キリロフの文字式

数学において、リー群 に対して、キリロフ軌道法は表現論における発見的方法を与える。これは、Gのリー代数の双対空間にある余接軌道のフーリエ変換を、既約表現の無限小特性に結び付ける。この方法は、ロシアの数学者アレクサンドル・キリロフにちなんで名付けられた。 ${\displaystyle G}$

最も簡単に言えば、リー群の指標は、で表される指数写像のヤコビアンの平方根で重み付けされた、余接軌道上でサポートされるディラックのデルタ関数のフーリエ変換によって与えられることを述べています。これはすべてのリー群に適用されるわけではありませんが、冪零、一部の半単純群、コンパクト群など、連結リー群のいくつかのクラスには適用できます。 ${\displaystyle j}$

キリロフ軌道法は、デュフロ同型写像やラッピング写像など、リー理論における多くの重要な発展をもたらしました。

を既約表現の最高の重みとし、を最大トーラスのリー代数の双対とし、を正の根の和の半分とします。 ${\displaystyle \lambda \in {\mathfrak {t}}^{*}}$ ${\displaystyle \pi}$${\displaystyle {\mathfrak {t}}^{*}}$${\displaystyle \rho}$

を通る余接軌道を で表し、全質量 を持つ上の-不変測度をで表す。これはリウヴィル測度として知られる。 が表現の指標である場合、コンパクトリー群のキリロフ指標公式は次のように与えられる。 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\lambda +\rho }}$${\displaystyle \lambda +\rho \in {\mathfrak {t}}^{*}}$${\displaystyle \mu _{\lambda +\rho }}$${\displaystyle G}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\lambda +\rho }}$${\displaystyle \dim \pi =d_{\lambda }}$${\displaystyle \chi _{\lambda }}$

${\displaystyle j^{1/2}(X)\chi _{\lambda }(\exp X)=\int _{{\mathcal {O}}_{\lambda +\rho }}e^{i \beta (X)}d\mu _{\lambda +\rho }(\beta ),\;\forall \;X\in {\mathfrak {g}}}$、

ここで指数写像の ヤコビアンです。${\displaystyle j(X)}$

SU(2)の場合、最も高い重みは正の半整数とです。共役軌道は、3次元空間の原点を中心とする 半径 の2次元球です。${\displaystyle \rho =1/2}$${\displaystyle \lambda +1/2}$

ベッセル関数の理論によれば、

${\displaystyle \int _{{\mathcal {O}}_{\lambda +1/2}}e^{i\beta (X)}d\mu _{\lambda +1/2}(\beta )={\frac {\sin((2\lambda +1)X)}{X/2}},\;\forall \;X\in {\mathfrak {g}},}$

そして

${\displaystyle j(X)={\frac {\sin X/2}{X/2}}}$

こうすることでSU (2) の文字が得られる。

${\displaystyle \chi _{\lambda }(\exp X)={\frac {\sin((2\lambda +1)X)}{\sin X/2}}}$

• ワイル指標式
• 同変コホモロジーの局所化公式

• Kirillov, AA、「軌道法に関する講義」、数学大学院研究、64、AMS、ロードアイランド、2004 年。