反対角行列

数学において、反対角行列とは、左下隅から右上隅に向かう対角線（↗）上の要素以外のすべての要素がゼロである正方行列のことです。この対角線は反対角線（ハリソン対角線、二次対角線、後続対角線、マイナー対角線、オフ対角線、または悪い対角線とも呼ばれる）として知られています。

n × n行列Aは、インデックスの合計がn + 1にならないすべての行iと列jに対して( i , j )番目の要素a _ijがゼロである場合、反対角行列である。記号的には、 $${\displaystyle a_{ij}=0\ \forall i,j\in \left\{1,\ldots ,n\right\},\ (i+j\neq n+1).}$$

反対角行列の例は次のとおりです。 $${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&0&0&0&2\\0&0&0&2&0\\0&0&5&0&0\\0&7&0&0&0\\-1&0&0&0&0\end{bmatrix}}.}$$

別の例としては $${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&0&0&0&1\\0&0&0&1&0\\0&0&1&0&0\\0&1&0&0&0\\1&0&0&0&0\end{bmatrix}},}$$ これは、左から乗算することで配列（列行列など）の要素を反転させるために使用できます。

すべての反対角行列は対称行列でもある。

2つの反対角行列の積は対角行列になります。さらに、反対角行列と対角行列の積は反対角行列であり、対角行列と反対角行列の積も同様です。

反対角行列は、左下隅から右上隅までの対角線上の要素がすべてゼロでない場合のみ可逆です。可逆な反対角行列の逆行列も反対角行列になります（上記の段落からわかります）。反対角行列の行列式の絶対値は、左下隅から右上隅までの対角線上の要素の積で与えられます。ただし、反対角行列から得られる唯一のゼロでない符号付き基本積の符号は、それに関連する置換が奇数か偶数かによって異なるため、この行列式の符号は変化します。

より正確に言うと、反対角行列の行列式を計算するために必要な基本積の符号は、対応する三角数が偶数か奇数かに関係しています。これは、 n × n反対角行列の唯一の非ゼロ符号付き基本積の順列における反転の数が、n番目のそのような数に等しいためです。

• 対角行列では、主対角要素と非対角要素がすべてゼロになります。
• 交換行列とは、対角線上に1が並んだ反対角行列のことである。

• 「反対角行列」。PlanetMath 。