随伴表現

数学において、リー群Gの随伴表現（または随伴作用）とは、群の要素を、ベクトル空間とみなした群のリー代数の線形変換として表現する方法である。例えば、Gが${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )}$実数n × n可逆行列のリー群の場合、随伴表現は可逆n × n行列を写像する群準同型である。${\displaystyle g}$すべての線形変換のベクトル空間の自己準同型へ$\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$定義:${\displaystyle x\mapsto gxg^{-1}}$。

任意のリー群に対して、この自然な表現は、共役によるGの自身への作用を線形化（すなわち微分）することによって得られる。随伴表現は、任意の体上の線形代数群に対して定義できる。

させて${\displaystyle G}$嘘のグループになり、

${\displaystyle \Psi :G\to \operatorname {Aut} (G)}$

マッピング${\displaystyle g\mapsto \Psi _{g}}$、 と${\displaystyle \operatorname {Aut} (G)}$自己同型群${\displaystyle G}$そして${\displaystyle \Psi _{g}:G\rightarrow G}$内部自己同型（共役）によって与えられる

${\displaystyle \Psi _{g}(h)=ghg^{-1}~.}$

これ${\displaystyle \Psi }$は群準同型である（リー群準同型である）${\displaystyle G}$接続されている^{[ 1 ]}）。

各${\displaystyle g}$で${\displaystyle G}$、 定義する${\displaystyle \operatorname {Ad} _{g}}$派生する​${\displaystyle \Psi _{g}}$起源において：

${\displaystyle \operatorname {Ad} _{g}=(d\Psi _{g})_{e}:T_{e}G\rightarrow T_{e}G}$

どこ${\displaystyle d}$微分と${\displaystyle {\mathfrak {g}}=T_{e}G}$は原点 eにおける接空間である（eは群Gの単位元である ）。${\displaystyle \Psi _{g}}$はリー群の自己同型写像​​であり、Ad _gはリー代数の自己同型写像​​である。すなわち、の可逆線形変換である。${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$リー括弧を保存するそれ自体へ。さらに、${\displaystyle g\mapsto \Psi _{g}}$は群準同型であり、${\displaystyle g\mapsto \operatorname {Ad} _{g}}$これも群準同型である。^{[ 2 ]}したがって、写像

${\displaystyle \mathrm {Ad} \colon G\to \mathrm {Aut} ({\mathfrak {g}}),\,g\mapsto \mathrm {Ad} _{g}}$

これは、 Gの随伴表現と呼ばれる群表現です。

Gが線形リー群である場合、リー代数は${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$は行列で構成され、指数マップは行列指数です${\displaystyle \operatorname {exp} (X)=e^{X}}$演算子ノルムが小さい行列Xの場合、次の導関数を計算します。 ${\displaystyle \Psi _{g}}$で${\displaystyle e}$. gはGに属し、小さなXは${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$曲線${\displaystyle t\to \exp(tX)}$派生${\displaystyle X}$t = 0 のとき、次のようになります。

${\displaystyle \operatorname {Ad} _{g}(X)=(d\Psi _{g})_{e}(X)=(\Psi _{g}\circ \exp(tX))'(0)=(g\exp(tX)g^{-1})'(0)=gXg^{-1}}$

右側には行列の積があります。${\displaystyle G\subset \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {C} )}$が閉部分群（つまり、Gが行列リー群）である場合、この式はGのすべてのgとすべてのXに対して有効です。${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$。

簡潔に言うと、随伴表現とは、Gの単位元を中心としたGの共役作用に関連付けられた等方性表現のことである。

させて${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ある体上のリー代数とする。リー代数の要素xが与えられたとき、${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$xのに対する随伴作用を定義する${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$地図として

${\displaystyle \operatorname {ad} _{x}:{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}\qquad {\text{with}}\qquad \operatorname {ad} _{x}(y)=[x,y]}$

すべてのyについて${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$これは随伴自己準同型または随伴作用と呼ばれます。${\displaystyle \operatorname {ad} _{x}}$また、次のように表記されることもよくあります。${\displaystyle \operatorname {ad} (x)}$）括弧は双線形であるため、これにより線形写像が決定されます。

${\displaystyle \operatorname {ad}$ :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}})=(\operatorname {End} ({\mathfrak {g}}),[\;,\;])}

x ↦ ad _xによって与えられる。End 内${\displaystyle ({\mathfrak {g}})}$括弧は、定義により、2つの演算子の交換子によって与えられる。

${\displaystyle [T,S]=T\circ S-S\circ T}$

どこ${\displaystyle \circ }$は線形写像の合成を表す。上記の括弧の定義を用いると、ヤコビ恒等式は

${\displaystyle [x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0}$

形をとる

${\displaystyle \left([\operatorname {ad} _{x},\operatorname {ad} _{y}]\right)(z)=\left(\operatorname {ad} _{[x,y]}\right)(z)}$

ここで、x、y、zは任意の要素である。${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$。

この最後の恒等式は、ad がリー代数の準同型写像、すなわち括弧を括弧に写す線形写像であることを示しています。したがって、ad はリー代数の表現であり、リー代数の随伴表現と呼ばれます。${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$よりモジュール理論的な言葉で言えば、この構成は次のように述べている。${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$これは、それ自体に対するモジュールです。

広告の核心は${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$（これは定義を言い換えただけです）。一方、各要素zについて${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$線形マッピング${\displaystyle \delta =\operatorname {ad} _{z}}$ライプニッツの法則に従う：

${\displaystyle \delta ([x,y])=[\delta (x),y]+[x,\delta (y)]}$

代数内のすべてのxとyに対して(ヤコビ恒等式の再表現)。つまり、ad _zは導関数であり、${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$下は Der の部分代数である${\displaystyle ({\mathfrak {g}})}$、すべての導出の空間${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$。

