フロベニウスの定理（微分位相幾何学）

3D空間の部分集合内の粒子の軌跡を求めたいが、その軌跡の公式はわからないとする。代わりに、その軌跡が次の式を満たすことだけがわかっているとする。${\displaystyle adx+bdy+cdz=0}$、 どこ${\displaystyle a,b,c}$は滑らかな関数である。${\displaystyle (x,y,z)}$したがって、我々が確実に言えることは、ある時点で粒子が位置にある場合、${\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})}$すると、その瞬間の速度は、式で表された平面内に制限される。$${\displaystyle a(x_{0},y_{0},z_{0})[x-x_{0}]+b(x_{0},y_{0},z_{0})[y-y_{0}]+c(x_{0},y_{0},z_{0})[z-z_{0}]=0}$$

言い換えれば、3次元空間の各点に「局所平面」を描くことができ、粒子の軌跡は常にその局所平面に接していなければならないことがわかる。

2 つの方程式がある場合$${\displaystyle {\begin{cases}adx+bdy+cdz=0\\a'dx+b'dy+c'dz=0\end{cases}}}$$すると、各点に2つの局所平面を描くことができ、それらの交線は一般的に直線となるため、任意の点から始まる曲線を一意に求めることができます。言い換えれば、2つの1形式を用いることで、領域を曲線に分割できるのです。

方程式が1つしかない場合${\displaystyle adx+bdy+cdz=0}$そうすれば葉を生やすことができるかもしれない$\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$曲面への変換の場合、ある曲面から始まる曲線はその曲面内に限定される必要があることが確実です。そうでない場合、任意の点から始まる曲線は、曲面内の他の任意の点に到達してしまう可能性があります。$\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$。

小さな平面の雲から始めて、それらを縫い合わせて完全な表面を形成することを想像してみてください。主な危険は、小さな平面を一度に2つずつ縫い合わせると、サイクルを繰り返して元の場所に戻るものの、わずかにずれてしまう可能性があることです。そうなると、2次元の表面ではなく、3次元の塊ができてしまいます。右の図に例を示します。

1形式が積分可能であれば、ループは完全に閉じられ、各曲面は2次元になります。フロベニウスの定理によれば、これはまさに次の場合に起こります。${\displaystyle \omega \wedge d\omega =0}$ドメイン全体にわたって、${\displaystyle \omega$ :=adx+bdy+cdz} 。表記法は、 1形式に関する記事で定義されています。

カラテオドリは公理的熱力学の発展において、もし${\displaystyle \omega }$は、 の開部分集合上の積分可能な1形式である。$\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$、 それから${\displaystyle \omega =fdg}$いくつかのスカラー関数について${\displaystyle f,g}$部分集合上で。これは通常、公理的熱力学ではカラテオドリの定理と呼ばれています。^{[ 1 ] [ 2 ]}最初に小さな平面を次のように構成することで、これを直感的に証明できます。${\displaystyle \omega }$それらをキルティングして葉脈状にし、葉脈内の各面にスカラーラベルを割り当てます。次に、各点について${\displaystyle p}$、 定義する${\displaystyle g(p)}$点を含むサーフェスのスカラーラベルとなる${\displaystyle p}$。

今、${\displaystyle dg}$は、 と全く同じ平面を持つ 1 形式です。${\displaystyle \omega }$しかし、どこも「均一な厚み」である一方、${\displaystyle \omega }$「厚みが不均一」になる可能性があります。これは、スカラースケーリングによって修正できます。${\displaystyle f}$与える${\displaystyle \omega =fdg}$これは右側に図示されています。

最も基本的な形では、この定理は、1階線形同次偏微分方程式の正則系の独立解の最大集合を見つける問題を扱っている。

${\displaystyle \left\{f_{k}^{i}:\mathbf {R} ^{n}\to \mathbf {R} \$ :\ 1\leq i\leq n,1\leq k\leq r\right\}}

は、 r < nのC ¹関数の集合であり、行列( f ⁱ _k )^はR ⁿの任意の点で評価したときにランクrを持つ。C 2関数u : R ⁿ → Rに対する次の偏微分方程式系を考える。  

${\displaystyle (1)\quad {\begin{cases}L_{1}u\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{i}f_{1}^{i}(x){\frac {\partial u}{\partial x^{i}}}={\vec {f}}_{1}\cdot \nabla u=0\\L_{2}u\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{i}f_{2}^{i}(x){\frac {\partial u}{\partial x^{i}}}={\vec {f}}_{2}\cdot \nabla u=0\\\qquad \cdots \\L_{r}u\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{i}f_{r}^{i}(x){\frac {\partial u}{\partial x^{i}}}={\vec {f}}_{r}\cdot \nabla u=0\end{cases}}}$

