架空の力

架空の力とは、直線的に加速したり回転したりする基準フレームなど、非慣性基準フレームを使用して運動が記述される質量に作用するように見える力です。^[1]架空の力は、慣性ではない基準フレームにおいて、ニュートンの運動の第二法則 の有効性を維持し、使用するために呼び出されます。^[2]

たとえば、前方に加速している乗り物に乗っている乗客は、座席の背もたれの方向に移動する力を受けていると感じることがあります。回転参照フレームの例としては、物体を遠心分離機や回転木馬の縁に向かって外側に動かす力があるという印象を受けることがあります。

擬似力と呼ばれる架空の力は、物体力とも呼ばれます。これは、参照フレームが慣性で移動しなくなり、自由物体に対して加速し始めるときの物体の慣性によるものです。乗用車の例では、擬似力は、体が車の座席の背もたれに触れる直前にアクティブになっているように見えます。車内で前かがみになっている人は、まず、すでに加速している車に対して少し後ろに移動し、その後背もたれに触れます。この短い期間の動きはその人に加わる力の結果のように見えます。つまり、擬似力です。擬似力は、電磁力や接触力など、2 つの物体間の物理的な相互作用から生じるものではありません。これは、非慣性参照フレームが接続されている物理的物体(この場合は車両)の加速度aの結果にすぎません。それぞれの加速フレームの観点から見ると、不活性物体の加速が存在しているように見えますが、これが発生するには明らかに「力」が必要です。

イロ氏は次のように述べている。^[3]

2 つの参照フレームの不均一な相対運動によって生じるこのような追加の力は、疑似力と呼ばれます。

— ハラルド・イロ著『古典力学への現代的アプローチ』 180 ページ

物体に対する疑似力は、物体の運動を記述するために使用される参照フレームが、非加速フレームと比較して加速している場合に、想像上の影響として発生します。疑似力は、ニュートンの第二法則の力学を使用して、物体がニュートンの第二法則に従わず、無重力のように「自由に浮遊」する理由を「説明します」。フレームが任意の方法で加速できるように、疑似力も同様に任意である可能性があります（ただし、フレームの加速に直接応答する場合のみです）。イロによって定義された疑似力の例は、コリオリの力であり、コリオリ効果と呼ぶ方が適切かもしれません。^{[4] [5] [6]}重力は、一般相対性理論などの、粒子が質量のために時空を歪める場のモデルにおける架空の力（疑似力）でもあります。

ニュートンの運動の第二法則がF  =  m a の形式であると仮定すると、架空の力は常に質量mに比例します。

慣性力^{[7] [8] [9]}と呼ばれてきた架空の力は、ダランベール力^{[10] [11]}、または時には疑似力^[12]とも呼ばれます。ダランベールの原理は、ニュートンの運動の第二法則を定式化する別の方法です。計算を容易にするために、慣性力を質量と加速度の積の負の値として定義しています。

（ダランベール力は、ニュートンの第3法則「作用は反作用である」の主題である、2つの物体間の物理的相互作用から生じる接触力と混同しないでください。 ^{[13] [14]}上記の乗用車の例では、接触力は乗客の体が車内の座席の背もたれに触れたときに発生します。この力は、車が加速している限り存在します。）

一般的に発生する方法で加速されるフレームに対して、4 つの架空の力が定義されています。

• 原点からの直線上の加速度によって引き起こされるもの（直線加速度）^[15]
• 回転に関係する2つ：遠心力とコリオリの力
• そして、もし回転速度が変動した場合には、オイラー力と呼ばれる4番目の力が働きます。

ニュートン力学における架空の力の役割はトンネラによって次のように説明されている: ^[16]

ニュートンにとって、加速の出現は常に絶対運動の存在を示しています。つまり、実際の力が関係する場合の物質の絶対運動、慣性力やコリオリの力などのいわゆる架空の力が関係する場合の参照系の絶対運動です。

— マリー・アントワネット・トンネラ著『電磁気理論と相対性理論の原理』p.113

架空の力は、古典力学と特殊相対論におけるすべての非慣性系で発生する。慣性系は非慣性系よりも優位である。なぜなら、原因がシステムの外部にある物理現象は慣性系にはないのに対し、非慣性系にはあるからである。架空の力、つまり原因がシステムの外部にある物理現象は、一般相対論ではもはや必要ではない。なぜなら、これらの物理現象は時空の測地線で説明されるからである。「すべての可能な時空のヌル測地線または光子の経路の場は、時空全体にわたって絶対的な局所非回転基準を統一する。」^[17]

地球の表面は回転する基準フレームです。地球に拘束された基準フレームで古典力学の問題を正確に解くには、3 つの架空の力、すなわちコリオリの力、遠心力(後述)、オイラー力を導入する必要があります。オイラー力は、地球の回転表面の角速度の変化が通常は重要ではないため、通常は無視されます。その他の架空の力はどちらも日常生活のほとんどの典型的な力に比べると弱いですが、注意深い条件下では検出できます。

