重み（表現論）

させて${\displaystyle \sigma$ :{\mathfrak {g}}\to \operatorname {End} (V)} はリー代数の表現である${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$標数0の体上のベクトル空間Vについて、${\displaystyle \mathbb {C} }$、そして${\displaystyle \lambda$ :{\mathfrak {h}}\to \mathbb {C} } は線形汎関数である。${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$、 どこ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$はカルタン部分代数である${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$それから重みλVの重み空間は部分空間である${\displaystyle V_{\lambda }}$によって与えられた

${\displaystyle V_{\lambda }:=\{v\in V:\forall H\in {\mathfrak {h}},\,(\sigma (H))(v)=\lambda (H)v\}}$。

表現Vの重み(表現は、写像ではなく、リー代数の要素が作用するベクトル空間Vと略されることが多い)${\displaystyle \sigma }$) は、対応する重み空間がゼロでない線形汎関数 λ です。重み空間のゼロでない要素は重みベクトルと呼ばれます。つまり、重みベクトルは、 の要素の作用に対する同時固有ベクトルです。${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$対応する固有値はλで与えられる。

Vがその重み空間の直和である場合

${\displaystyle V=\bigoplus _{\lambda \in {\mathfrak {h}}^{*}}V_{\lambda }}$

するとVは重みモジュール。、代数の表現されたすべての要素に対して固有基底が存在すること対角化可能な行列）に対応します。

Gがリー代数を持つリー群である場合${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$Gのすべての有限次元表現は、${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$。Gの表現の重みは、関連する表現の重みに等しい。${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$群表現の重みとリー代数表現の重みには微妙な違いがあり、それは両者における整数性条件の概念が異なる点である（下記参照）。（群の場合、整数性条件はより厳しく、これはリー代数のすべての表現が群の表現から得られるわけではないことを反映している。）

随伴表現の場合${\displaystyle \mathrm {ad}$ :{\mathfrak {g}}\to \operatorname {End} ({\mathfrak {g}}) } ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$表現が作用する空間はリー代数そのものである。すると、非ゼロの重みは根と呼ばれ、重み空間は根空間と呼ばれ、重みベクトルは、したがっての要素である。${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$はルートベクトルと呼ばれます。具体的には、線形汎関数${\displaystyle \alpha }$カルタン部分代数について${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$は、次のような場合にルートと呼ばれます。${\displaystyle \alpha \neq 0}$そして、ゼロでない値が存在する${\displaystyle X}$で${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$そのため

${\displaystyle [H,X]=\alpha (H)X}$

すべての人々のために${\displaystyle H}$で${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$根の集合体は根系を形成する。

表現論の観点から見ると、ルートとルートベクトルの意義は、次の基本的だが重要な結果である。${\displaystyle \sigma$ :{\mathfrak {g}}\to \operatorname {End} (V)} は、${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$、vは重みを持つ重みベクトルです${\displaystyle \lambda }$Xはルートベクトルであり、ルートは${\displaystyle \alpha }$、 それから

${\displaystyle \sigma (H)(\sigma (X)(v))=[(\lambda +\alpha )(H)](\sigma (X)(v))}$

すべてのHに対して${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$つまり、${\displaystyle \sigma (X)(v)}$はゼロベクトルか、重み付き重みベクトルのいずれかです。${\displaystyle \lambda +\alpha }$したがって、${\displaystyle X}$重み空間を重みでマッピングする${\displaystyle \lambda }$重量空間に重量を加えて${\displaystyle \lambda +\alpha }$。

例えば、${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {su}}_{\mathbb {C} }(2)}$、 または${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$複雑化されたルートベクトル${\displaystyle {H,X,Y}}$代数を展開し、重みを持つ${\displaystyle 0}$、${\displaystyle 1}$、 そして${\displaystyle -1}$それぞれ。カルタン部分代数は以下によって張られる。${\displaystyle H}$、そして${\displaystyle H}$重み空間を分類します。${\displaystyle X}$重みの重み空間をマッピングする${\displaystyle \lambda }$重量の空間へ${\displaystyle \lambda +1}$そして、${\displaystyle Y}$重みの重み空間をマッピングする${\displaystyle \lambda }$重量の空間へ${\displaystyle \lambda -1}$、そして${\displaystyle H}$重み空間をそれ自身にマッピングします。基本表現では、重みは${\displaystyle \pm {\frac {1}{2}}}$重量スペース${\displaystyle V_{\pm {\frac {1}{2}}}}$、${\displaystyle X}$地図${\displaystyle V_{+{\frac {1}{2}}}}$ゼロにして${\displaystyle V_{-{\frac {1}{2}}}}$に${\displaystyle V_{+{\frac {1}{2}}}}$、 その間${\displaystyle Y}$地図${\displaystyle V_{-{\frac {1}{2}}}}$ゼロにして${\displaystyle V_{+{\frac {1}{2}}}}$に${\displaystyle V_{-{\frac {1}{2}}}}$、 そして${\displaystyle H}$各重み空間をそれ自身にマッピングする。

