定期番号

正規数は、 60の累乗(または、同等に30の累乗)を均等に割り切れる数です。同様に、これらは2、3、5のみが素約数である数です。たとえば、 60 ²  = 3600 = 48 × 75 なので、 60 の累乗の約数として 48 と 75 は両方とも正規数です。

これらの数字は数学とその応用のさまざまな分野で発生し、研究分野によって異なる名前が付けられています。

• 数論では、これらの数は5 滑らかな数と呼ばれます。これは、これらの数が2、3、または 5 のみを素因数として持つと特徴付けられるためです。これは、より一般的なk滑らかな数、つまりkより大きい素因数を持たない数の特殊なケースです。
• バビロニア数学の研究では、60 の累乗の約数は正規数または正規 60 進数と呼ばれ、バビロニア人が数字の表記に使用した60 進数 (基数 60) の記数法がバビロニア数学の中心であったため、この分野では非常に重要です。
• 音楽理論では、 5 度限界 純正律の音の比率に規則的な数が現れます。音楽理論や関連する建築理論に関連して、これらの数は調和整数と呼ばれています。
• コンピュータサイエンスでは、通常の数は、これらの数を昇順で生成するコンピュータアルゴリズムを見つける問題を提案したリチャード・ハミングにちなんで、ハミング数と呼ばれることがよくあります。この問題は、関数型プログラミングのテストケースとして使用されてきました。

正式には、正則数は、非負の整数、、 に対しての形式の整数です。このような数は の約数です。正則数は 5平滑数とも呼ばれ、その最大の素因数が 5 以下であることを示します。 ^[2]より一般的には、k平滑数は、その最大の素因数がk以下である数です。^[3]${\displaystyle 2^{i}\cdot 3^{j}\cdot 5^{k}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$${\displaystyle k}$${\displaystyle 60^{\max(\lceil i\,/2\rceil ,j,k)}}$

最初のいくつかの通常の数字は^[2]

オンライン整数列百科事典には、 5次元の滑らかな数列を含む定義がいくつか掲載されている。 ^[4]

正則数は 1 から 60 の範囲内では密集しているように見えますが、より大きな整数の間ではかなりまばらです。正則数が何らかのしきい値以下となるのは、点が座標平面と平面で囲まれた 四面体に属する場合に限ら れます。これは不等式の両辺の対数を取ればわかります。したがって、最大で である正則数の数は、この四面体の 体積として見積もることができ、これは です。 さらに正確には、大文字の O 記法 を使用すると、 までの正則数の数はで あり 、この近似の誤差項は実際には であると推測されています。^[2] までの 3 次元滑らかな数の個数に関する同様の式は、シュリニヴァーサ・ラマヌジャンがGH ハーディへの最初の手紙 で示しています。^[5]${\displaystyle n=2^{i}\cdot 3^{j}\cdot 5^{k}}$${\displaystyle N}$${\displaystyle (i,j,k)}$$${\displaystyle i\ln 2+j\ln 3+k\ln 5\leq \ln N,}$$${\displaystyle 2^{i}\cdot 3^{j}\cdot 5^{k}\leq N}$${\displaystyle N}$$${\displaystyle {\frac {\log _{2}N\,\log _{3}N\,\log _{5}N}{6}}.}$$${\displaystyle N}$$${\displaystyle {\frac {\left(\ln(N{\sqrt {30}})\right)^{3}}{6\ln 2\ln 3\ln 5}}+O(\log N),}$$${\displaystyle O(\log \log N)}$${\displaystyle N}$

バビロニアの60進法では、通常の数の逆数は有限の表現を持つ。が を割り切る場合、 の60進法表現は の表現をいくつかの桁だけシフトしたものになる。これにより、これらの数による割り算が簡単になり、 で割り、 を掛け、シフトする。^[6]${\displaystyle n}$${\displaystyle 60^{k}}$${\displaystyle 1/n}$${\displaystyle 60^{k}/n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle 1/n}$