たとえば、レオン・フーコーはフーコーの振り子を使って、コリオリの力が地球の自転から生じることを示しました。もし地球が 20 倍速く自転していたら (1 日の長さが約 72 分になったとしたら)、回転するメリーゴーランドのように、人々はそのような架空の力が自分たちを引っ張っているという印象を簡単に受けてしまうでしょう。実際、温帯や熱帯の緯度に住む人々は、遠心力によって軌道に飛ばされないように、つかまっていなければなりません。

船が赤道に沿って東に向かって移動しているとき、物体は帰路よりもわずかに明るく見える。この現象は観測されており、エトヴェシュ効果と呼ばれている。

一定速度で動いている閉じた箱の中にいる観測者は、自分自身の運動を感知することはできない。しかし、加速している基準系の中にいる観測者は、発生する架空の力から、自分が非慣性基準系にいることを感知することができる。例えば、直線加速の場合、ウラジミール・アーノルドは次の定理を提示している。^[18]

慣性系kに対して平行移動によって移動する座標系Kでは、機械系の運動は座標系が慣性であるかのように発生しますが、すべての質点mには追加の「慣性力」が作用します: F  = − m a、ここでa は系Kの加速度です。

その他の加速度も、以下に数学的に説明するように、架空の力を発生させます。慣性系における運動の物理的説明は、架空の力を必要としない最も単純なものです。架空の力はゼロであり、慣性系を他のものと区別する手段を提供します。^[19]

非慣性の回転基準フレームの検出の一例としては、フーコーの振り子の歳差運動が挙げられます。地球の非慣性フレームでは、観測結果を説明するために架空のコリオリの力が必要です。地球外の慣性フレームでは、そのような架空の力は必要ありません。

架空の力の影響は、車がカーブを曲がるときにも発生します。車に取り付けられた非慣性参照系から観察すると、遠心力と呼ばれる架空の力が現れます。車が左折すると、左後部座席にあったスーツケースが最初に右後部座席に滑り込み、右側の閉じたドアに接触するまで滑り続けます。この動きは、スーツケースの慣性がこの動きに関係しているため、架空の遠心力の位相を示しています。この動きには力が関与していると思われるかもしれませんが、実際には、この動きはスーツケースの慣性によって発生しており、スーツケースは、すでに加速している参照系内では (依然として)「自由物体」です。スーツケースが車の閉じたドアに接触した後、接触力の発生状況が現在のものになります。車の向心力はスーツケースにも伝わり、ニュートンの第3法則が作用する。この法則では、向心力が作用部分、いわゆる反作用遠心力が反作用部分となる。反作用遠心力もスーツケースの慣性によるものである。しかし、慣性は、スーツケースの運動状態の変化に対する抵抗として現れる。 ^[20]

さらに数マイル進んで、車が一定の速度で何度もラウンドアバウトを通過しているとすると、乗員は（反作用の）遠心力によって、カーブの中心から離れて車の外側に押し出されているように感じるでしょう。

この状況は、慣性系からも非慣性系からも見ることができます。

• 道路に対して静止している慣性座標系から見ると、車は円の中心に向かって加速しています。車が加速しているのは、車が一定の速度で走行しているにもかかわらず、速度の方向が変わっているためです。この内側への加速は求心加速と呼ばれ、円運動を維持するためには求心力が必要です。この力は、この場合、車輪と道路の摩擦によって地面から車輪に作用します。 ^[21]車は、不均衡な力によって加速しており、円を描いて移動します。（バンクターンも参照。）
• 車とともに動く回転フレームの視点から見ると、車を道路の外側に押し出す（そして乗員を車の外側に押し出す）架空の遠心力が存在するように見えます。遠心力は車輪と道路の間の摩擦をバランスさせ、車をこの非慣性フレーム内で静止させます。

円運動における架空の力の典型的な例としては、紐で結ばれ、質量の中心の周りを回転する球の回転実験が挙げられます。この場合、回転する非慣性参照フレームの識別は、架空の力が消えることに基づいて行うことができます。慣性フレームでは、球を結合する紐の張力を説明するために架空の力は必要ありません。回転フレームでは、観測される張力を予測するために、コリオリの力と遠心力を導入する必要があります。

地球の表面で認識される回転基準フレームでは、遠心力により、緯度に応じて重力の見かけの力が約 1000 分の 1 減少します。この減少は極ではゼロで、赤道で最大になります。

回転系で観測される架空のコリオリの力は、通常、長距離砲の発射運動や地球の大気の循環（ロスビー数を参照）のような非常に大規模な運動でのみ観測される。空気抵抗を無視すると、赤道上の高さ50メートルの塔から落下した物体は、コリオリの力により、落下した場所の下の地点から東に7.7ミリメートル落下する。^[22]

