マッピング円錐（ホモロジー代数）

ホモロジー代数において、写像錐は、位相幾何学における類似の構成にヒントを得た、鎖複体の写像上の構成である。三角形化圏の理論では、写像錐は核と余核を組み合わせた一種のものである。鎖複体がその項をアーベル圏でとる場合、つまりコホモロジーについて話すことができる場合、写像fの錐が非巡回であることは、写像が準同型であることを意味する。複体の導来圏に移ると、これはfがそこで同型であることを意味し、これは、核と余核が両方とも消える場合、写像は同型であるという、群の写像、環上の加群、または任意のアーベル圏の元のよく知られた特性を思い起こさせる。t-圏で作業している場合、実際に錐は、その核のオブジェクト間の写像の核と余核の両方を提供する。

錐は、任意の加法カテゴリ（つまり、射がアーベル群を形成し、任意の2つのオブジェクトの直和を構成できるカテゴリ）上の共鎖複体のカテゴリで定義できます。を2つの複体とし、微分、 つまり${\displaystyle A,B}$${\displaystyle d_{A},d_{B};}$

${\displaystyle A=\dots \to A^{n-1}{\xrightarrow {d_{A}^{n-1}}}A^{n}{\xrightarrow {d_{A}^{n}}}A^{n+1}\to \cdots }$

同様に${\displaystyle B.}$

複体のマップに対して、円錐を定義します。円錐は、多くの場合、 またはで表され、次の複体になります。 ${\displaystyle f:A\to B,}$${\displaystyle \operatorname {円錐} (f)}$${\displaystyle C(f),}$

${\displaystyle C(f)=A[​​1]\oplus B=\dots \to A^{n}\oplus B^{n-1}\to A^{n+1}\oplus B^{n}\to A^{n+2}\oplus B^{n+1}\to \cdots }$条件に基づいて、

差額あり

${\displaystyle d_{C(f)}={\begin{pmatrix}d_{A[1]}&0\\f[1]&d_{B}\end{pmatrix}}}$(列ベクトルに対して作用する)。

ここでは、およびの複素数を示します。 の微分は の自然微分とは異なり、著者によっては異なる符号規則を使用していることに注意してください。 ${\displaystyle A[1]}$${\displaystyle A[1]^{n}=A^{n+1}}$${\displaystyle d_{A[1]}^{n}=-d_{A}^{n+1}}$${\displaystyle C(f)}$${\displaystyle A[1]\oplus B}$

したがって、例えば複体がアーベル群である場合、微分は次のように作用する。

${\displaystyle {\begin{array}{ccl}d_{C(f)}^{n}(a^{n+1},b^{n})&=&{\begin{pmatrix}d_{A[1]}^{n}&0\\f[1]^{n}&d_{B}^{n}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a^{n+1}\\b^{n}\end{pmatrix}}\\&=&{\begin{pmatrix}-d_{A}^{n+1}&0\\f^{n+1}&d_{B}^{n}\end{pmatrix }}{\begin{pmatrix}a^{n+1}\\b^{n}\end{pmatrix}}\\&=&{\begin{pmatrix}-d_{A}^{n+1}(a^{n+1})\\f^{n+1}(a^{n+1})+d_{B}^{n}(b^{n})\end{pmatrix}}\\&=&\left(-d_{A}^{n+1}(a^{n+1}),f^{n+1}(a^{n+1})+d_{B}^{n}(b^{n})\right).\end{array}}}$

アーベル圏について作業していると仮定すると、複体のホモロジーが定義されます。円錐の主な用途は、準同型を識別することです。円錐が非巡回である場合、写像は準同型です。これを確認するには、三角形の存在を使用します。

${\displaystyle A{\xrightarrow {f}}B\to C(f)\to A[1]}$

ここで、写像は直和項によって与えられる（鎖複体のホモトピーカテゴリを参照）。これは三角形なので、ホモロジー群上の長い正確なシーケンスを生じます。 ${\displaystyle B\to C(f),C(f)\to A[1]}$

${\displaystyle \dots \to H_{i-1}(C(f))\to H_{i}(A){\xrightarrow {f^{*}}}H_{i}(B)\to H_{i}(C(f))\to \cdots }$

が非巡回である場合、定義により、上記の外側の項はゼロになります。シーケンスは正確であるため、これは、すべてのホモロジー グループで同型を誘導することを意味し、したがって (これも定義により) は準同型です。 ${\displaystyle C(f)}$${\displaystyle f^{*}}$

この事実は、アーベル圏における同型写像の通常の別の特徴付けを思い起こさせます。同型写像は核と余核の両方が消える写像です。円錐が核と余核を組み合わせたように見えるのは偶然ではありません。実際、特定の状況下では、円錐は文字通り両方を体現します。たとえば、アーベル圏で作業していて、次数 0 に非ゼロ項が 1 つだけあるとします。 ${\displaystyle A,B}$

${\displaystyle A=\dots \to 0\to A_{0}\to 0\to \cdots ,}$

${\displaystyle B=\dots \to 0\to B_{0}\to 0\to \cdots ,}$

そして、それは（基礎となるアーベル圏のオブジェクトの写像として）正しい。すると、円錐は ${\displaystyle f\colon A\to B}$${\displaystyle f_{0}\colon A_{0}\to B_{0}}$

${\displaystyle C(f)=\dots \to 0\to {\underset {[-1]}{A_{0}}}{\xrightarrow {f_{0}}}{\underset {[0]}{B_{0}}}\to 0\to \cdots .}$

（下線は各項の次数を示す。）この複合体の相同性は

${\displaystyle H_{-1}(C(f))=\operatorname {ker} (f_{0}),}$

${\displaystyle H_{0}(C(f))=\operatorname {coker} (f_{0}),}$

${\displaystyle H_{i}(C(f))=0{\text{ for }}i\neq -1,0.\ }$

これは偶然ではなく、実際にはすべてのt カテゴリで発生します。

関連する概念はマッピング シリンダーです。を連鎖複体の射とし、さらに自然写像とします。fのマッピング シリンダーは、定義によりgのマッピング コーンです。 ${\displaystyle f\colon A\to B}$${\displaystyle g\colon \operatorname {円錐} (f)[-1]\to A}$

この複体は、位相空間の連続写像のマッピング円錐（位相）に類似して円錐と呼ばれます。位相円錐の特異鎖の複体は、XからYへの特異鎖の誘導写像の円錐（鎖複体の意味で）とホモトピー同値です。複体の写像のマッピング円筒は、連続写像のマッピング円筒と同様に関連しています。 ${\displaystyle \phi :X\rightarrow Y}$${\displaystyle 円錐(\phi )}$

• マニン、ユーリ・イワノビッチ; Gelfand, Sergei I. (2003)、ホモロジー代数の方法、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag、ISBN 978-3-540-43583-9
• ワイベル、チャールズ A. (1994)。ホモロジー代数入門。ケンブリッジ高等数学研究。第 38 巻。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-0-521-55987-4. MR  1269324. OCLC  36131259.
• ジョセフ・J・ロットマン『代数的位相幾何学入門』（1988年）シュプリンガー・フェアラークISBN 0-387-96678-1（第9章参照）