たとえば、通常の数 54 = 2 ¹ 3 ^{3による割り算を考えてみましょう。54 は 60 3}の約数であり、 60 ³ /54 = 4000 なので、60 進法で 54 で割るには、4000 を掛けて 3 桁ずらします。60 進法では、4000 = 1×3600 + 6×60 + 40×1、または (Joyce が挙げているように) 1:6:40 です。したがって、60 進法の 1/54 は 1/60 + 6/60 ² + 40/60 ³であり、バビロニアの表記法では最初の数字の累乗が指定されていなかったため、1:6:40 とも表記されます。逆に、1/4000 = 54/60 ³なので、1:6:40 = 4000 による除算は、代わりに 54 を掛けて 60 進数の 3 桁をシフトすることで実行できます。

バビロニア人は、通常の数の逆数の表を使用しており、その一部は今でも残っています。^[7]これらの表は、バビロニア時代を通じてほとんど変更されていませんでした。^[6]セレウコス朝時代のイナキビト・アヌという人物が書いた粘土板には、6桁の通常の数231のうち、1桁目が1または2である136の逆数が順番にリストされています。また、3 ²³ (60進数では2 1 4 8 3 0 7) など、6桁を超える数の逆数も含まれています。この逆数は、60進数で17桁です。これらの数の計算とソートの難しさに注目したドナルド・クヌースは、 1972年にイナキビト・アヌを「現代の電子計算機で1秒以上かかる計算問題を解いた歴史上最初の人物」と称賛しました。 （非正規数の逆数の近似値を示す表が2つ知られており、そのうちの1つは56から80までのすべての数の逆数を示している。）^{[8] [9]}

正数の方が他の数よりも好まれる主な理由は、その逆数が有限であることに関係しているが、逆数以外のバビロニアの計算にも正数が使われていた。例えば、正方数の表が見つかっており^[6]、壊れた粘土板プリンプトン 322 は、によって生成される正方数かつ 60 未満のピタゴラス数列を列挙しているとノイゲバウアーによって解釈されている^{[10]。ファウラーとロブソンは平方根の計算について論じており、例えばバビロニア人はどのようにして}2 の平方根 の近似値を見つけたのか、おそらく 17/12 のような分数の正数近似値を使っていたのかもしれない^{[9] 。} ${\displaystyle (p^{2}-q^{2},\,2pq,\,p^{2}+q^{2})}$${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$

音楽理論では、全音階の純正律には規則的な数字が関係している。つまり、この音階の1オクターブ内の音高は、ほぼ連続する規則的な数字のシーケンス 24、27、30、32、36、40、45、48 の数に比例する周波数を持つ。^[11]したがって、このチューニングの楽器では、すべての音高は単一の基本周波数の規則的な数の倍音である。この音階は 5限界チューニングと呼ばれ、任意の2 つの音高間の間隔は 2 ⁱ 3 ^j 5 ^kから 5 までの素数の累乗として、または同等に規則的な数の比として記述できることを意味する。^[12]

西洋音楽でおなじみの全音階以外の 5 限界音階も、他の文化の伝統音楽と現代の実験音楽の両方で使用されています。Honingh と Bod (2005) は、より大規模な音階データベースから抽出した 31 の異なる 5 限界音階をリストしています。これら 31 の音階はそれぞれ、全音階の純正律と同様に、すべての音程が規則的な数の比率であるという特性を持っています。 [ ^12] オイラーのトネッツは、オクターブ関係 (2 の累乗) を因数分解して残りの値が平面グリッドを形成するようにすることで、5 限界チューニングのピッチを便利にグラフィカルに表現します。^[12]一部の音楽理論家は、より一般的に、規則的な数は調性音楽自体の基本であり、5 より大きい素数に基づくピッチ比は協和音にはならないと述べています。^[13]しかし、現代のピアノの平均律は5を限界とする調律ではなく、^[14]現代の作曲家の中には5より大きい素数に基づいた調律を実験している人もいます。^[15]

音楽理論への正則数の応用に関連して、1 だけ異なる正則数のペアを見つけることは興味深い。そのようなペアはちょうど 10 個あり、それぞれのペアは音楽の音程として意味のある超特定比を定義する。これらの音程は、2/1 (オクターブ)、3/2 (完全五度)、4/3 (完全四度)、5/4 (正確な長三度)、6/5 (正確な短三度)、9/8 (正確な長音)、10/9 (正確な短音)、16/15 (正確な全音階半音)、25/24 (正確な半音階半音)、および 81/80 (シントニックコンマ) である。^[16]${\displaystyle (x,x+1)}$ ${\displaystyle {\tfrac {x+1}{x}}}$

