対流拡散方程式

対流拡散方程式は、連続方程式から直接的に導出できます^{[ 4 ]} 。連続方程式は、微分制御体積内のスカラー量の変化率は、制御体積内の生成または消費に加えて、システムのその部分への流入と流出の流れと拡散によって与えられることを示しています。 $${\displaystyle {\frac {\partial c}{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {j} =R,}$$ ここで、jは総流量、Rはcの正味体積源です。この状況では、流量の発生源が 2 つあります。まず、拡散による拡散流量が発生します。これは通常、フィックの第一法則で近似されます。 $${\displaystyle \mathbf {j} _{\text{diff}}=-D\nabla c}$$ すなわち、システムのどの部分においても、拡散物質のフラックス（バルク運動に対する相対的なフラックス）は、局所的な濃度勾配に比例する。第二に、全体的な対流または流れがある場合、移流フラックスと呼ばれる関連するフラックスが存在する。 $${\displaystyle \mathbf {j} _{\text{adv}}=\mathbf {v} c}$$ （静止座標系における）総フラックスは、以下の2つの合計によって与えられる。 $${\displaystyle \mathbf {j} =\mathbf {j} _{\text{diff}}+\mathbf {j} _{\text{adv}}=-D\nabla c+\mathbf {v} c.}$$ 連続方程式に代入する： $${\displaystyle {\frac {\partial c}{\partial t}}+\nabla \cdot \left(-D\nabla c+\mathbf {v} c\right)=R.}$$

一般的な状況では、拡散係数は一定で、ソースやシンクはなく、速度場は非圧縮性の流れを表します（つまり、発散はゼロです）。すると、式は次のように簡略化されます。^{[ 5 ]}$${\displaystyle {\frac {\partial c}{\partial t}}=D\nabla ^{2}c-\mathbf {v} \cdot \nabla c.}$$

この場合、方程式は単純拡散方程式の形にすることができる。 $${\displaystyle {\frac {dc}{dt}}=D\nabla ^{2}c,}$$

ここで、左辺の導関数は変数cの物質微分である。相互作用のない物質では、D = 0 となる（例えば、温度が絶対零度に近い場合、希薄気体の質量拡散率はほぼゼロとなる）。したがって、輸送方程式は単純に連続の式となる。 $${\displaystyle {\frac {\partial c}{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot \nabla c=0.}$$

時間領域と空間領域の両方でフーリエ変換を使用する（つまり、積分カーネルを使用する）${\displaystyle e^{i\omega t+i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }}$)、その特性方程式は次のようになります。 $${\displaystyle i\omega {\tilde {c}}+\mathbf {v} \cdot i\mathbf {k} {\tilde {c}}=0\rightarrow \omega =-\mathbf {k} \cdot \mathbf {v} ,}$$ これは一般解を与える。 $${\displaystyle c=f(\mathbf {x} -\mathbf {v} t),}$$ どこ${\displaystyle f}$は任意の微分可能なスカラー関数である。これは、飛行時間法によるボーズ・アインシュタイン凝縮体近傍 の温度測定の基礎となる。^{[ 6 ] [ 7 ]}

定常対流拡散方程式は、対流拡散システムの定常状態挙動を記述します。 ^{[ 8 ]}定常状態では、∂c / ∂t = 0 となるため、解くべき方程式は次の2階方程式になります。 $${\displaystyle \nabla \cdot (-D\nabla c+\mathbf {v} c)=R.}$$ 1次元空間では、この方程式は次のように書ける。 $$\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(-D(x){\frac {dc(x)}{dx}}+v(x)c(x)\right)=R(x)}$$

これを空間変数xで1回積分すると、次の式が得られます。

$${\displaystyle D(x){\frac {dc(x)}{dx}}-v(x)c(x)=-\int _{x}R(x')dx'}$$

Dがゼロでない場合、これは変数c(x)の係数が可変である非斉次1階線形微分方程式です。

$${\displaystyle y'(x)=f(x)y(x)+g(x).}$$ ここで係数は次のとおりです。 $${\displaystyle f(x)={\frac {v(x)}{D(x)}}}$$ そして： $${\displaystyle g(x)=-{\frac {1}{D(x)}}\int _{x}R(x')\,dx'}$$ 一方、D = 0となる位置xでは、一次拡散項は消滅し、解は単純に次の比率となる。