架空の力は、物体を位置エネルギーから運動エネルギーに変える軌道上で動かす限り、仕事をしているとみなすことができます。たとえば、回転する椅子に座り、両手に重りを持っている人を考えてみましょう。手を体の内側に引くと、回転する基準フレームの観点からは、遠心力に逆らって仕事をしたことになります。重りを放すと、回転する基準フレームに対して重りは自然に外側に飛んでいきます。これは、遠心力が物体に作用し、位置エネルギーを運動エネルギーに変換するためです。慣性の観点からは、物体は突然直線移動できるようになるため、当然ながら物体は彼らから離れて飛んでいきます。これは、物体の全位置エネルギーと運動エネルギーなどの仕事が、慣性フレームと非慣性フレームで異なる可能性があることを示しています。

「架空の力」という概念は、アインシュタインの一般相対性理論にも登場する。^{[23] [24]}すべての架空の力は、それが作用する物体の質量に比例し、重力についても同様である。^{[25] [26]}このことから、アルバート・アインシュタインは、重力を架空の力としてモデル化できるのではないかと考えた。彼は、閉じた箱の中で自由落下する観測者は重力を検出できないことに着目した。したがって、自由落下する参照フレームは慣性参照フレームと同等である（等価原理）。この洞察を発展させて、アインシュタインは重力を架空の力とする理論を定式化し、重力による見かけの加速を時空の曲率に帰した。この考えは、アインシュタインの一般相対性理論の基礎となっている。エトヴェシュの実験を参照。

多くの問題では、例えば衛星^{[28] [29]}や粒子加速器 [ ^30]に関わる問題など、非慣性座標系の使用が必要です。図 2 は、特定の慣性座標系A における質量 mと位置 ベクトル x _A ( t ) を持つ粒子を示しています。慣性座標系に対する原点がX _AB ( t )で与えられる非慣性座標系 B を考えます。座標系 B における粒子の位置をx _B ( t )とします。座標系 B の座標系で表された粒子にかかる力はいくらでしょうか。^{[31] [32]}

この質問に答えるために、Bの座標軸を、3つの座標軸に対してjが{1, 2, 3}のいずれかである 単位ベクトルu _jで表すものとします。すると、

${\displaystyle \mathbf {x} _{\mathrm {B} }=\sum _{j=1}^{3}x_{j}\mathbf {u} _{j}\,.}$

この式の解釈は、x _{B は、時刻}tにおけるフレーム B の座標で表された粒子のベクトル変位であるということです。フレーム A から見ると、粒子は次の位置にあります。

${\displaystyle \mathbf {x} _{\mathrm {A} }=\mathbf {X} _{\mathrm {AB} }+\sum _{j=1}^{3}x_{j}\mathbf {u} _{j}\,.}$

余談ですが、単位ベクトル {  u _j  } は大きさを変えることができないため、これらのベクトルの導関数は座標系 B の回転のみを表します。一方、ベクトルX _{AB は}フレーム B の原点をフレーム A に対して単純に配置するため、フレーム B の回転を含めることはできません。

時間微分をとると、粒子の速度は次のようになります。

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {x} _{\mathrm {A} }}{dt}}={\frac {d\mathbf {X} _{\mathrm {AB} }}{dt}}+\sum _{j=1}^{3}{\frac {dx_{j}}{dt}}\mathbf {u} _{j}+\sum _{j=1}^{3}x_{j}{\frac {d\mathbf {u} _{j}}{dt}}\,.}$

2番目の項の合計は粒子の速度、つまりフレームBで測定されたv _Bです。つまり、

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {x} _{\mathrm {A} }}{dt}}=\mathbf {v} _{\mathrm {AB} }+\mathbf {v} _{\mathrm {B} }+\sum _{j=1}^{3}x_{j}{\frac {d\mathbf {u} _{j}}{dt}}.}$

この式の解釈は、フレーム A の観測者から見た粒子の速度は、フレーム B の観測者が速度と呼ぶもの、つまりv _Bと、フレーム B の座標軸の変化率に関連する 2 つの追加項から構成されるというものです。これらのうちの 1 つは、単に移動する原点の速度v _ABです。もう 1 つは、非慣性フレーム内の異なる場所ではフレームの回転により見かけの速度が異なるという事実による速度への寄与です。回転するフレームから見た点には、原点から遠いほど大きくなる速度の回転成分があります。

加速度を求めるには、別の時間微分によって次の式が得られます。

${\displaystyle {\frac {d^{2}\mathbf {x} _{\mathrm {A} }}{dt^{2}}}=\mathbf {a} _{\mathrm {AB} }+{\frac {d\mathbf {v} _{\mathrm {B} }}{dt}}+\sum _{j=1}^{3}{\frac {dx_{j}}{dt}}{\frac {d\mathbf {u} _{j}}{dt}}+\sum _{j=1}^{3}x_{j}{\frac {d^{2}\mathbf {u} _{j}}{dt^{2}}}.}$

x _Bの時間微分にすでに使用したのと同じ式を使用すると、右側の速度微分は次のようになります。

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {v} _{\mathrm {B} }}{dt}}=\sum _{j=1}^{3}{\frac {dv_{j}}{dt}}\mathbf {u} _{j}+\sum _{j=1}^{3}v_{j}{\frac {d\mathbf {u} _{j}}{dt}}=\mathbf {a} _{\mathrm {B} }+\sum _{j=1}^{3}v_{j}{\frac {d\mathbf {u} _{j}}{dt}}.}$

