等方性表現

微分幾何学において、等方性表現は、多様体に作用するリー群の、固定点への 接空間上の自然な線型表現です。

多様体M上のリー群作用 が与えられ、G _{o が}点o（oにおける等方性部分群）の安定化群である場合、G _oの各gに対してo を固定し、 oで微分すると、写像が得られる。連鎖律により、 ${\displaystyle (G,\sigma )}$${\displaystyle \sigma _{g}:M\to M}$${\displaystyle (d\sigma _{g})_{o}:T_{o}M\to T_{o}M.}$

${\displaystyle (d\sigma _{gh})_{o}=d(\sigma _{g}\circ \sigma _{h})_{o}=(d\sigma _{g})_{o}\circ (d\sigma _{h})_{o}}$

したがって、次のように表現されます。

${\displaystyle \rho :G_{o}\to \operatorname {GL} (T_{o}M)}$

与えられた

${\displaystyle \rho (g)=(d\sigma _{g})_{o}}$。

これはoにおける等方性表現と呼ばれます。たとえば、 がGのそれ自身への共役作用である場合、単位元eにおける等方性表現は の随伴表現です。 ${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle \rho}$${\displaystyle G=G_{e}}$

• http://www.math.toronto.edu/karshon/grad/2009-10/2010-01-11.pdf
• https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Isotropy_representation
• 小林昭七、野水勝美 (1996)。微分幾何学の基礎、第1巻（新版）。Wiley- Interscience。ISBN 0-471-15733-3。