ヨルダン地図

理論物理学において、ジョルダン写像は、しばしばジョルダン・シュウィンガー写像とも呼ばれ、物理学で生じるリー代数の表現の計算を迅速化する、行列M _ijから量子振動子の双線形表現への写像である。この写像は1935 年にパスクアル・ジョルダン^{[1]によって導入され、フォック空間における}su(2)の (対称)表現を容易に整理できることから、1952 年にジュリアン・シュウィンガー[ ^2]によって量子角運動量の理論を効率的に再構築するために利用された。

このマップは、量子場理論や多体問題で日常的に使用されるいくつかの生成演算子と消滅演算 子を利用しており、各ペアは量子調和振動子を表しています。多重ボソン系における生成演算子と消滅演算子の交換関係は、 ${\displaystyle a_{i}^{\dagger}}$${\displaystyle a_{i}^{\,}}$

${\displaystyle [a_{i}^{\,},a_{j}^{\dagger }]\equiv a_{i}^{\,}a_{j}^{\dagger }-a_{j}^{\dagger }a_{i}^{\,}=\delta _{ij},}$

${\displaystyle [a_{i}^{\dagger },a_{j}^{\dagger }]=[a_{i}^{\,},a_{j}^{\,}]=0,}$

ここで は交換子であり、 はクロネッカーのデルタです。 ${\displaystyle [\\,\\]}$${\displaystyle \delta_{ij}}$

これらの演算子は数演算子の固有値を変更します。

${\displaystyle N=\sum _{i}n_{i}=\sum _{i}a_{i}^{\dagger }a_{i}^{\,}}$、

多次元量子調和振動子の場合と同様に、1つずつ増加します。

行列M _ijの集合からフォック空間双線型作用素Mへのジョルダン写像、

${\displaystyle {\mathbf {M} }\qquad \longmapsto \qquad M\equiv \sum _{i,j}a_{i}^{\dagger }{\mathbf {M} }_{ij}a_{j}~,}$

は明らかにリー代数同型である、すなわち、演算子M は行列Mと同じ交換関係を満たす。

例えば、この写像における SU(2)のパウリ行列の像は、

${\displaystyle {\vec {J}}\equiv {\mathbf {a} }^{\dagger }\cdot {\frac {\vec {\sigma }}{2}}\cdot {\mathbf {a} }~,}$

2ベクトルa ^† sおよびa sはSU(2)の同じ交換関係も満たし、さらにパウリ行列の完全性関係に依拠することで、

${\displaystyle J^{2}\equiv {\vec {J}}\cdot {\vec {J}}={\frac {N}{2}}\left({\frac {N}{2}}+1\right).}$

これは、これらの演算子が、そのような演算子の任意の高次の累乗で構成されたフォック状態に対して作用することを前提とした、シュウィンガーの量子角運動量理論の扱いの出発点である。例えば、（正規化されていない）フォック固有状態に作用すると、

${\displaystyle J^{2}~a_{1}^{\dagger k}a_{2}^{\dagger n}|0\rangle ={\frac {k+n}{2}}\left({\frac {k+n}{2}}+1\right)~a_{1}^{\dagger k}a_{2}^{\dagger n}|0\rangle ~,}$

その間

${\displaystyle J_{z}~a_{1}^{\dagger k}a_{2}^{\dagger n}|0\rangle ={\frac {1}{2}}\left(k-n\right)a_{1}^{\dagger k}a_{2}^{\dagger n}|0\rangle ~,}$

したがって、j = ( k+n )/2、m = ( k−n ​​)/2の場合、これは固有状態| j , m ⟩に比例する、^[3]

および、ならびに を観察します。 ${\displaystyle J_{+}=a_{1}^{\dagger }a_{2}}$${\displaystyle J_{-}=a_{2}^{\dagger }a_{1}}$${\displaystyle J_{z}=(a_{1}^{\dagger }a_{1}-a_{2}^{\dagger }a_{2})/2}$

リー代数の反対称表現は、ジョーダンが示唆したように、フェルミオン演算子とを使用することでさらに適応できる 。フェルミオンの場合、交換子は反交換子に置き換えられ、 ${\displaystyle b_{i}^{\dagger }}$${\displaystyle b_{i}^{\,}}$ ${\displaystyle \{\ \ ,\ \ \}}$

${\displaystyle \{b_{i}^{\,},b_{j}^{\dagger }\}\equiv b_{i}^{\,}b_{j}^{\dagger }+b_{j}^{\dagger }b_{i}^{\,}=\delta _{ij},}$

${\displaystyle \{b_{i}^{\dagger },b_{j}^{\dagger }\}=\{b_{i}^{\,},b_{j}^{\,}\}=0.}$

したがって、消滅演算子の生成の積で互いに素な（すなわち）演算子を交換すると、フェルミオン系では符号が反転しますが、ボソン系では反転しません。この形式論は、AAアブリコソフによって近藤効果の理論で局在スピン1/2を表すために使用されており^[4] 、固体物理学の文献では アブリコソフフェルミオンと呼ばれています。${\displaystyle i\neq j}$

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