その結果、

この式の解釈は次のようになります。フレーム A の粒子の加速度は、フレーム B の観測者が粒子加速度a _Bと呼ぶものから構成されますが、これに加えて、フレーム B の座標軸の動きに関連する 3 つの加速度項があります。1 つの項はフレーム B の原点の加速度、つまりa _ABに関連し、2 つの項はフレーム B の回転に関連しています。その結果、B の観測者は粒子の動きが「余分な」加速度を持っていると見なし、これを粒子に作用する「力」によるものと見なしますが、A の観測者は、B の観測者がフレーム B の非慣性の性質を認識していないために生じる「架空の」力であると言います。

コリオリの力の係数 2 は、2 つの等しい寄与から生じます。(i) 回転によって速度の方向が変化するように見えるため、慣性的に一定の速度が時間とともに見かけ上変化すること (a d v B _/ d t項)、および (ii) 物体の位置が変わり、回転軸に近づいたり遠ざかったりするときの物体の速度の見かけ上変化 ( x _jの変化によるの変化)。 ${\textstyle \sum x_{j}\,d\mathbf {u} _{j}/dt}$

力の観点から言えば、加速度は粒子の質量で乗算されます。

${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {A} }=\mathbf {F} _{\mathrm {B} }+m\mathbf {a} _{\mathrm {AB} }+2m\sum _{j=1}^{3}v_{j}{\frac {d\mathbf {u} _{j}}{dt}}+m\sum _{j=1}^{3}x_{j}{\frac {d^{2}\mathbf {u} _{j}}{dt^{2}}}\ .}$

フレームBで観測される力F _B = m a _Bは、粒子に作用する実際の力F _Aと次のよう に関係している。

${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {B} }=\mathbf {F} _{\mathrm {A} }+\mathbf {F} _{\mathrm {fictitious} },}$

どこ：

${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {fictitious} }=-m\mathbf {a} _{\mathrm {AB} }-2m\sum _{j=1}^{3}v_{j}{\frac {d\mathbf {u} _{j}}{dt}}-m\sum _{j=1}^{3}x_{j}{\frac {d^{2}\mathbf {u} _{j}}{dt^{2}}}\,.}$

したがって、ニュートンの第二法則が（そのフレーム内の量に関して）成立すると仮定し、Fを追加の力として_{架空のものとして扱うことで、フレームBの問題を解決することができる。} ^{[18] [33] [34]}

以下に、この結果を架空の力に適用したいくつかの例を示します。遠心力に関する記事にさらに多くの例があります。

非慣性参照フレームが役立つ一般的な状況は、参照フレームが回転している場合です。このような回転運動は非慣性であるため、回転運動には加速度が存在するため、回転参照フレームを使用することで常に架空の力を呼び出すことができます。このような複雑さにもかかわらず、架空の力を使用すると、関連する計算が簡素化されることがよくあります。

架空の力の式を導くには、座標軸の時間変化を考慮したベクトルの見かけの時間変化率の導関数が必要である。フレーム「B」の回転が、回転軸に沿って右手の法則で方向が与えられ、大きさが次のように与えられる ベクトルΩで表される場合、

${\displaystyle |{\boldsymbol {\Omega }}|={\frac {d\theta }{dt}}=\omega (t),}$

フレームBを記述する3つの単位ベクトルのいずれかの時間微分は^{[33] [35]}

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {u} _{j}(t)}{dt}}={\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {u} _{j}(t),}$

そして

${\displaystyle {\frac {d^{2}\mathbf {u} _{j}(t)}{dt^{2}}}={\frac {d{\boldsymbol {\Omega }}}{dt}}\times \mathbf {u} _{j}+{\boldsymbol {\Omega }}\times {\frac {d\mathbf {u} _{j}(t)}{dt}}={\frac {d{\boldsymbol {\Omega }}}{dt}}\times \mathbf {u} _{j}+{\boldsymbol {\Omega }}\times \left[{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {u} _{j}(t)\right],}$

はベクトル積の特性を用いて検証されます。これらの微分式は、慣性系における加速度と、時間とともに変化する角速度 ω( t ) で回転する座標系における加速度との関係に適用されます。前のセクションから、下付き文字 A は慣性系、B は回転系を指し、並進加速度を除去するためにa _AB = 0を設定し、回転特性のみに焦点を当てます (式 1 を参照)。

