明した現存する最古の著作は、インドの数学者で天文学者のアリヤバータ 2 世(c.920–c.1000)が 950 年頃に書いた『マハシッダーンタ』です。 ^[4] ペルシャの博学者イブン・シーナー (アヴィセンナ) (c.980–1037) も 1020 年頃に、9 を消すことで算術計算をチェックする「ヒンドゥー法」と彼が呼ぶ方法の詳細を記しています。^[5]

この手順はフィボナッチの著書『算盤の書』で説明されている。^[6]

この方法は、特定の素数による除算の余りを決定するために一般化できます。

3·3 = 9なので、

${\displaystyle n{\bmod {3}}=(n{\bmod {9}}){\bmod {3}}.}$

したがって、9 を除いた余りを使用して、3 で割った余りを得ることができます。

99 を出すには、1 つの数字ではなく 2 つの数字のグループを追加します。

11・9 = 99なので、

${\displaystyle n{\bmod {1}}1=(n{\bmod {9}}9){\bmod {1}}1.}$

したがって、99を除算した余りを使って、11で割った余りを得ることができます。これは、11を除算すると呼ばれます。同じ結果は、 を構成する数字を交互に加算および減算することによって直接計算することもできます。11でその合計を割り切れるのは、11でその合計を割り切れる場合のみです。^[7]${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

999 を出すには、3 つの数字のグループを追加します。

37・27 = 999なので、

${\displaystyle n{\bmod {3}}7=(n{\bmod {9}}99){\bmod {3}}7.}$

したがって、999 を除算した余りを使用して、37 で割った余りを得ることができます。

• Datta, ビバティブサン州;シン、アヴァデシュ・ナラヤン (1962) [1935]、ヒンズー教数学の歴史: 情報源の本、ボンベイ: アジア出版社
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• ロング、カルビン T. (1972)、初等数論入門(第 2 版)、レキシントン: DC ヒース アンド カンパニー、LCCN  77171950
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