ルジャンドル形式

数学において、楕円積分のルジャンドル形式は、他のすべての楕円積分を簡約できる3つの楕円積分の標準集合である。ルジャンドルが楕円積分という名前を選んだのは、^[1] 2番目の種類は、長半径と離心率が単位の楕円（楕円は、、によってパラメータ的に定義される） の弧の長さを与えるからである。 ${\displaystyle \scriptstyle {k}}$${\displaystyle \scriptstyle {x={\sqrt {1-k^{2}}}\cos(t)}}$${\displaystyle \scriptstyle {y=\sin(t)}}$

現代では、ルジャンドル形式は、代わりの標準集合であるカールソン対称形式に大きく取って代わられています。ルジャンドル形式のより詳細な説明は、楕円積分に関する主要記事に記載されています。

第一種不完全楕円積分は次のように定義される。

${\displaystyle F(\phi,k)=\int_{0}^{\phi}{\frac{1}{\sqrt{1-k^{2}\sin^{2}(t)}}}dt,}$

2番目の種類として

${\displaystyle E(\phi ,k)=\int _{0}^{\phi }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}(t)}}\,dt,}$

そして3つ目は

${\displaystyle \Pi (\phi ,n,k)=\int _{0}^{\phi }{\frac {1}{(1-n\sin ^{2}(t)){\sqrt { 1-k^{2}\sin ^{2}(t)}}}\,dt.}$

第3種の積分の引数nは特性と呼ばれ、異なる表記規則ではΠの第1引数、第2引数、第3引数として現れることがあり、さらに反対の符号で定義されることもあります。上記の引数の順序はGradshteynとRyzhik ^[2]およびNumerical Recipes ^[3]の順序です。符号の選択はAbramowitzとStegun ^[4]およびGradshteynとRyzhik ^[2]の順序ですが、Numerical Recipes ^[3]のに対応しています。${\displaystyle \scriptstyle {\Pi (\phi ,-n,k)}}$

それぞれの完全楕円積分は、積分の上限である振幅、 を に設定することによって得られます。 ${\displaystyle \scriptstyle {\phi}}$${\displaystyle \scriptstyle {\pi /2}}$

楕円曲線のルジャンドル形式は次のように与えられる。

${\displaystyle y^{2}=x(x-1)(x-\lambda )}$

典型的な評価方法は、ランデン変換によるものです。下降ランデン変換は、係数を ゼロに向かって減少させ、振幅を増加させます。逆に、上昇変換は、係数を 1 に向かって増加させ、振幅を減少させます。ゼロまたは 1 に近づくどちらの限界でも、積分は簡単に評価できます。 ${\displaystyle \scriptstyle {k}}$${\displaystyle \scriptstyle {\phi}}$${\displaystyle \scriptstyle {k}}$

現代の著者の多くは、効率的で堅牢かつ比較的単純なアルゴリズムが存在するカールソン対称形式による評価を推奨しています。このアプローチは、 Boost C++ Libraries、GNU Scientific Library、Numerical Recipesで採用されています。^[3]

• カールソン対称形