解の集合u ₁ , ..., u _{n − r}が存在し、勾配∇ u ₁ , ..., ∇ u _{n − r}が線形独立となる条件を求める。

フロベニウスの定理は、この問題が局所的に解を持つのは、演算子 L k が、対合性として知られる特定の積分可能性条件を満たす場合に限ると主張している [ 3 ]。具体的には、演算子L kは次の^{形式の関係}_を満たさなければならない。

${\displaystyle L_{i}L_{j}u(x)-L_{j}L_{i}u(x)=\sum _{k}c_{ij}^{k}(x)L_{k}u(x)}$

1 ≤ i、j ≤ rおよびすべてのC ²関数uに対して、また、 xに依存することが許されるいくつかの係数c ^k _ij ( x ) に対して。言い換えれば、交換子[ L _i、L _j ]は、すべての点でL _kの線形スパン内になければなりません。対合条件は、偏微分の可換性の一般化です。実際、フロベニウスの定理の証明戦略は、演算子L _i間で線形結合を形成して、結果として得られる演算子が可換になるようにし、次に、これらがy ₁、 ...、y _rに関する偏微分と正確に一致する座標系y _iが存在することを示すことです。

システムが過剰決定されている場合でも、通常は無限に多くの解が存在します。たとえば、微分方程式のシステム

${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {\partial f}{\partial x}}+{\frac {\partial f}{\partial y}}=0\\{\frac {\partial f}{\partial y}}+{\frac {\partial f}{\partial z}}=0\end{cases}}}$

明らかに複数の解が許容される。しかしながら、これらの解は依然として十分な構造を有しており、完全に記述することができる。最初の観察は、f ₁とf ₂が異なる解であっても、f ₁とf ₂のレベル面は重なり合わなければならないということである。実際、このシステムのレベル面はすべてR ^3内のx − y + z = Cの形の平面であり、Cは定数である。2番目の観察は、レベル面が分かれば、すべての解を任意の関数で表すことができるということである。レベル面上の解fの値は定義により定数であるため、関数C ( t ) を次のように定義する。

${\displaystyle f(x,y,z)=C(t){\text{ x-y+z=t のとき} }$

逆に、関数C ( t )が与えられている場合、この式で与えられる各関数fは元の方程式の解となります。このように、等位面の族が存在するため、元の方程式の解は任意の一変数関数と一対一に対応します。

フロベニウスの定理により、(1) のより一般的な解の場合にも同様の対応関係を確立することができます。u 1 , ..., u n−r が勾配の独立条件を満たす問題 (1) の解であるとします。₍ u 1 _, ..., u n−r ) のレベル集合 [ 4 ] を R n−r に値をとる関数として考えます。v 1 _, ... , _v n − r^が別の解^の集合である場合、₍線形代数_と平均値の定理を用いて) 同じレベル集合の族を持ちますが、各集合の定数の選択が異なる可能性があることが示せます。したがって、 (1) の独立解は一意ではありませんが、方程式 (1) はそれでも一意のレベル集合の族を決定します。例の場合と同様に、(1) の一般解u は、レベル集合の族上の (連続的に微分可能な) 関数と 1 対 1 で対応します。^{[ 5 ]}

（1）の最大独立解集合に対応するレベル集合は、積分多様体と呼ばれます。これは、すべての積分多様体の集合上の関数が、ある意味で積分定数に対応するためです。これらの積分定数のいずれかが分かれば、対応する解も分かります。

ベクトル場の定式化において、この定理は、多様体の接束の部分束が積分可能（または対合的）であるのは、それが正則葉層構造から生じる場合に限る、と述べている。この文脈において、フロベニウスの定理は積分可能性と葉層構造を関連付けている。定理を述べるには、両方の概念を明確に定義する必要がある。

まず、任意の滑らかなベクトル場について考察することから始めよう。${\displaystyle X}$多様体上${\displaystyle M}$曲線の族、その積分曲線を定義する${\displaystyle u:I\to M}$（間隔について）${\displaystyle I}$これらは、 ${\displaystyle {\dot {u}}(t)=X_{u(t)}}$これは、ピカール・リンデレーフの定理によって可解性が保証される1階常微分方程式系である。ベクトル場が${\displaystyle X}$がどこにもゼロでない場合、それは接束の 1 次元部分束を定義します。${\displaystyle M}$、そして積分曲線は、${\displaystyle M}$したがって、1次元部分束は常に積分可能である。