ルネサンスの普遍的調和理論では、音楽の比率は建築物などの他の用途にも使用されていました。これらの共通の音楽と建築の比率の分析に関連して、たとえばパラディオの建築では、規則的な数は調和整数とも呼ばれています。^[17]

Wikifunctions には、通常の数値チェック機能があります。

正規の数字を昇順で計算するアルゴリズムは、エドガー・ダイクストラによって普及しました。ダイクストラ (1976、1981) は、すべての 5 次元滑らかな数の無限昇順を構築する問題をハミングの問題としました。この問題は現在ハミングの問題として知られており、このようにして生成された数字はハミング数とも呼ばれています。これらの数字を計算するダイクストラのアイデアは次のとおりです。

• ハミング数列は 1 から始まります。
• シーケンスの残りの値は、、および の形式になります。ここで、は任意のハミング数です。${\displaystyle 2h}$${\displaystyle 3h}$${\displaystyle 5h}$${\displaystyle h}$
• したがって、値 1 を出力し、シーケンス、、およびをマージすることによってシーケンスを生成できます。${\displaystyle H}$${\displaystyle 2H}$${\displaystyle 3H}$${\displaystyle 5H}$

このアルゴリズムは、生成された値ごとに定数回の算術演算を使用する（暗黙的に）並行で効率的な実装が上記のように簡単に構築できるため、遅延関数型 プログラミング言語の威力を示すためによく使用されます。同様に効率的な厳密な関数型または命令型の順次実装も可能ですが、明示的に並行する生成ソリューションは簡単ではない可能性があります。^[18]

Pythonプログラミング言語では、規則的な数値を生成する遅延関数型コードが、言語実装の正確さを検証する組み込みテストの1つとして使用されています。^[19]

クヌース (1972) が論じた関連した問題は、桁の 60 進数をすべて昇順に並べることである (上記の #バビロニア数学 を参照)。アルゴリズム的に言えば、これは から までの正則数の無限列の部分列を (順番に) 生成することと同等である。[ ^8] これらの数を順序どおりに生成せず、その後ソートするコンピュータ コードの初期の説明については、ジンゲリッチ (1965) を参照。^[20]クヌースは、6 桁の数字をより速く生成するアドホック アルゴリズム (彼が Bruins (1970) に帰属) について説明しているが、これは のより大きな値には直接一般化できない。^[8] エップスタイン (2007) は、 の任意の値に対してこのタイプの表を線形時間で計算するアルゴリズムについて説明している。^[21]${\displaystyle k}$${\displaystyle 60^{k}}$${\displaystyle 60^{k+1}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$

ヘニンガー、レインズ、スローン（2006）は、が正数で8で割り切れる場合、次元極値偶ユニモジュラー格子の生成関数は多項式のan乗であることを示している。 ^[22]${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

他のクラスの滑らかな数と同様に、正則数は、時間とともに変化するデータ内の信号の主要な周波数を分析する技術である高速フーリエ変換を実行するコンピュータプログラムの問題サイズとして重要です。たとえば、テンパートン（1992）の方法では、変換の長さが正則数である必要があります。^[23]

プラトンの『国家』第8巻には、 60 ⁴ = 12,960,000という非常に規則的な数とその約数（プラトンの数を参照）を中心とした結婚の寓話が含まれている。後の学者たちは、この一節を説明するためにバビロニアの数学と音楽理論の両方を持ち出した。^[24]

竹の特定の種は、一定の年数と推定される間隔で（マスティングと呼ばれるプロセス）、同期して大量の種子を放出します。種によって間隔は異なり、10、15、16、30、32、48、60、120年の間隔の例があります。 ^[25]このプロセスのタイミングと同期をとる生物学的メカニズムは、滑らかな数字、特にこの場合は5滑らかな数字に適しているという仮説があります。他のいくつかの竹の種の推定マスティング間隔は、一定の年数ではありませんが、これは測定誤差として説明できる可能性があります。^[25]

• クラーク大学の David E. Joyce 教授の Web サイトから引用した、3600 までの正数の逆数の表。
• RosettaCode 約 50 のプログラミング言語でのハミング数の生成