${\displaystyle {\frac {d^{2}\mathbf {x} _{\mathrm {A} }}{dt^{2}}}=\mathbf {a} _{\mathrm {B} }+2\sum _{j=1}^{3}v_{j}\ {\frac {d\mathbf {u} _{j}}{dt}}+\sum _{j=1}^{3}x_{j}{\frac {d^{2}\mathbf {u} _{j}}{dt^{2}}},}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} _{\mathrm {A} }&=\mathbf {a} _{\mathrm {B} }+\ 2\sum _{j=1}^{3}v_{j}{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {u} _{j}(t)+\sum _{j=1}^{3}x_{j}{\frac {d{\boldsymbol {\Omega }}}{dt}}\times \mathbf {u} _{j}\ +\sum _{j=1}^{3}x_{j}{\boldsymbol {\Omega }}\times \left[{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {u} _{j}(t)\right]\\&=\mathbf {a} _{\mathrm {B} }+2{\boldsymbol {\Omega }}\times \sum _{j=1}^{3}v_{j}\mathbf {u} _{j}(t)+{\frac {d{\boldsymbol {\Omega }}}{dt}}\times \sum _{j=1}^{3}x_{j}\mathbf {u} _{j}+{\boldsymbol {\Omega }}\times \left[{\boldsymbol {\Omega }}\times \sum _{j=1}^{3}x_{j}\mathbf {u} _{j}(t)\right].\end{aligned}}}$

項を集めると、いわゆる加速変換式が得られる。^[36]

${\displaystyle \mathbf {a} _{\mathrm {A} }=\mathbf {a} _{\mathrm {B} }+2{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {v} _{\mathrm {B} }+{\frac {d{\boldsymbol {\Omega }}}{dt}}\times \mathbf {x} _{\mathrm {B} }+{\boldsymbol {\Omega }}\times \left({\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {x} _{\mathrm {B} }\right)\,.}$

したがって、慣性系 A の観測者が物体に対する実際の外力と呼ぶものによる物理的な加速度 a A_{は、回転系 B の観測者から見た加速度}a _Bだけではなく、B の回転に関連するいくつかの追加の幾何学的加速度項を持ちます。回転系で見られるように、粒子の加速度a _Bは、上記の式を次のように変形することで与えられます。

${\displaystyle \mathbf {a} _{\mathrm {B} }=\mathbf {a} _{\mathrm {A} }-2{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {v} _{\mathrm {B} }-{\boldsymbol {\Omega }}\times ({\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {x} _{\mathrm {B} })-{\frac {d{\boldsymbol {\Omega }}}{dt}}\times \mathbf {x} _{\mathrm {B} }.}$

回転フレームの観測者によると、物体にかかる正味の力はF _B = m a _Bです。ニュートンの法則を使用して観測が物体にかかる正しい力になるには、追加の力F _fictが存在することを考慮する必要があります。そのため、最終結果はF _B = F _A + F _fictになります。したがって、ニュートンの法則から物体の正しい動作を得るために B の観測者が使用する架空の力は次のようになります。

${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {fict} }=-2m{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {v} _{\mathrm {B} }-m{\boldsymbol {\Omega }}\times ({\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {x} _{\mathrm {B} })-m{\frac {d{\boldsymbol {\Omega }}}{dt}}\times \mathbf {x} _{\mathrm {B} }.}$

ここで、第１項はコリオリの力、^[37]第２項は遠心力、^[38]第３項はオイラー力である。^{[39] [40]}

関連する例として、図 3 に示すように、移動座標系B が慣性フレームAの固定原点を中心に半径Rの円内を一定の角速度 ω で回転し、座標軸の向きを固定したままであるとします。観測対象の物体の加速度は次のようになります (式 1 を参照)。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{2}\mathbf {x} _{A}}{dt^{2}}}&=\mathbf {a} _{AB}+\mathbf {a} _{B}+2\ \sum _{j=1}^{3}v_{j}\ {\frac {d\mathbf {u} _{j}}{dt}}+\sum _{j=1}^{3}x_{j}\ {\frac {d^{2}\mathbf {u} _{j}}{dt^{2}}}\\&=\mathbf {a} _{AB}\ +\mathbf {a} _{B}\ ,\end{aligned}}}$

ここで、単位ベクトルは時間に依存しないので、合計はゼロになります。システムBの原点は、フレームAに従って次の場所にあります。

${\displaystyle \mathbf {X} _{AB}=R\left(\cos(\omega t),\ \sin(\omega t)\right)\ ,}$

フレームBの原点の速度は次のようになります。

${\displaystyle \mathbf {v} _{AB}={\frac {d}{dt}}\mathbf {X} _{AB}=\mathbf {\Omega \times X} _{AB}\ ,}$

Bの原点の加速は次の式で表されます。

${\displaystyle \mathbf {a} _{AB}={\frac {d^{2}}{dt^{2}}}\mathbf {X} _{AB}=\mathbf {\Omega \ \times } \left(\mathbf {\Omega \times X} _{AB}\right)=-\omega ^{2}\mathbf {X} _{AB}\,.}$