サブバンドルの次元が 1 より大きい場合、条件を課す必要があります。サブバンドルは${\displaystyle E\subset TM}$接線束の${\displaystyle TM}$任意の 2 つのベクトル場に対して、が積分可能（または対合的）である。${\displaystyle X}$そして${\displaystyle Y}$値を取る${\displaystyle E}$リー括弧${\displaystyle [X,Y]}$値を取る${\displaystyle E}$同様に。この積分可能性の概念は局所的に定義するだけでよい。つまり、ベクトル場の存在${\displaystyle X}$そして${\displaystyle Y}$そしてそれらの積分可能性は、以下の部分集合上でのみ定義すればよい。${\displaystyle M}$。

葉の配列にはいくつかの定義が存在する。ここでは以下の定義を用いる。

定義。n次元多様体Mの p 次元クラス C r 葉層構造とは、M^を互いに素な連結部分多様体 { L α } α∈ A の和集合 (葉層構造の葉と呼ばれる) に分解したものであり、_次の_性質を持つ。Mのすべての点は近傍Uと局所的なクラスC ^r座標系x =( x ¹ , ⋅⋅⋅, x ⁿ ) : U → R ⁿを持ち、各葉L _{αに対して、} U ∩ L _αの成分は方程式x ^{p +1} =定数、⋅⋅⋅, x ⁿ =定数で記述される。葉層構造は次のように表される。 $\displaystyle {\mathcal {F}}}$={ L _α } _{α∈ A} . ^{[ 7 ]}

自明なことに、${\displaystyle M}$統合可能なサブバンドルを定義します。${\displaystyle p\in M}$そして${\displaystyle N\subset M}$葉が通過している葉は${\displaystyle p}$それから ${\displaystyle E_{p}=T_{p}N}$は積分可能である。フロベニウスの定理によれば、その逆もまた真である。

上記の定義を踏まえると、フロベニウスの定理は、部分束が${\displaystyle E}$部分束が積分可能であるのは、${\displaystyle E}$規則的な葉理から生じる${\displaystyle M}$。

多様体Mの開集合をUとし、Ω ¹ ( U )をU上の滑らかで微分可能な1 形式の空間とし、FをU上で一定のランクrを持つΩ ¹ ( U )の部分加群とする。フロベニウスの定理によれば、 Fが積分可能であるのは、 Uの任意のpに対して、ストークF _{p が}r個の正確な微分形式によって生成される場合かつその場合に限る。

幾何学的には、この定理は、階数rの1形式の可積分モジュールが余次元r の葉層構造と同じであることを述べている。序論で述べたベクトル場による定義との対応は、微分形式とリー微分との密接な関係から導かれる。フロベニウスの定理は、ベクトル場と葉層構造の研究における基本的なツールの 1 つです。

したがって、この定理には2つの形式がある。1つは分布、すなわち接束TMの滑らかな部分束Dに対して作用するものであり、もう1つはM上のすべての形式の次数付き環Ω( M )の部分束に対して作用するものである。これら2つの形式は双対性​​によって関連付けられている。DがM上の滑らかな接分布である場合、Dの消滅器I ( D )はすべての形式から構成される。${\displaystyle \alpha \in \Omega ^{k}(M)}$（どんな場合でも）${\displaystyle k\in \{1,\dots ,\operatorname {dim} M\}}$) のように

${\displaystyle \alpha (v_{1},\dots ,v_{k})=0}$

すべての人々のために${\displaystyle v_{1},\dots ,v_{k}\in D}$集合I ( D ) は部分環を形成し、実際にはΩ( M )のイデアルです。さらに、外微分の定義を用いると、 I ( D ) が外微分に関して閉じている（微分イデアルである）のは、 Dが対合的である場合に限ることが示されます。したがって、フロベニウスの定理は、I ( D )が外微分に関して閉じているのは、 D が積分可能である場合に限る、という同値な形をとります。

無限次元への一般化の一つは次のとおりである。^{[ 8 ]} XとYをバナッハ空間とし、A ⊂ X、B ⊂ Yを開集合のペアとする。

${\displaystyle F:A\times B\to L(X,Y)}$

は、デカルト積（ X × Yへの包含から微分可能な構造を受け継ぐ）から、XからYへの連続線形変換の空間L ( X , Y )への連続微分可能な関数である。微分可能な写像u : A → Bは、微分方程式の解である。 

${\displaystyle (1)\quad y'=F(x,y)}$

もし

${\displaystyle \forall x\in A:\quad u'(x)=F(x,u(x)).}$

式(1)は、各に対して、完全に積分可能である。${\displaystyle (x_{0},y_{0})\in A\times B}$x ₀の近傍Uが存在し、(1) はU上で定義された一意の解u ( x )を持ち、 u ( x ₀ )= y ₀となる。

フロベニウスの定理の条件は、基礎となる体がRかCかによって決まります。 Rの場合、Fは連続微分可能であると仮定します。 Cの場合、 Fは 2 回連続微分可能であると仮定します。このとき、(1) はA × Bの各点で完全に積分可能となるのは、次の場合に限ります。

