四半期期間

数学において、四分の一周期 K ( m ) と i K  ′( m ) は楕円関数の理論に現れる特殊な関数です。

四半期周期Kとi K  ′は次のように与えられる。

${\displaystyle K(m)=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {d\theta }{\sqrt {1-m\sin ^{2}\theta }}}}$

そして

${\displaystyle {\rm {i}}K'(m)={\rm {i}}K(1-m).\,}$

mが実数（0 < m < 1）のとき、 KとK  ′ は両方とも実数です。慣例により、Kは実数四半期周期と呼ばれ、 i K ′ は虚数四半期周期 と呼ばれます。数値m、K、K  ′、またはK  ′/ Kのいずれか 1 つによって、他の数値が一意に決定されます。

これらの関数は、ヤコビ楕円関数の理論に登場します。楕円関数とが周期とを持つ周期関数であるため、これらは4 分の 1 周期と呼ばれます。ただし、関数 も周期的であり、その周期は (絶対値で) よりも小さくなります。 つまり、 です。${\displaystyle \operatorname {sn} u}$${\displaystyle \operatorname {cn} u}$${\displaystyle 4K}$${\displaystyle 4{\rm {i}}K'.}$${\displaystyle \operatorname {sn} }$${\displaystyle 4\mathrm {i} K'}$${\displaystyle 2\mathrm {i} K'}$

4分の1周期は、を代入することで、本質的には第一種の楕円積分になります。この場合、の代わりに と書きますが、2つの違いを理解するには、表記上、またはが使用されているかどうかに依存します。この表記の違いにより、それに伴う用語が生まれました。 ${\displaystyle k^{2}=m}$${\displaystyle K(k)\,}$${\displaystyle K(m)}$${\displaystyle k}$${\displaystyle m}$

• ${\displaystyle m}$パラメータと呼ばれる
• ${\displaystyle m_{1}=1-m}$補完パラメータと呼ばれる
• ${\displaystyle k}$楕円率と呼ばれる
• ${\displaystyle k'}$は補楕円係数と呼ばれ、${\displaystyle {k'}^{2}=m_{1}}$
• ${\displaystyle \alpha}$モジュラー角、ここで${\displaystyle k=\sin \alpha ,}$
• ${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}-\alpha }$補角モジュラー角。

${\displaystyle m_{1}=\sin^{2}\left({\frac {\pi}{2}}-\alpha\right)=\cos^{2}\alpha .}$

楕円係数は、4分の1周期で次のように表すことができます。

${\displaystyle k=\operatorname {ns} (K+{\rm {i}}K')}$

そして

${\displaystyle k'=\オペレータ名 {dn} K}$

ここで、およびはヤコビ楕円関数です。 ${\displaystyle \operatorname {ns} }$${\displaystyle \operatorname {dn} }$

名前は ​ ${\displaystyle q\,}$

${\displaystyle q=e^{-{\frac {\pi K'}{K}}}.}$

補語名は次のようになる。

${\displaystyle q_{1}=e^{-{\frac {\pi K}{K'}}}.}$

実四半期周期は、ノームを含む ランバート級数として表すことができます。

${\displaystyle K={\frac {\pi}{2}}+2\pi\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{q^{n}}{1+q^{2n}}}.}$

追加の展開と関係については、楕円積分のページを参照してください。

• Milton Abramowitz と Irene A. Stegun (1964)、『数学関数ハンドブック』、Dover Publications、ニューヨーク。ISBN 0-486-61272-4 。第 16 章と第 17 章を参照。