最初の項は、 通常の遠心力の表現と同じ形式であるため、 この項を「遠心力」と呼ぶのは、標準用語の自然な拡張です (ただし、この場合の標準用語はありません)。どのような用語が採用されるにせよ、フレームBの観測者は、今度は座標フレーム全体の軌道運動による加速により、座標系の原点の回転中心から放射状に外向きに広がる架空の力を導入する必要があります。 $${\displaystyle \mathbf {\Omega \ \times } \left(\mathbf {\Omega \times X} _{AB}\right)\,,}$$$${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}\times \left({\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {x} _{B}\right)\,,}$$

${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {fict} }=m\omega ^{2}\mathbf {X} _{AB}\,,}$

そして規模：

${\displaystyle |\mathbf {F} _{\mathrm {fict} }|=m\omega ^{2}R\,.}$

この「遠心力」は、回転フレームの場合とは異なります。回転フレームでは、遠心力はフレームBの原点からの物体の距離に関係しますが、軌道フレームの場合、遠心力はフレームBの原点からの物体の距離とは無関係ですが、フレームBの原点からその回転中心までの距離に依存します。その結果、フレームBで観測されるすべての物体に対して同じ架空の遠心力が発生します。

組み合わせ例として、図 4 は、図 3 のように慣性フレームAを周回する座標系Bを示していますが、フレームBの座標軸は回転し、単位ベクトルu _{1 は}常に回転の中心を指します。この例は、遠心分離機の試験管に当てはまります。試験管では、ベクトルu _{1 は}試験管の軸に沿って上部の開口部を指します。また、月が常に地球に対して同じ面を向けている地球-月系にも似ています。^[41]この例では、単位ベクトルu _{3 は}固定された方向を保持しますが、ベクトルu ₁、u _{2 は}座標の原点と同じ速度で回転します。つまり、

${\displaystyle \mathbf {u} _{1}=(-\cos \omega t,\ -\sin \omega t)\ ;\ }$ ${\displaystyle \mathbf {u} _{2}=(\sin \omega t,\ -\cos \omega t)\,.}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\mathbf {u} _{1}=\mathbf {\Omega \times u_{1}} =\omega \mathbf {u} _{2}\ ;}$ ${\displaystyle \ {\frac {d}{dt}}\mathbf {u} _{2}=\mathbf {\Omega \times u_{2}} =-\omega \mathbf {u} _{1}\ \ .}$

したがって、移動する物体の加速度は次のように表されます（式1を参照）。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{2}\mathbf {x} _{A}}{dt^{2}}}&=\mathbf {a} _{AB}+\mathbf {a} _{B}+2\ \sum _{j=1}^{3}v_{j}\ {\frac {d\mathbf {u} _{j}}{dt}}+\ \sum _{j=1}^{3}x_{j}\ {\frac {d^{2}\mathbf {u} _{j}}{dt^{2}}}\\&=\mathbf {\Omega \ \times } \left(\mathbf {\Omega \times X} _{AB}\right)+\mathbf {a} _{B}+2\ \sum _{j=1}^{3}v_{j}\ \mathbf {\Omega \times u_{j}} \ +\ \sum _{j=1}^{3}x_{j}\ {\boldsymbol {\Omega }}\times \left({\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {u} _{j}\right)\\&=\mathbf {\Omega \ \times } \left(\mathbf {\Omega \times X} _{AB}\right)+\mathbf {a} _{B}+2\ {\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {v} _{B}\ \ +\ {\boldsymbol {\Omega }}\times \left({\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {x} _{B}\right)\\&=\mathbf {\Omega \ \times } \left(\mathbf {\Omega \times } (\mathbf {X} _{AB}+\mathbf {x} _{B})\right)+\mathbf {a} _{B}+2\ {\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {v} _{B}\ \,,\end{aligned}}}$

ここで、角加速度項は、回転速度が一定である場合はゼロです。最初の項は、 通常の遠心力の式と同じ形式であるため、 この項を「遠心力」と呼ぶのは、標準用語の自然な拡張です（この場合の標準用語はありませんが）。この用語を遠心分離機内のチューブの例に当てはめると、チューブが回転中心から十分離れている場合、| X _AB | = R ≫ | x _B |、試験管内のすべての物質は同じ加速度（同じ遠心力）を経験します。したがって、この場合、架空の力は主に、回転中心から遠ざかるチューブの軸に沿った均一な遠心力であり、その値は | F _fict | = ω ² Rです（Rはチューブ内の物質から遠心分離機の中心までの距離）。遠心分離機の標準仕様では、遠心分離機の「有効」半径を使用して遠心力の能力を推定します。したがって、遠心分離機の遠心力の最初の推定は、回転中心からのチューブの距離に基づいて行われ、必要に応じて補正が適用されます。^{[42] [43]}$${\displaystyle \mathbf {\Omega \ \times } \left(\mathbf {\Omega \times } (\mathbf {X} _{AB}+\mathbf {x} _{B})\right)\,,}$$$${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}\times \left({\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {x} _{B}\right)\,,}$$

