レップデジット

娯楽数学において、レプディジットまたはモノディジット^[1]は、位取り記数法（多くの場合、暗黙的に10進数）で同じ数字が繰り返される自然数である。この言葉は、「繰り返し」と「数字」を組み合わせた造語である。例としては、11、666、4444、999999がある。レプディジットはすべて回文数であり、レプユニットの倍数である。その他のよく知られたレプディジットには、レプユニット素数、特にメルセンヌ素数（2進数で表すとレプディジットになる） がある。

反復数字は、繰り返される数字、繰り返し回数を表す基数 での表現です。たとえば、基数 10 の反復数字 77777 は です。 ${\displaystyle B}$${\displaystyle x{\frac {B^{y}-1}{B-1}}}$${\displaystyle 0<x<B}$${\displaystyle 1<y}$${\displaystyle 7\times {\frac {10^{5}-1}{10-1}}}$

ブラジル数と呼ばれる反復数字のバリエーションは、ある基数で反復数字として表記できる数字で、反復数字 11 は許されず、1 桁の数字も許されない (またはすべての数字がブラジル数になる)。たとえば、27 は基数 8 で反復数字 33 となるためブラジル数であるが、9 は唯一の反復数字表現が 11 ₈であり、ブラジル数の定義では許されていないためブラジル数ではない。11 の形式の表現は自明であると考えられ、ブラジル数の定義では許されない。なぜなら、2 より大きいすべての自然数nは 11 _{n − 1 という}表現を持つからである。^[2]最初の 20 のブラジル数は以下のとおりである 。

7、8、10、12、13、14、15、16、18、20、21、22、24、26、27、28、30、31、32、33、...（OEISの配列A125134）。

一部のウェブサイト（4chanのような画像掲示板を含む）では、投稿の連続ID番号が22,222,222などの繰り返し数字である場合、これは「GET」の一種である（他には34,000,000のような丸い数字や12,345,678のような連続した数字が含まれる）。^{[3] [4]}

反復数字の概念は、少なくとも1974年以来その名前で研究されており、^[5]それ以前にはBeiler (1966) はそれを「一桁数」と呼んでいました。^{[1]ブラジルの数字は、1994年にブラジルの}フォルタレザで開催された第9回イベロアメリカ数学オリンピックで導入されました。この大会でメキシコが提案した最初の問題は次の通りでした。^[6]

1 < b < n – 1 を満たす整数bが存在し、その基数bのnの表現がすべて等しい数字で書かれる場合、 n > 0 の数は「ブラジルの数」と呼ばれます。1994 年はブラジルの数であり、1993 年はブラジルの数ではないことを証明してください。

反復桁が素数であるためには、反復単位（つまり反復桁が 1）であり、その基数の桁数が素数でなければならない（単純な一桁の数は除く）。これは、例えば、反復桁 77777 は、7 より大きい基数であれば、7 で割り切れるからである。特に、ブラジルの反復単位では桁数がちょうど 2 になることは許されないため、ブラジルの素数は奇数の素数でなければならない。^[7]奇数の素数だけでは、反復単位が素数であることを保証するのに十分ではない。例えば、21 = 111 ₄ = 3 × 7 や 111 = 111 ₁₀ = 3 × 37 は素数ではない。任意の基数bにおいて、その基数の反復単位素数は 11 _b （素数の場合）を除いてすべてブラジルの素数である。最小のブラジルの素数は以下のとおりである。

7 = 111 _2、13 = 111 _3、31 = 11111 ₂ = 111 _5、43 = _{111 6、73} = 111 8、127 = 1111111 _2、157 = 111 _{12 、...（} OEISのシーケンスA085104）

素数の逆数の和は発散級数であるが、ブラジル素数の逆数の和は収束級数であり、その値は「ブラジル素数定数」と呼ばれ、0.33よりわずかに大きい（OEISのシーケンスA306759）。^[8]この収束は、ブラジル素数がすべての素数の中で無視できるほど小さい割合を占めることを意味する。例えば、 10 ¹²より小さい3.7×10 ^{10 個}の素数のうち、ブラジル素数は 8.8×10 ^{4 個}だけである。

10進数のrepunit素数は、 OEIS :A004023に記載されているnの値の形式を持ちます。10進数のrepunit素数は無限に存在すると推測されています。^[9] 2進数のrepunitはメルセンヌ数であり、2進数のrepunit素数はメルセンヌ素数です。 ${\displaystyle R_{n}={\tfrac {10^{n}-1}{9}}\ {\mbox{with }}n\geq 3}$

ブラジル素数が無限に存在するかどうかは不明である。ベイトマン・ホーン予想が正しいとすれば、素数の桁ごとに、その桁数のレプユニット素数が無限に存在することになる（そして結果的にブラジル素数も無限に存在する）。あるいは、10進レプユニット素数が無限に存在するか、メルセンヌ素数が無限に存在するなら、ブラジル素数も無限に存在することになる。^[10]ブラジル素数はごくわずかであるため、ブラジル素数以外の素数は無限に存在することになり、次の数列を形成する。

