ケーリー・クライン計量

数学において、ケイリー・クライン計量とは、複比を用いて定義される射影空間内の固定された二次関数の補関数上の計量である。この構成はアーサー・ケイリーの論文「距離の理論について」^[1]に端を発し、ケイリーはそこで二次関数を絶対 と呼んでいる。この構成はフェリックス・クラインによって1871 年と 1873 年の論文、およびその後の書籍や論文でさらに詳細に展開された。 ^{[2] [3] [4] [5] [6] [7] [8 ] [9]ケイリー・クライン計量は、}双曲幾何学、楕円幾何学、ユークリッド幾何学 の計量を提供するために使用されているため、幾何学における統一概念である。非ユークリッド幾何学の分野は、ケイリー・クライン計量によって提供された基盤に大きく依存している。

カール・フォン・シュタウト（1847）による投射代数は、距離に依存しない幾何学へのアプローチである。そのアイデアは、射影調和共役と複比の関係を直線上の測定の基本として使用するというものである。^[10]もう1つの重要な洞察は、エドモンド・ラゲール（1853）によるラゲールの公式であり、彼は2本の直線間のユークリッド角が複比の対数として表せることを示した。 ^[11]最終的に、ケイリー（1859）は距離を射影距離で表す関係を定式化し、それを幾何学の絶対値として機能する一般的な二次曲線または円錐曲線に関連付けた。 ^{[12] [13]}クライン（1871、1873）は、フォン・シュタウトの業績から計量概念の最後の名残を取り除き、それをケイリーの理論と組み合わせ、ケイリーの新しい計量を対数と、4点の幾何学的配置によって生成される数値としての交差比に基づいたものにした。^[14]この手順は、交差比が単に以前に定義された距離の2倍の比である場合に、距離の循環的な定義を避けるために必要である。 ^[15]特に、彼は非ユークリッド幾何学がケイリー・クライン計量に基づくことができることを示した。^[16]

ケーリー・クライン幾何学は、ケーリー・クライン計量不変量 を残す運動群の研究です。これは、空間の絶対値となる二次曲線または円錐曲線の選択に依存します。この群は、絶対値が安定する共線化として得られます。実際、複比はどの共線化でも不変であり、安定した絶対値により計量比較が可能になり、等式になります。たとえば、単位円は、双曲幾何学におけるポアンカレ円板モデルとベルトラミ・クライン モデルの絶対値です。同様に、実数直線は、ポアンカレ半平面モデルの絶対値です。

ケーリー・クライン幾何学の範囲は、2004年にホルストとロルフ・ストルーベによって要約された。^[17]

実射影直線には 3 つの絶対値があり、実射影平面には 7 つの絶対値があり、実射影空間には 18 の絶対値があります。双曲型、楕円型、ガリレイ型、ミンコフスキー型などのすべての古典的な非ユークリッド射影空間とそれらの双対は、このように定義できます。

ケイリー・クラインボロノイ図は線形超平面二等分線を持つアフィン図です。^[18]

ケイリー・クライン計量は、まず実射影直線P( R ) と射影座標で示されます。通常、射影幾何学は計量幾何学とは関連がありませんが、ホモグラフィと自然対数による手法で関連付けられます。P ( R ) 上の 2 つの点pとqから始めます。標準埋め込みでは、それらは [ p :1] と [ q :1] です。ホモグラフィック マップ

${\displaystyle [z:1]{\begin{pmatrix}-1&1\\p&-q\end{pmatrix}}=[pz:zq]}$

p をゼロに、q を無限大にします。さらに、中点 ( p + q )/2 は [1:1] になります。自然対数は、区間 [ p , q ] の像を実数直線にとり、中点の像の対数は 0 になります。

区間内の 2 点間の距離については、ケイリー・クライン計量では点の比の対数を使用します。分子と分母が均等に再比例すると比が保存されるため、このような比の対数も保存されます。この比の柔軟性により、距離のゼロ点を移動できます。ゼロ点をaに移動するには、上記のホモグラフィを適用して、たとえばw を取得します。次に、次のホモグラフィを作成します。

