ブラウン運動ノイズ

科学において、ブラウンノイズはブラウンノイズまたはレッドノイズとも呼ばれ、ブラウン運動によって生成される信号ノイズの一種で、ランダムウォークノイズとも呼ばれます。「ブラウンノイズ」という用語は色に由来するものではなく、水中の複数の種類の無生物粒子の不規則な動きを記録したロバート・ブラウンに由来しています。「レッドノイズ」という用語は「ホワイトノイズ」と「白色光」の類似性から来ています。レッドノイズは、可視スペクトルの赤色端と同様に、より長い波長で強くなります。

音声信号のグラフィック表現はブラウン運動のパターンを模倣しています。そのスペクトル密度はf ²に反比例します。つまり、ピンク ノイズよりも低い周波数で強度が高くなります。強度は 1オクターブあたり6 dB ( 10 倍あたり 20 dB ) 低下し、ホワイトノイズやピンクノイズに比べて「減衰した」または「柔らかい」音質で聞こえます。その音は滝や激しい雨に似た低い轟音です。1 オクターブあたり6 dB増加するバイオレット ノイズも参照してください。

厳密に言えば、ブラウン運動はガウス確率分布を持ちますが、「赤色ノイズ」は 1/ f ²周波数スペクトルを持つ任意の信号に適用される可能性があります。

ブラウン運動はウィーナー過程とも呼ばれ、白色ノイズ信号の積分として得られる。 つまり、ブラウン運動は白色ノイズの積分であり、そのパワースペクトル密度は平坦である。^[1]$${\displaystyle W(t)=\int _{0}^{t}{\frac {dW}{d\tau }}(\tau )d\tau }$$${\displaystyle t\mapsto dW(t)}$ $${\displaystyle S_{0}=\left|{\mathcal {F}}\left[t\mapsto {\frac {dW}{dt}}(t)\right](\omega )\right|^{2}={\text{const}}.}$$

ここで はフーリエ変換 を表し、 は定数である。この変換の重要な性質は、任意の分布の導関数が^[2]のように変換されるということである 。このことから、ブラウン運動ノイズのパワースペクトルは ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle S_{0}}$ $${\displaystyle {\mathcal {F}}\left[t\mapsto {\frac {dW}{dt}}(t)\right](\omega )=i\omega {\mathcal {F}}[t\mapsto W(t)](\omega ),}$$$${\displaystyle S(\omega )={\big |}{\mathcal {F}}[t\mapsto W(t)](\omega ){\big |}^{2}={\frac {S_{0}}{\omega ^{2}}}.}$$

個々のブラウン運動の軌道はスペクトルを示し、その振幅は軌道が無限に長い場合であってもランダム変数となる。^[3]${\displaystyle S(\omega )=S_{0}/\omega ^{2}}$${\displaystyle S_{0}}$

ブラウンノイズは、ホワイトノイズを積分する ことによって生成できます。^{[4] [5]}つまり、（デジタル）ホワイトノイズは各サンプルを独立にランダムに選択することによって生成できますが、ブラウンノイズは各サンプルにランダムなオフセットを追加して次のサンプルを取得することによって生成できます。ブラウンノイズは低周波で無限のスペクトルパワーを含むため、信号は原点から無限にドリフトする傾向があります。オーディオや電磁気アプリケーションでは、信号が「さまよわない」、つまりシステムのダイナミックレンジの制限を超えないようにするために、リーキー積分器が使用される場合があります。これにより、ブラウンノイズは、低周波でフラットなスペクトルを持ち、選択したカットオフ周波数を超えるとのみ「赤」になるオルンスタイン-ウーレンベックノイズに変換されます。

ブラウンノイズは、まずホワイトノイズ信号を生成し、それをフーリエ変換し、次に異なる周波数成分の振幅を周波数（1次元）で割ったり、周波数の2乗（2次元）などで割ったりすることで、コンピュータで生成することもできます。 ^[6] Matlabプログラムを使用すると、ブラウンノイズやその他のべき乗法則の色付きノイズを1次元^[7]または任意の数^[8]で生成できます。

ブラウンノイズ

10秒間のブラウン運動ノイズ

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ブラウン運動ノイズ、より正確にはブラウン運動の証拠は、化学、^[9]、電磁気学、^[10] 、流体力学、^[11]、経済学、^[12]、人間の神経運動制御など、さまざまな分野で発見されています。^[13]

人間の神経運動制御において、ブラウン運動は、静かに立つ、手に物を持つなどの姿勢課題と動的課題の両方において、人間の自然なドリフトのバイオマーカーとして認識されていました。テッサリらの研究は、人間におけるこれらのブラウン運動が、人間が下降する神経速度コマンドとして運動をコード化するという神経科学的仮説を初めて行動的に裏付ける可能性があることを強調しました。^[13]