また、試験管は管の長さ方向のみに運動を限定するため、v _{B は}u ₁と反対方向、コリオリの力はu ₂と反対方向、つまり管の壁に対して作用します。管を十分長い時間回転させると、物質が平衡分布に達すると速度v _{B はゼロに低下します。詳細については、}沈降とラム方程式に関する記事を参照してください。

関連する問題として、地球・月・太陽系の遠心力の問題があります。この系では、地球の軸を中心とした日周回転、地球・月系の質量中心を中心とした太陰月周回転、そして地球・月系の太陽を中心とした年周回転という3つの回転が起こります。これら3つの動きが潮汐に影響を与えます。 [ ^44]

図5は、慣性観測者の観測と回転するメリーゴーランド上の観測者の観測を比較した別の例を示している。^{[45]メリーゴーランドは、}右手の法則に従って上向きに、大きさωのベクトルΩで表される一定の角速度で回転する。メリーゴーランドに乗っている人は一定の速度で放射状に歩き、歩行者には図5の45°傾斜の直線の経路のように見える。しかし、静止した観測者には、歩行者は螺旋状の経路を進んでいるように見える。図5の両方の経路で特定された点は、等間隔で配置された同じ時間に対応している。メリーゴーランド上の観測者と慣性系内の観測者の2人が、ニュートンの法則を使用してどのように見たものを定式化するのだろうか。

静止した観察者は、歩行者がたどる経路を螺旋として描写します。図5に示す座標系を採用すると、軌道はr ( t )で記述されます。

${\displaystyle \mathbf {r} (t)=R(t)\mathbf {u} _{R}={\begin{bmatrix}x(t)\\y(t)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}R(t)\cos(\omega t+\pi /4)\\R(t)\sin(\omega t+\pi /4)\end{bmatrix}},}$

ここで、π/4 を加えると、パスの角度は最初は 45° に設定されます (方向は任意に選択できます)。u R_は、時刻tにおけるカルーセルの中心から歩行者を指す放射方向の単位ベクトルです。放射距離R ( t ) は、次のように時間とともに着実に増加します。

${\displaystyle R(t)=st,}$

ここで、 sは歩行速度です。単純な運動学によれば、速度は軌道の一次導関数になります。

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} (t)&={\frac {dR}{dt}}{\begin{bmatrix}\cos(\omega t+\pi /4)\\\sin(\omega t+\pi /4)\end{bmatrix}}+\omega R(t){\begin{bmatrix}-\sin(\omega t+\pi /4)\\\cos(\omega t+\pi /4)\end{bmatrix}}\\&={\frac {dR}{dt}}\mathbf {u} _{R}+\omega R(t)\mathbf {u} _{\theta },\end{aligned}}}$

ここで、 u _{θ は}時刻tにおけるu _Rに垂直な単位ベクトルであり（放射状ベクトルとのベクトルのドット積がゼロであることに注目することで確認できます）、移動方向を指しています。加速度は速度の一次導関数です。

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} (t)&={\frac {d^{2}R}{dt^{2}}}{\begin{bmatrix}\cos(\omega t+\pi /4)\\\sin(\omega t+\pi /4)\end{bmatrix}}+2{\frac {dR}{dt}}\omega {\begin{bmatrix}-\sin(\omega t+\pi /4)\\\cos(\omega t+\pi /4)\end{bmatrix}}-\omega ^{2}R(t){\begin{bmatrix}\cos(\omega t+\pi /4)\\\sin(\omega t+\pi /4)\end{bmatrix}}\\&=2s\omega {\begin{bmatrix}-\sin(\omega t+\pi /4)\\\cos(\omega t+\pi /4)\end{bmatrix}}-\omega ^{2}R(t){\begin{bmatrix}\cos(\omega t+\pi /4)\\\sin(\omega t+\pi /4)\end{bmatrix}}\\&=2s\ \omega \ \mathbf {u} _{\theta }-\omega ^{2}R(t)\ \mathbf {u} _{R}\,.\end{aligned}}}$

加速度の最後の項は、大きさ ω ² Rの半径方向内側にあり、したがって円運動の瞬間的な求心加速度です。^[46]最初の項は半径方向に対して垂直で、移動方向を指しています。その大きさは 2 sωであり、カルーセルの端に近づくにつれて歩行者が加速し、一定時間内に移動する円弧が増加することを表しており、これは、図5のらせん上の等しい時間ステップで、カルーセルの外縁に近づくにつれて点間の間隔が広がることからわかります。

ニュートンの法則を適用し、加速度に歩行者の質量を掛け合わせると、慣性観測者は、歩行者が 2 つの力、つまり内向きの放射状方向の求心力と、歩行者の速度に比例する放射方向に垂直な別の力の影響を受けると結論付けます。