${\displaystyle [z:1]{\begin{pmatrix}1&0\\0&w\end{pmatrix}}}$これは[ w ,1]を[1:1]にします。

1 番目と 2 番目のホモグラフィの合成では、a が1 になるため、区間内の任意のa が正規化されます。合成されたホモグラフィは、 p、q 、およびaのクロス比ホモグラフィと呼ばれます。クロス比は、4 つの値の関数としてよく導入されます。ここで、3 つはホモグラフィを定義し、4 つ目はホモグラフィの引数です。この 4 番目の点の 0 からの距離は、評価されたホモグラフィの対数です。

P( R )を含む射影空間において、 pとqがK上にある円錐K が与えられているとします。より大きな空間上のホモグラフィは、空間の点を並べ替えるため、K を不変集合として持つことができます。このようなホモグラフィは P( R ) 上のホモグラフィを誘導し、pとq はK上にあるため、複比は不変のままです。より高次のホモグラフィは、Kで囲まれた領域の動きを提供し、動きは距離を保存します。 これは等長変換です。

絶対値として単位円が選択されると仮定する。それはP ² ( R ) 内で次のように 表される。

${\displaystyle \{[x:y:z]:x^{2}+y^{2}=z^{2}\}}$これは${\displaystyle (x/z)^{2}+(y/z)^{2}=1.}$

一方、通常の複素平面上の単位円は

${\displaystyle \{z:|z|^{2}=zz^{*}=1\}}$複素数演算を使用する

は複素射影直線P( C )上にあり、実射影平面P ² ( R )とは異なります。前のセクションで紹介したP( R )の距離の概念は、 P( R ) が P ² ( R ) と P( C )の両方に含まれているため使用できます。aとb がP ² ( R )の円の内部にあるとします。すると、それらはpとqで円と交差する線上にあります。 aからbまでの距離は、上でp、q、およびaによって生成されたホモグラフィをbに適用したときの値の対数です。この例では、ディスク上の測地線は線分です。

一方、測地線は、複素平面の円板上の一般化された円の弧です。このクラスの曲線は、メビウス変換によって並べ替えられます。メビウス変換は、単位円 を不変集合として残すこの円板の運動の源です。この円板上のaとb が与えられた場合、単位円と直角に交わる唯一の一般化された円があり、たとえばpとqで交差します。また、 aからbまでの距離については、最初にp、q、およびaのホモグラフィを構築し、次にそれをbで評価し、最後に対数を使用します。この方法で得られた双曲面の 2 つのモデルは、ケーリー・クラインのモデルとポアンカレ円板モデルです。

1919年から1920年にかけて行われた数学史に関する講義（死後1926年に出版）の中で、クラインは次のように書いている。^[19]

4 次元世界の場合、または(3 次元のまま同次座標を使用する場合) は、最近、物理学の相対性理論を通じて特別な重要性を獲得しました。${\textstyle x^{2}+y^{2}+z^{2}-t^{2}=0}$${\displaystyle dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}-dt^{2}=0}$

つまり、双曲幾何学における絶対値または は（上で説明したように）時空における間隔またはに対応し、絶対不変量を残したその変換はローレンツ変換に関連付けることができます。同様に、双曲幾何学における単位円または単位球の方程式は、光速cによって制限される相対性理論における物理速度またはに対応するため、任意の物理速度vに対して、比v / c は単位球の内部に限定され、球の表面は幾何学のケーリー絶対値を形成します。 ${\textstyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{3}^{2}=0}$${\textstyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}-x_{4}^{2}=0}$${\textstyle x^{2}+y^{2}-t^{2}=0}$${\textstyle x^{2}+y^{2}+z^{2}-t^{2}=0}$${\textstyle {\bigl (}{\frac {dx}{dt}}{\bigr )}{\vphantom {)}}^{2}+{\bigl (}{\frac {dy}{dt}}{\bigr )}{\vphantom {)}}^{2}=1}$${\textstyle {\bigl (}{\frac {dx}{dt}}{\bigr )}{\vphantom {)}}^{2}+{\bigl (}{\frac {dy}{dt}}{\bigr )}{\vphantom {)}}^{2}+{\bigl (}{\frac {dz}{dt}}{\bigr )}{\vphantom {)}}^{2}=1}$ 