いつ${\displaystyle {\mathfrak {g}}=\operatorname {Lie} (G)}$はリー群Gのリー代数であり、 ad はGの単位元におけるAd の微分である。

スカラーの場合、ライプニッツの公式に似た次の公式があります。${\displaystyle \alpha ,\beta }$およびリー代数の要素${\displaystyle x,y,z}$、

${\displaystyle (\operatorname {ad} _{x}-\alpha -\beta )^{n}[y,z]=\sum _{i=0}^{n}{\binom {n}{i}}\left[(\operatorname {ad} _{x}-\alpha )^{i}y,(\operatorname {ad} _{x}-\beta )^{n-i}z\right].}$

随伴表現の明示的な行列要素は、代数の構造定数によって与えられる。すなわち、{e ⁱ } を代数の基底ベクトルの集合とし、

${\displaystyle [e^{i},e^{j}]=\sum _{k}{c^{ij}}_{k}e^{k}.}$

_{次に、ad e ⁱ}の行列要素 は次のように与えられる。

${\displaystyle {\left[\operatorname {ad} _{e^{i}}\right]_{k}}^{j}={c^{ij}}_{k}~.}$

したがって、例えば、su(2)の随伴表現はso(3)の定義表現である。

• Gがn次元のアーベル群である場合、 Gの随伴表現は自明なn次元表現である。
• Gが行列リー群(つまり、${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )}$) の場合、そのリー代数は、リー括弧の交換子を持つn × n行列の代数です(つまり、部分代数)${\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}(\mathbb {C} )}$この場合、随伴写像は Ad _g ( x ) = gxg ⁻¹で与えられます。
• GがSL(2, R ) (行列式が 1 の実数 2×2 行列)である場合、 Gのリー代数はトレース0の実数 2×2 行列から構成されます。この表現は、2 変数の二値二次形式の空間に対するGの線形代入による作用によって与えられる表現と等価です。

以下の表は、定義で言及されているさまざまなマップの特性をまとめたものです。

随伴表現によるGの像はAd( G ) で表される。G が連結である場合、随伴表現の核は G の中心である Ψ の核と一致する。したがって、連結リー群Gの随伴表現は、 G が中心を持たない場合に限り忠実である。より一般的に、G が連結でない場合、随伴写像の核はGの単位成分G _0の中心化群である。第一同型定理により、次のようになる。

${\displaystyle \mathrm {Ad} (G)\cong G/Z_{G}(G_{0}).}$

有限次元実リー代数が与えられた場合${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$リーの第3定理により、連結リー群が存在する。${\displaystyle \operatorname {Int} ({\mathfrak {g}})}$そのリー代数は、の随伴表現の像である。${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$（つまり、${\displaystyle \operatorname {Lie} (\operatorname {Int} ({\mathfrak {g}}))=\operatorname {ad} ({\mathfrak {g}})}$) これは、${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$。

さて、もし${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$は連結リー群Gのリー代数である。${\displaystyle \operatorname {Int} ({\mathfrak {g}})}$これは、 Gの随伴表現の像です。${\displaystyle \operatorname {Int} ({\mathfrak {g}})=\operatorname {Ad} (G)}$。

Gが半単純である場合、随伴表現の非ゼロ重みはルート系を形成します。^{[ 7 ]}（一般に、先に進む前にリー代数の複素化に進む必要があります。）これがどのように機能するかを見るために、G = SL( n , R ) の場合を考えます。対角行列 diag( t1 , ..., tn )の群を最大トーラス T とすることができます_。Tの要素による共役は_、  

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nn}\\\end{bmatrix}}\mapsto {\begin{bmatrix}a_{11}&t_{1}t_{2}^{-1}a_{12}&\cdots &t_{1}t_{n}^{-1}a_{1n}\\t_{2}t_{1}^{-1}a_{21}&a_{22}&\cdots &t_{2}t_{n}^{-1}a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\t_{n}t_{1}^{-1}a_{n1}&t_{n}t_{2}^{-1}a_{n2}&\cdots &a_{nn}\\\end{bmatrix}}.}$

したがって、T はGのリー代数の対角部分に自明に作用し、さまざまな非対角要素には固有ベクトルt _i t _j ^{− 1}が作用します。G のルートは重み diag( t ₁ , ..., t _n ) → t _i t _j ^{− 1}です。これにより、G = SL n ( R )のルート_システムがe _i − e _jの形のベクトルの集合として標準的に記述されることが説明できます。  

随伴表現は、任意の体上の代数群に対しても定義することができる。

共随伴表現は、随伴表現の 反比例表現である。アレクサンドル・キリロフは、共随伴表現における任意のベクトルの軌道はシンプレクティック多様体であることを指摘した。軌道法として知られる表現論の哲学（キリロフ指標公式も参照）によれば、リー群Gの既約表現は、その共随伴軌道によって何らかの方法で添え字付けされるべきである。この関係は、冪零リー群の場合に最もよく当てはまる。

• 随伴束

• フルトン、ウィリアム；ハリス、ジョー（ 1991）。表現論入門。大学院数学テキスト、数学読本、第129巻。ニューヨーク ：シュプリンガー・フェルラーク。doi ：10.1007 /978-1-4612-0979-9。ISBN 978-0-387-97495-8. MR 1153249 . OCLC 246650103 .  
• 小林正七、野水勝己（1996）。微分幾何学の基礎、第1巻（新版 ）。Wiley- Interscience。ISBN 978-0-471-15733-5。
• Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction , Graduate Texts in Mathematics, vol.  222 (2nd  ed.), Springer, ISBN 978-3319134666。