させて${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{0}^{*}}$の実部分空間である${\displaystyle {\mathfrak {h}}^{*}}$根によって生成された${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$、 どこ${\displaystyle {\mathfrak {h}}^{*}}$は線形汎関数の空間である${\displaystyle \lambda$ :{\mathfrak {h}}\to \mathbb {C} } 、双対空間${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$計算においては、ワイル群、すなわち根に直交する超平面に関する鏡映の下で不変な内積を選択するのが便利です。この内積を用いて、${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{0}^{*}}$部分空間を持つ${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{0}}$の${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$この識別により、ルートに関連付けられたコルートが${\displaystyle \alpha }$次のように与えられます

${\displaystyle H_{\alpha }=2{\frac {\alpha }{(\alpha ,\alpha )}}}$

どこ${\displaystyle (\alpha ,\beta )}$ベクトルの内積を表す${\displaystyle \alpha ,\beta .}$この内積に加えて、山括弧表記もよく使われます。${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ルートシステムの議論で使用するために、山括弧は次のように定義されます。${\displaystyle \langle \lambda ,\alpha \rangle \equiv (\lambda ,H_{\alpha }).}$ここでの山括弧は内積ではありません。対称性がなく、最初の引数に関してのみ線形だからです。山括弧表記を内積と混同してはいけません。${\displaystyle (\cdot ,\cdot ).}$

ここで、要素の整数性に関する2つの異なる概念を定義する。${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{0}}$これらの定義の動機は単純です。${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$Gがリー代数を持つ群である場合、最初の整数条件を満たす。${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$有限次元表現の重みは、Gの第 2 整数条件を満たす。

要素${\displaystyle \lambda \in {\mathfrak {h}}_{0}}$代数的に整数である場合

${\displaystyle (\lambda ,H_{\alpha })=2{\frac {(\lambda ,\alpha )}{(\alpha ,\alpha )}}\in \mathbb {Z} }$

すべてのルートのために${\displaystyle \alpha }$この条件の動機は、共根が${\displaystyle H_{\alpha }}$標準のH元素と識別できる${\displaystyle {X,Y,H}}$基礎${\displaystyle sl(2,\mathbb {C} )}$-部分代数の${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$[ ^{1 ]初等的な}結果により${\displaystyle sl(2,\mathbb {C} )}$の固有値${\displaystyle H_{\alpha }}$任意の有限次元表現では、は整数でなければならない。したがって、上記のように、任意の有限次元表現の重みは、${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$代数的に積分である。^{[ 2 ]}

基本重み${\displaystyle \omega _{1},\ldots ,\omega _{n}}$は、基礎を形成する性質によって定義される。${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{0}}$単純根に関連付けられた共根の集合の双対である。つまり、基本重みは条件によって定義される。

${\displaystyle 2{\frac {(\omega _{i},\alpha _{j})}{(\alpha _{j},\alpha _{j})}}=\delta _{i,j}}$

どこ ${\displaystyle \alpha _{1},\ldots \alpha _{n}}$は単純な根です。${\displaystyle \lambda }$代数的に整数となるのは、それが基本重みの整数的組み合わせである場合に限る。 ^{[ 3 ]}すべての集合${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-積分重みは格子である${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{0}}$重み格子と呼ばれる${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$、で示される${\displaystyle P({\mathfrak {g}})}$。

図はリー代数の例を示している。${\displaystyle sl(3,\mathbb {C} )}$その根系は${\displaystyle A_{2}}$根系。単純な根が2つあります。${\displaystyle \gamma _{1}}$そして${\displaystyle \gamma _{2}}$最初の基本的な重さは、${\displaystyle \omega _{1}}$は、に直交するべきである${\displaystyle \gamma _{2}}$そして、半分に直交するように投影する必要があります${\displaystyle \gamma _{1}}$、同様に${\displaystyle \omega _{2}}$すると、重み格子は三角形格子となる。