$${\displaystyle c(x)={\frac {1}{v(x)}}\int _{x}R(x')\,dx'}$$

力がポテンシャルエネルギーF = −∇ Uに関連付けられている場合（保存力を参照）、上記の方程式の定常状態解（すなわち0 = R = ∂ c / ∂ t）は次のようになります。 $${\displaystyle c\propto \exp \left(-D^{-1}\zeta ^{-1}U\right)}$$ （Dとζは定数と仮定する）。言い換えれば、エネルギーが低い場所に粒子が多く存在する。この濃度プロファイルはボルツマン分布（より正確にはギブス測度）と一致すると予想される。この仮定から、アインシュタインの関係式が証明できる。^{[ 11 ]}$${\displaystyle D\zeta =k_{\mathrm {B} }T.}$$

対流拡散方程式（R = 0の場合）は、拡散係数Dとバイアスvを持つランダム運動に対応するフォッカー・プランク方程式と見なすことができます。例えば、この方程式は単一粒子のブラウン運動を記述することができ、変数cは、特定の時刻に粒子が特定の位置にある確率分布を表します。この方程式をこのように使用できる理由は、単一粒子の確率分布と、無限に多くの粒子の集合の濃度分布との間に数学的な違いがないためです（粒子同士が相互作用しない限り）。

ランジュバン方程式は、移流、拡散、その他の現象を明示的に確率的な方法で記述します。ランジュバン方程式の最も単純な形式の1つは、「ノイズ項」がガウス分布である場合です。この場合、ランジュバン方程式は対流拡散方程式と完全に等価です。ただし、ランジュバン方程式はより一般的です。^{[ 11 ]}

半導体物理学では、この方程式はドリフト拡散方程式と呼ばれます。「ドリフト」という言葉は、ドリフト電流とドリフト速度に関連しています。この方程式は通常次のように記述されます。^{[ 13 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathbf {J} _{n}}{-q}}&=-D_{n}\nabla nn\mu _{n}\mathbf {E} \\{\frac {\mathbf {J} _{p}}{q}}&=-D_{p}\nabla p+p\mu _{p}\mathbf {E} \\{\frac {\partial n}{\partial t}}&=-\nabla \cdot {\frac {\mathbf {J} _{n}}{-q}}+R\\{\frac {\partial p}{\partial t}}&=-\nabla \cdot {\frac {\mathbf {J} _{p}}{q}}+R\end{aligned}}}$$ どこ

• nとpはそれぞれ電子と正孔の濃度（密度）であり、
• q > 0は素電荷です。
• J _nとJ _pはそれぞれ電子と正孔による電流であり、
• ⁠ J _n / − q ⁠および⁠ J _p / q ⁠は、それぞれ電子と正孔の対応する「粒子電流」であり、
• Rはキャリアの生成と再結合を表す（R > 0は電子-正孔対の生成、R < 0は再結合）。
• Eは電場ベクトルである
• $\displaystyle \mu _{n}}$そして$\mu_p$電子と正孔の移動度です。

拡散係数と移動度は、上記の アインシュタインの関係式によって関連付けられる。$${\displaystyle {\begin{aligned}D_{n}&={\frac {\mu _{n}k_{\mathrm {B} }T}{q}},\\D_{p}&={\frac {\mu _{p}k_{\mathrm {B} }T}{q}},\end{aligned}}}$$ ここで、k _Bはボルツマン定数、Tは絶対温度である。ドリフト電流と拡散電流は、 Jの式における次の 2 つの項をそれぞれ指す。 $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathbf {J} _{n,{\text{drift}}}}{-q}}&=-n\mu _{n}\mathbf {E} ,\\{\frac {\mathbf {J} _{p,{\text{drift}}}}{q}}&=p\mu _{p}\mathbf {E} ,\\{\frac {\mathbf {J} _{n,{\text{diff}}}}{-q}}&=-D_{n}\nabla n,\\{\frac {\mathbf {J} _{p,{\text{diff}}}}{q}}&=-D_{p}\nabla p.\end{aligned}}}$$

この方程式はポアソン方程式と合わせて数値的に解くことができる。^{[ 14 ]}

ドリフト拡散方程式を解いた結果の一例を右図に示す。半導体の中心に光が当たると、中心でキャリアが生成され、両端に向かって拡散する。この構造においてドリフト拡散方程式を解き、電子密度分布を図に示した。中心から両端に向かってキャリアの濃度勾配が見られる。