${\displaystyle D_{1}F(x,y)\cdot (s_{1},s_{2})+D_{2}F(x,y)\cdot (F(x,y)\cdot s_{1},s_{2})=D_{1}F(x,y)\cdot (s_{2},s_{1})+D_{2}F(x,y)\cdot (F(x,y)\cdot s_{2},s_{1})}$

すべてのs ₁、s ₂ ∈ Xに対して。ここで、 D ₁ (またはD ₂ ) は、第 1 変数 (または第 2 変数) に関する偏微分を表します。ドット積は、線形演算子F ( x、y ) ∈ L ( X、Y )の作用、および演算子D ₁ F ( x、y ) ∈ L ( X、L ( X、Y ))およびD ₂ F ( x、y ) ∈ L ( Y、L ( X、Y ))の作用を表します。

この定理の記述は、複素多様体上の正則1形式、すなわち双正則遷移関数を持つC上の多様体に対しても真である。^{[ 10 ]}

具体的には、${\displaystyle \omega ^{1},\dots ,\omega ^{r}}$C ⁿの開集合上のr個の線形独立な正則 1 形式は、

${\displaystyle d\omega ^{j}=\sum _{i=1}^{r}\psi _{i}^{j}\wedge \omega ^{i}}$

ある正則 1 形式ψ ^j _i、 1 ≤ i、j ≤ rのシステムに対して、正則関数f _i ^jおよびg ⁱが存在し、おそらくより小さな領域で、

${\displaystyle \omega ^{j}=\sum _{i=1}^{r}f_{i}^{j}dg^{i}.}$

この結果は、フロベニウスの定理の他のバージョンと同様の意味で局所的に成り立つ。特に、C ⁿの領域に対して述べられているという事実は、制限的なものではない。

この記述は高次の形式には一般化できないが、ダルブーの定理やカルタン・ケーラーの定理など、いくつかの部分的な結果が存在する。

古典熱力学では、フロベニウスの定理を用いてカラテオドリの形式でエントロピーと温度を構築することができる。^{[ 1 ] [ 11 ]}

具体的には、カラテオドリは、熱伝導（ピストンに火をつけるなど）または機械的仕事（ピストンを押すなど）によって外部世界と相互作用できる熱力学的システム（具体的にはガスピストンを想像できる）を考察した。そして、「断熱過程」を、システムが熱伝導なしで経ることができるあらゆる過程と定義し、「断熱到達可能性」の関係を次のように定義した。システムが断熱過程を経て状態Aから状態Bに移行できる場合、${\displaystyle B}$断熱的にアクセス可能${\displaystyle A}$次のように書いてください。${\displaystyle A\succeq B}$。

ここで、

• 任意の2つの状態について${\displaystyle A,B}$少なくとも1つ${\displaystyle A\succeq B}$そして${\displaystyle B\succeq A}$保持する。
• どの州でも${\displaystyle A}$、そしてどの近隣地域でも${\displaystyle A}$状態が存在する${\displaystyle B}$近隣では、${\displaystyle B}$断熱的に到達不可能${\displaystyle A}$。

次に、状態空間を相互に断熱的にアクセス可能な状態のサブセットに分割することができます。${\displaystyle \succeq }$、各部分集合は余次元1の多様体である。これらの多様体を「断熱曲面」と呼ぶ。

熱力学第一法則により、スカラー関数が存在する。${\displaystyle U}$（「内部エネルギー」）状態空間上において、$${\displaystyle dU=\delta W+\delta Q=\sum _{i}X_{i}dx_{i}+\delta Q}$$どこ${\displaystyle X_{1}dx_{1},...,X_{n}dx_{n}}$システムに対して機械的な仕事を行う可能な方法は以下のとおりです。たとえば、システムが理想気体のタンクである場合、${\displaystyle \delta W=-pdV}$。

次に、状態空間上の1形式を定義します。$${\displaystyle \omega$$ :=dU-\sum _{i}X_{i}dx_{i}} さて、断熱面は接線であるため${\displaystyle \omega }$状態空間のあらゆる点で、${\displaystyle \omega }$は積分可能であるため、カラテオドリの定理により、2つのスカラー関数が存在する。${\displaystyle T,S}$状態空間において、${\displaystyle \omega =TdS}$これらは、乗法定数を除いた温度関数とエントロピー関数です。

理想気体の法則を代入し、ジュール膨張が（不可逆的な）断熱過程であることに注意することで、符号を固定することができます。${\displaystyle dS}$そして、${\displaystyle A\succeq B}$手段${\displaystyle S(A)\leq S(B)}$つまり、可逆断熱過程ではエントロピーは保存され、不可逆断熱過程ではエントロピーは増加する。