回転する観測者には、図 5 に示すように、歩行者が回転台の中心から外周まで直線で移動するのが見えています。さらに、回転する観測者には、歩行者が一定速度で同じ方向に移動しているのが見えることから、ニュートンの慣性の法則を適用すると、歩行者には力がかかっていないことになります。これらの結論は、慣性観測者とは一致しません。合意を得るために、回転する観測者は、回転する世界に存在するように見える架空の力を導入する必要がありますが、その力には明らかな理由がなく、見かけ上の重力質量、電荷など、これらの架空の力を説明できるものはありません。

慣性観測者と一致するためには、歩行者に適用される力は、上で見つかったものと正確に一致する必要があります。それらは、すでに導出された一般的な公式と関連付けることができます。

${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {fict} }=-2m{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {v} _{\mathrm {B} }-m{\boldsymbol {\Omega }}\times ({\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {x} _{\mathrm {B} })-m{\frac {d{\boldsymbol {\Omega }}}{dt}}\times \mathbf {x} _{\mathrm {B} }.}$

この例では、回転フレームで見られる速度は次のようになります。

${\displaystyle \mathbf {v} _{\mathrm {B} }=s\mathbf {u} _{R},}$

ここで、u _{R は}放射方向の単位ベクトルです。カルーセル上の歩行者の位置は次のようになります。

${\displaystyle \mathbf {x} _{\mathrm {B} }=R(t)\mathbf {u} _{R},}$

そしてΩの時間微分は一様な角度回転に対してはゼロである。

${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {u} _{R}=\omega \mathbf {u} _{\theta }}$

そして

${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {u} _{\theta }=-\omega \mathbf {u} _{R}\,,}$

我々は次のことを発見した：

${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {fict} }=-2m\omega s\mathbf {u} _{\theta }+m\omega ^{2}R(t)\mathbf {u} _{R}.}$

回転する世界で直線運動を実現するためには、架空の力と正反対の符号の力を適用して、歩行者に対する正味の力をゼロに減らす必要があります。そのため、ニュートンの慣性の法則は直線運動を予測し、回転する観測者が見ているものと一致することになります。対抗しなければならない架空の力は、コリオリの力（第 1 項）と遠心力（第 2 項）です。（これらの項は近似値です。^[47]）これら 2 つの架空の力に対抗する力を適用することで、回転する観測者は、慣性観測者が必要だと予測したのとまったく同じ力を歩行者に適用することになります。

歩行速度が一定である点だけが異なるため、歩行者と回転する観測者は同じ加速度を観測する。歩行者の視点から見ると、架空の力が現実のものとして経験され、この力と戦うことは、一定の速度を維持しながら直線の放射状の経路を維持することが必要である。これは、メリーゴーランドの端に投げ出されながら横風と戦っているようなものである。 ^[48]

この運動学的な議論では、必要な力が生成されるメカニズムについては深く掘り下げていないことに注意してください。それは運動学の主題です。メリーゴーランドの場合、運動学的な議論には、歩行者の靴と、その靴がメリーゴーランドの床に対して生成する必要がある摩擦の研究、または歩行者がスケートボードに切り替えた場合のスケートボードのダイナミクスが含まれる可能性があります。メリーゴーランドを移動する手段が何であれ、上で計算された力を実現する必要があります。非常に大まかな類推は、家の暖房です。快適に過ごすには一定の温度が必要ですが、ガスを燃やして暖房するか、石炭を燃やして暖房するかは別の問題です。運動学はサーモスタットを設定し、運動学は炉に火を入れます。

• Lev D. Landauおよび EM Lifshitz (1976)。力学。理論物理学講座。第 1 巻 (第 3 版)。Butterworth-Heinenan。pp. 128–130。ISBN 0-7506-2896-0。
• キース・サイモン (1971)。『力学』（第3版）。アディソン・ウェスレー。ISBN 0-201-07392-7。
• ジェリー・B・マリオン（1970年）。粒子とシステムの古典的ダイナミクス。アカデミック・プレス。ISBN 0-12-472252-0。
• マルセル・J・シディ（1997年）。宇宙船のダイナミクスと制御：実践的なエンジニアリングアプローチ。ケンブリッジ大学出版局。第4.8章。ISBN 0-521-78780-7。

• ホノルルコミュニティカレッジのリチャード・C・ブリル氏による質疑応答
• NASA のデイビッド・スターン: 教師のためのレッスンプラン #23 慣性力について
• コリオリの力
• 平面上の動き。架空の力を示す Brian Fiedler による Java physlet。この physlet は、回転する視点と回転しない視点の両方から見た遠近法を示しています。
• 放物面上の動き。架空の力を示す Brian Fiedler による Java physlet。physlet は、回転する視点から見た場合と、回転しない視点から見た場合の両方の視点を示します。