2、3、5、11、17、19、23、29、37、41、47、53、...（OEISの配列A220627）

フェルマー数 が素数であればブラジル素数ではないが、合成数であればブラジル素数である。^[11] 以前の予想に反して、^[12]レスタ、マーカス、グランサム、グレイブスはブラジル素数のソフィー・ジェルマン素数の例を発見した。最初のものは28792661 = 11111 ₇₃である。^[13]${\displaystyle F_{n}=2^{2^{n}}+1}$

非ブラジル整数になり得る唯一の正の整数は、1、6、素数、素数の平方である。他のすべての数は、 1 < x < y − 1の2つの因数xとyの積であり、 y − 1を底とするxxと表記できる。^[14]素数p ²の平方がブラジル整数である場合、素数pはディオファントス方程式を満たしている必要がある。

ノルウェーの数学者トリグベ・ナゲルは、 pが素数のときこの方程式には( p , b , q ) = (11, 3, 5)に対応する唯一の解があることを証明した^[15]。したがって、ブラジルの素数の平方は 11 ² = 121 = 11111 ₃のみである。もう 1 つ、非自明なレプユニット平方、 20 ² = 400 = 1111 _{7に対応する解 (} p , b , q ) = (20, 7, 4) もあるが、20 は素数ではないため、ブラジル数の分類に関しては例外的ではない。

ある基数bにおいて3桁以上のレプユニットである完全累乗は、ナゲルとリュングレンのディオファントス方程式によって記述される^[16]

ヤン・ビュゴーとモーリス・ミニョットは、ブラジルのレプユニットは3つの完全累乗だけであると予想している。それらは121、343、400（OEISのシーケンスA208242）、上記の2つの平方数、および立方数343 = 7 ³ = 111 ₁₈である。^[17]

• 数nがブラジル数となる場合の数は、 OEIS : A220136にあります。したがって、非ブラジル数とブラジル数があります。これらの最後の整数の中には、1 回ブラジル数となるものもあれば、2 回、3 回、またはそれ以上の回数ブラジル数となるものもあります。k 倍のブラジル数をkブラジル数と呼びます。
• 非ブラジル数または 0ブラジル数は、 1 と 6、およびいくつかの素数といくつかの素数の平方で構成されます。非ブラジル数のシーケンスは、1、2、3、4、5、6、9、11、17、19、23、25、... で始まります ( OEISのシーケンスA220570 )。
• 1ブラジル数列は、他の素数、ブラジル素数の唯一の平方である 121、および2 つの異なる因数のみの積でn = a × b = aa _{b –1} （ 1 < a < b – 1 ）となる8 以上の合成数で構成されます。（OEISのシーケンスA288783）。
• 2ブラジル数( OEISのシーケンスA290015 ) は、合成数と 2 つの素数 (31 と 8191) のみで構成されています。実際、グーマグティーグ予想によれば、これら 2 つの素数はディオファントス方程式の唯一の既知の解です。
  ${\displaystyle p={\frac {x^{m}-1}{x-1}}={\frac {y^{n}-1}{y-1}}}$ただし、 x、y  > 1 かつn、m  > 2の場合:
  • ( p ,  x ,  y ,  m ,  n ) = (31, 5, 2, 3, 5) であり、これは 31 = 11111 ₂ = 111 ₅に相当し、
  • ( p ,  x ,  y ,  m ,  n ) = (8191, 90, 2, 3, 13) は、8191 = 1111111111111 ₂ = 111 ₉₀に相当し、11111111111 は13 桁の数字 1 を持つ繰り返し単位です。
• k ブラジル数列ごとに、最小の項が存在します。これらの最小のkブラジル数列は、1、7、15、24、40、60、144、120、180、336、420、360、... で始まり、OEIS : A284758にあります。たとえば、40 は最小の4 ブラジル数で、40 = 1111 ₃ = 55 ₇ = 44 ₉ = 22 ₁₉です。
• ダニエル・リニヨンは『すべての数の辞書』^[18]で、ある正の整数が、それより小さい正の整数よりも多くのブラジル表現を持つ場合、その整数は高度にブラジル的であると提案している。この定義は、シュリニヴァーサ・ラマヌジャンが1915年に作成した高度に合成された数の定義に由来する。高度にブラジル的な最初の数は1、7、15、24、40、60、120、180、336、360、720、…であり、OEIS : A329383に正確に記載されています。360 から 321253732800 (もっとあるかも) まで、高度に合成された数が80 個連続して存在し、これらも高度にブラジル的である。OEIS : A279930を参照。

いくつかの人気メディア出版物は、レプユニット番号が数秘術的な意味を持っていることを示唆し、「天使の番号」と表現する記事を掲載しました。 ^{[19] [20] [21]}

• 円周率の6つの9

• Weisstein、Eric W.「Repdigit」。MathWorld。
• 問題 IX オリンピアダ イベロアメリカーナ デ マテマティカ

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