ラグオペレーター

時系列分析において、ラグ演算子（L）またはバックシフト演算子（B）は、時系列の要素に対して作用し、前の要素を生成します。例えば、ある時系列が与えられた場合

${\displaystyle X=\{X_{1},X_{2},\dots \}}$

それから

${\displaystyle LX_{t}=X_{t-1}}$すべての人々のために${\displaystyle t>1}$

あるいは同様に、バックシフト演算子Bに関して言えば、次のようになる。${\displaystyle BX_{t}=X_{t-1}}$すべての人々のために${\displaystyle t>1}$同等に、この定義は次のように表すことができる。

${\displaystyle X_{t}=LX_{t+1}}$すべての人々のために$t ≥ 1$

ラグ演算子（およびバックシフト演算子）は任意の整数乗にすることができ、

${\displaystyle L^{-1}X_{t}=X_{t+1}}$

そして

${\displaystyle L^{k}X_{t}=X_{tk}.}$

ラグ演算子の多項式を使用することができ、これはARMA (自己回帰移動平均) モデルの一般的な表記法です。たとえば、

${\displaystyle \varepsilon _{t}=X_{t}-\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}X_{ti}=\left(1-\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}L^{i}\right)X_{t}}$

AR( p )モデルを指定します。

ラグ演算子の多項式はラグ多項式と呼ばれ、例えばARMAモデルは次のように簡潔に指定できます。

${\displaystyle \varphi (L)X_{t}=\theta (L)\varepsilon _{t}}$

どこ${\displaystyle \varphi (L)}$そして${\displaystyle \theta (L)}$それぞれ遅延多項式を表す

${\displaystyle \varphi (L)=1-\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}L^{i}}$

そして

${\displaystyle \theta (L)=1+\sum _{i=1}^{q}\theta _{i}L^{i}.\,}$

遅延演算子の多項式は、変数の数や多項式と同様の乗算と除算の規則に従います。たとえば、

${\displaystyle X_{t}={\frac {\theta (L)}{\varphi (L)}}\varepsilon _{t},}$

同じ意味です

${\displaystyle \varphi (L)X_{t}=\theta (L)\varepsilon _{t}.}$

変数の多項式と同様に、ラグ演算子の多項式は、多項式の長除法を用いて別の多項式で割ることができます。一般に、有限次数（最高次数）を持つ多項式同士を割ると、無限次数の多項式が得られます。

消滅演算子、表記は${\displaystyle [\ ]_{+}}$、負のべき乗（将来の値）を持つ多項式の要素を削除します。

ご了承ください${\displaystyle \varphi \left(1\right)}$ は係数の合計を表します。

$\displaystyle \varphi \left(1\right)=1-\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}}$

時系列分析における第1差分演算子 ：${\displaystyle \Delta }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta X_{t}&=X_{t}-X_{t-1}\\\Delta X_{t}&=(1-L)X_{t}~.\end{aligned}}}$

同様に、2番目の差分演算子は次のように機能します。

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta (\Delta X_{t})&=\Delta X_{t}-\Delta X_{t-1}\\\Delta ^{2}X_{t}&=(1-L)\Delta X_{t}\\\Delta ^{2}X_{t}&=(1-L)(1-L)X_{t}\\\Delta ^{2}X_{t}&=(1-L)^{2}X_{t}~.\end{aligned}}}$

上記のアプローチは、i番目の差分演算子 にも一般化できる。$\displaystyle \Delta ^{i}X_{t}=(1-L)^{i}X_{t}\ .}$

確率過程においては、過去の情報セットが与えられた場合の変数の期待値に関心を持つのが一般的である。$\displaystyle \Omega _{t}}$を時刻tにおける共通知識であるすべての情報とします(これは期待値演算子の下に添え字として付けられることが多い)。このとき、jタイムステップ後のXの実現値の期待値は、次のように等価的に表すことができます。

${\displaystyle E[X_{t+j}|\Omega _{t}]=E_{t}[X_{t+j}].}$

これらの時間依存条件付き期待値においては、予測変数の日付のみを調整するバックシフト演算子（ B ）と、予測変数の日付と情報セットの両方を等しく調整するラグ演算子（ L ）を区別する必要がある。

${\displaystyle L^{n}E_{t}[X_{t+j}]=E_{tn}[X_{t+jn}],}$

${\displaystyle B^{n}E_{t}[X_{t+j}]=E_{t}[X_{t+j-n}].}$

• 自己回帰モデル
• 自己回帰移動平均モデル
• 移動平均モデル
• シフトオペレーター
• Z変換

• ハミルトン、ジェームズ・ダグラス（1994）。時系列分析。プリンストン大学出版局。ISBN 0-691-04289-6。
• Verbeek, Marno (2008). 『現代計量経済学入門』 John Wiley and Sons. ISBN 0-470-51769-7。
• Weisstein, Eric. "Wolfram MathWorld" . WolframMathworld: Difference Operator . Wolfram Research . 2017年11月10日取得.
• Box, George EP; Jenkins, Gwilym M.; Reinsel, Gregory C.; Ljung, Greta M. (2016).時系列分析：予測と制御（第5 版）. ニュージャージー：Wiley. ISBN 978-1-118-67502-1。