簡約公式による積分

積分学において、簡約式による積分は、再帰関係に依存する方法である。これは、通常は基本関数のべき乗、または超越関数と任意次数の多項式の積の形をとる整数パラメータを含む式を直接積分できない場合に用いられる。しかし、他の積分法を用いると、より低い整数パラメータを持つ同じまたは類似の式の積分を得るための簡約式を設定し、積分を評価できるようになるまで段階的に簡約することができる。^[1]この積分法は、最も古くから用いられている方法の1つである。

簡約式は、置換積分、部分積分、三角置換積分、部分分数積分などの一般的な積分法のいずれかを使用して導くことができる。基本的な考え方は、関数の整数パラメータ（例えばべき乗）を含む積分（I _{nで表される）を、その関数のパラメータのより低い値（より低いべき乗）を含む積分（例えば}I _{n -1}またはI _{n -2 ）}で表すことである。これにより、簡約式は一種の再帰関係になる。言い換えれば、簡約式は積分を表す。

${\displaystyle I_{n}=\int f(x,n)\,{\text{d}}x,}$

に関しては

${\displaystyle I_{k}=\int f(x,k)\,{\text{d}}x,}$

どこ

${\displaystyle k<n.}$

積分を計算するには、n をその値に設定し、簡約式を使用して ( n – 1) または ( n – 2) 積分で表します。低いインデックスの積分を使用して、高いインデックスの積分を計算できます。このプロセスは、積分する関数を計算できるポイント (通常はインデックスが 0 または 1 のとき) に達するまで繰り返し続けられます。次に、前の結果を代入してI _nを計算します。^[2]

以下に手順の例を示します。

典型的には、次のような積分

${\displaystyle \int \cos ^{n}x\,{\text{d}}x,\,\!}$

削減式によって評価できます。

まず設定します:

${\displaystyle I_{n}=\int \cos ^{n}x\,{\text{d}}x.\,\!}$

次のように書き直します。

${\displaystyle I_{n}=\int \cos ^{n-1}x\cos x\,{\text{d}}x,\,\!}$

この置換によって積分すると：

${\displaystyle \cos x\,{\text{d}}x={\text{d}}(\sin x),\,\!}$

${\displaystyle I_{n}=\int \cos ^{n-1}x\,{\text{d}}(\sin x).\!}$

次に部分ごとに統合します。

${\displaystyle {\begin{aligned}\int \cos ^{n}x\,{\text{d}}x&=\int \cos ^{n-1}x\,{\text{d}}(\sin x)\!=\cos ^{n-1}x\sin x-\int \sin x\,{\text{d}}(\cos ^{n-1}x)\\&=\cos ^{n-1}x\sin x+(n-1)\int \sin x\cos ^{n-2}x\sin x\,{\text{d}}x\\&=\cos ^{n-1}x\sin x+(n-1)\int \cos ^{n-2}x\sin ^{2}x\,{\text{d}}x\\&=\cos ^{n-1}x\sin x+(n-1)\int \cos ^{n-2}x(1-\cos ^{2}x)\,{\text{d}}x\\&=\cos ^{n-1}x\sin x+(n-1)\int \cos ^{n-2}x\,{\text{d}}x-(n-1)\int \cos ^{n}x\,{\text{d}}x\\&=\cos ^{n-1}x\sin x+(n-1)I_{n-2}-(n-1)I_{n},\end{aligned}}\,}$

I _nを解くと:

${\displaystyle I_{n}\ +(n-1)I_{n}\ =\cos ^{n-1}x\sin x\ +\ (n-1)I_{n-2},\,}$

${\displaystyle nI_{n}\ =\cos ^{n-1}(x)\sin x\ +(n-1)I_{n-2},\,}$

${\displaystyle I_{n}\ ={\frac {1}{n}}\cos ^{n-1}x\sin x\ +{\frac {n-1}{n}}I_{n-2},\,}$

したがって、削減式は次のようになります。

${\displaystyle \int \cos ^{n}x\,{\text{d}}x\ ={\frac {1}{n}}\cos ^{n-1}x\sin x+{\frac {n-1}{n}}\int \cos ^{n-2}x\,{\text{d}}x.\!}$

例を補足すると、上記の式を使用して、（たとえば） n = 5 の積分を評価することができます。

${\displaystyle I_{5}=\int \cos ^{5}x\,{\text{d}}x.\,\!}$

下位指数の計算:

${\displaystyle n=5,\quad I_{5}={\tfrac {1}{5}}\cos ^{4}x\sin x+{\tfrac {4}{5}}I_{3},\,}$

${\displaystyle n=3,\quad I_{3}={\tfrac {1}{3}}\cos ^{2}x\sin x+{\tfrac {2}{3}}I_{1},\,}$

後方置換:

${\displaystyle \because I_{1}\ =\int \cos x\,{\text{d}}x=\sin x+C_{1},\,}$

${\displaystyle \therefore I_{3}\ ={\tfrac {1}{3}}\cos ^{2}x\sin x+{\tfrac {2}{3}}\sin x+C_{2},\quad C_{2}\ ={\tfrac {2}{3}}C_{1},\,}$

${\displaystyle I_{5}\ ={\frac {1}{5}}\cos ^{4}x\sin x+{\frac {4}{5}}\left[{\frac {1}{3}}\cos ^{2}x\sin x+{\frac {2}{3}}\sin x\right]+C,\,}$

ここでCは定数です。

もう一つの典型的な例は次のとおりです。

${\displaystyle \int x^{n}e^{ax}\,{\text{d}}x.\,\!}$

まず設定します:

${\displaystyle I_{n}=\int x^{n}e^{ax}\,{\text{d}}x.\,\!}$

置換による積分:

${\displaystyle x^{n}\,{\text{d}}x={\frac {{\text{d}}(x^{n+1})}{n+1}},\,\!}$

${\displaystyle I_{n}={\frac {1}{n+1}}\int e^{ax}\,{\text{d}}(x^{n+1}),\!}$

次に部分ごとに統合します。

${\displaystyle {\begin{aligned}\int e^{ax}\,{\text{d}}(x^{n+1})&=x^{n+1}e^{ax}-\int x^{n+1}\,{\text{d}}(e^{ax})\\&=x^{n+1}e^{ax}-a\int x^{n+1}e^{ax}\,{\text{d}}x,\end{aligned}}\!}$

${\displaystyle (n+1)I_{n}=x^{n+1}e^{ax}-aI_{n+1},\!}$

インデックスを1つ後ろにシフトします（つまりn + 1 → n、n → n – 1）。

${\displaystyle nI_{n-1}=x^{n}e^{ax}-aI_{n},\!}$

I _nを解くと:

${\displaystyle I_{n}={\frac {1}{a}}\left(x^{n}e^{ax}-nI_{n-1}\right),\,\!}$

したがって、削減式は次のようになります。

${\displaystyle \int x^{n}e^{ax}\,{\text{d}}x={\frac {1}{a}}\left(x^{n}e^{ax}-n\int x^{n-1}e^{ax}\,{\text{d}}x\right).\!}$

導出を実行する別の方法は、 を代入することから始まります。 ${\displaystyle e^{ax}}$

置換による積分:

${\displaystyle e^{ax}\,{\text{d}}x={\frac {{\text{d}}(e^{ax})}{a}},\,\!}$

${\displaystyle I_{n}={\frac {1}{a}}\int x^{n}\,{\text{d}}(e^{ax}),\!}$

次に部分ごとに統合します。

${\displaystyle {\begin{aligned}\int x^{n}\,{\text{d}}(e^{ax})&=x^{n}e^{ax}-\int e^{ax}\,{\text{d}}(x^{n})\\&=x^{n}e^{ax}-n\int e^{ax}x^{n-1}\,{\text{d}}x,\end{aligned}}\!}$

これを代入すると、次の簡約式が得られます。

${\displaystyle I_{n}={\frac {1}{a}}\left(x^{n}e^{ax}-nI_{n-1}\right),\,\!}$

これは次と同等です:

${\displaystyle \int x^{n}e^{ax}\,{\text{d}}x={\frac {1}{a}}\left(x^{n}e^{ax}-n\int x^{n-1}e^{ax}\,{\text{d}}x\right).\!}$

部分積分によって導出を実行する別の方法:

${\displaystyle I_{n}=\int x^{n}xe^{ax}\,{\text{d}}x,\!}$

${\displaystyle u=x^{n}{\text{ , }}\ dv=e^{ax},}$

${\displaystyle {\frac {du}{dx}}\ =nx^{n-1}{\text{ , }}\ v={\frac {e^{ax}}{a}}\ }$

${\displaystyle I_{n}={\frac {x^{n}e^{ax}}{a}}\ -\int nx^{n-1}\ {\frac {e^{ax}}{a}}\ {\text{d}}x\ }$

${\displaystyle I_{n}={\frac {x^{n}e^{ax}}{a}}\ -{\frac {n}{a}}\ \int x^{n-1}e^{ax}\ {\text{d}}x\ }$

覚えて：

${\displaystyle I_{n-1}=\int x^{n-1}e^{ax}\ {\text{d}}x\ }$

${\displaystyle \therefore \ I_{n}={\frac {x^{n}e^{ax}}{a}}\ -{\frac {n}{a}}\ I_{n-1}}$

これを代入すると、次の簡約式が得られます。

${\displaystyle I_{n}={\frac {1}{a}}\left(x^{n}e^{ax}-nI_{n-1}\right),\,\!}$

これは次と同等です:

${\displaystyle \int x^{n}e^{ax}\,{\text{d}}x={\frac {1}{a}}\left(x^{n}e^{ax}-n\int x^{n-1}e^{ax}\,{\text{d}}x\right).\!}$

以下の積分^[3]には以下が含まれます。

• 線形 根号の因数 ${\displaystyle {\sqrt {ax+b}}\,\!}$
• 線形因子と線形根号${\displaystyle {px+q}\,\!}$${\displaystyle {\sqrt {ax+b}}\,\!}$
• 二次因数${\displaystyle x^{2}+a^{2}\,\!}$
• 二次因数、${\displaystyle x^{2}-a^{2}\,\!}$${\displaystyle x>a\,\!}$
• 二次因数、${\displaystyle a^{2}-x^{2}\,\!}$${\displaystyle x<a\,\!}$
• （既約な）二次因数${\displaystyle ax^{2}+bx+c\,\!}$
• 既約な二次因数の根号${\displaystyle {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}\,\!}$

指数の法則により次のことがわかる:

${\displaystyle I_{n+{\frac {1}{2}}}=I_{\frac {2n+1}{2}}=\int {\frac {1}{(ax^{2}+bx+c)^{\frac {2n+1}{2}}}}\,{\text{d}}x=\int {\frac {1}{\sqrt {(ax^{2}+bx+c)^{2n+1}}}}\,{\text{d}}x\,\!}$

以下の積分^[4]には以下が含まれます。

• 正弦の因数
• 余弦の因数
• 正弦と余弦の積と商の因数
• 指数因数とxの累乗の積/商
• 指数と正弦/余弦係数の積

ウィキブックスには、微積分/積分技法/簡約公式に関する書籍があります。

• Anton、Bivens、Davis、『微積分学』第 7 版。