リー代数が${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$はリー群Gのリー代数である。このとき、次のように言う。${\displaystyle \lambda \in {\mathfrak {h}}_{0}}$は、各tに対して、解析的に積分（G 積分）である。${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$そのため${\displaystyle \exp(t)=1\in G}$我々は持っています${\displaystyle (\lambda ,t)\in 2\pi i\mathbb {Z} }$この定義をする理由は、表現が${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$Gの表現から生じる場合、表現の重みはG整数になります。^{[ 4 ]} Gが半単純な場合、すべてのG整数重みの集合は部分束P ( G ) ⊂ P (${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$) Gが単連結である場合、P ( G ) = P (${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$) Gが単連結でない場合、格子P ( G ) はP ( )より小さい。${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$）そしてそれらの商群はGの基本群と同型である。^{[ 5 ]}

ここで、重みの集合に部分順序を導入します。これは、表現を記述する最高重みの定理を定式化するために使用されます。${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$Rは根の集合であることを思い出してください。ここで、集合を固定します。${\displaystyle R^{+}}$ポジティブな根の。

2つの要素を考慮する${\displaystyle \mu }$そして${\displaystyle \lambda }$の ${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{0}}$我々は主に以下のケースに関心がある。${\displaystyle \mu }$そして${\displaystyle \lambda }$これらは整数ですが、この仮定はこれから導入する定義には必須ではありません。次に、${\displaystyle \mu }$より高い​${\displaystyle \lambda }$我々はそれを次のように書く${\displaystyle \mu \succeq \lambda }$、 もし${\displaystyle \mu -\lambda }$は、非負の実数係数を持つ正の根の線形結合として表現できます。 ^{[ 6 ]}これは、おおよそ「より高い」とは、正の根の方向を意味することを意味します。同様に、${\displaystyle \lambda }$「より低い」${\displaystyle \mu }$我々はそれを次のように書く${\displaystyle \lambda \preceq \mu }$。

これは部分的な順序付けにすぎません。${\displaystyle \mu }$より高いわけでも低いわけでもない${\displaystyle \lambda }$。

不可欠な要素${\displaystyle \lambda }$優勢な場合${\displaystyle (\lambda ,\gamma )\geq 0}$各正の根について${\displaystyle \gamma }$同等に、${\displaystyle \lambda }$基本重みの非負整数の組み合わせである場合、それは支配的である。${\displaystyle A_{2}}$この場合、支配的な整数要素は60度のセクター内に存在します。支配的であることは、ゼロより大きいこととは異なります。右側の図の灰色の領域は120度のセクターであり、支配的な整数要素に対応する60度のセクターを厳密に含んでいることに注意してください。

λ（必ずしも整数である必要はない）の集合で、${\displaystyle (\lambda ,\gamma )\geq 0}$すべてのポジティブな根源のために${\displaystyle \gamma }$これは、与えられた正の根のセットに関連付けられた基本ワイル室として知られています。

重さ${\displaystyle \lambda }$表現の${\displaystyle V}$の${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$は、他のすべての重量が最高重量である場合、最高重量と呼ばれます。${\displaystyle V}$より低い${\displaystyle \lambda }$。

有限次元既約表現を分類する理論${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$これは「最も重みのある定理」によるものです。その定理は^{[ 7 ]と述べています。}

（１）すべての既約（有限次元）表現は最高の重みを持ち、

（２）最も高い重みは常に支配的で代数的に整数的な要素である。

（３）同じ最高重みを持つ２つの既約表現は同型であり、

（４）すべての支配的で代数的に整な要素は、既約表現の最高ウェイトである。

最後の点が最も難しい。表現はVermaモジュールを使用して構築できる。

（必ずしも有限次元ではない） Vの表現${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$は、すべての正のルート空間の作用によって消滅する重みベクトルv ∈ Vによって生成される場合、最高重みモジュールと呼ばれます。${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$あらゆる還元不可能な${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$最高ウェイトを持つモジュールは必ず最高ウェイトモジュールであるが、無限次元の場合、最高ウェイトモジュールは既約である必要はない。各${\displaystyle \lambda \in {\mathfrak {h}}^{*}}$—必ずしも支配的または完全ではない—一意の（同型を除いて）単純な最高ウェイトが存在する${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$重みλが最も高い加群はL (λ)と表記されるが、λが優位積分でない限り、この加群は無限次元となる。重みλが最も高い加群はそれぞれ、 Verma加群M (λ)の商加群であることが示される。これは、 Verma加群の定義における普遍性の性質を言い換えたものにすぎない。

すべての有限次元最高ウェイト加群は既約である。^{[ 8 ]}