双曲空間のケイリー・クライン計量と特殊相対論のミンコフスキー空間との関係についての詳細は、1910年にクラインによって指摘され、^[20] 1928年の非ユークリッド幾何学の講義でも指摘されている。^[21]

2008 年、ホルスト・マルティーニとマルガリータ・スピロヴァは、ケーリー絶対値に関連する アフィン幾何学を使用して、クリフォードの円定理とその他のユークリッド幾何学の最初のものを一般化しました。

絶対値が直線を含む場合、アフィン・ケイリー・クライン幾何学のサブファミリーが得られます。絶対値が直線fとf上の点Fで構成される場合、等方幾何学が得られます。等方円はFでf に接する円錐です。^[22]

同次座標( x,y,z )を使用します。無限遠の直線f はz = 0です。F = (0,1,0) の場合、直径が y 軸に平行な放物線は等方性円になります。

P = (1,0,0) およびQ = (0,1,0) を絶対値とすると、 f は上記のようになります。( x,y ) 平面上の直角双曲線は、無限遠直線上のPおよびQを通過すると考えられます。これらの曲線は擬似ユークリッド円です。

Martini と Spirova による処理では、等方幾何学には双対数を使用し、擬似ユークリッド幾何学には分割複素数を使用します。これらの一般化された複素数は、通常の複素数がユークリッド幾何学と関係するのと同様に、その幾何学と関係します。

アーサー・ケイリー（1859）は、彼の射影計量の基礎となる「絶対値」を同次座標系による2次曲面の一般的な方程式として定義した。^[1]

2点間の距離は次のように表される。

2次元では

距離とともに

彼は距離の 特別なケースについて議論した${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=0}$

$${\displaystyle \cos ^{-1}{\frac {xx'+yy'+zz'}{{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}{\sqrt {x^{\prime 2}+y^{\prime 2}+z^{\prime 2}}}}}}$$

彼はまた、ケース（単位球）についても言及しました。 ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1}$

フェリックス・クライン（1871）はケイリーの表現を次のように再定式化した。彼は絶対値（彼はこれを基本円錐曲線と呼んだ）を同次座標で書いた。^[23]

そして、2つの要素に対して絶対値とを形成することによって、それらの間のメトリック距離を複比で定義しました。 ${\displaystyle \Omega _{xx}}$${\displaystyle \Omega _{yy}}$

$${\displaystyle c\log {\frac {\Omega _{xy}+{\sqrt {\Omega _{xy}^{2}-\Omega _{xx}\Omega _{yy}}}}{\Omega _{xy}-{\sqrt {\Omega _{xy}^{2}-\Omega _{xx}\Omega _{yy}}}}}=2ic\cdot \arccos {\frac {\Omega _{xy}}{\sqrt {\Omega _{xx}\cdot \Omega _{yy}}}}}$$

平面では、計量距離について同じ関係が成り立つが、と がそれぞれ3 つの座標に関係するようになる。基本的な円錐断面として、彼は という特殊なケースについて論じた。これは、実数の場合には双曲幾何学に、虚数の場合には楕円幾何学に関係する。^[24]この形式を不変にする変換は、それぞれの非ユークリッド空間における運動を表す。あるいは、彼は という形式の円の方程式を使用した。これは、が正の場合には双曲幾何学に関係し(ベルトラミ–クラインのモデル)、が負の場合には楕円幾何学に関係する。^[25]空間では、彼は 2 次基本面について論じた。それによれば、虚数の面は楕円幾何学に、実数と直線状の面は 3 つの主要幾何学のいずれにも関係のない 1 枚双曲面に対応し、実数と非直線状の面は双曲空間に関係する。 ${\displaystyle \Omega _{xx}}$${\displaystyle \Omega _{yy}}$${\displaystyle x,y,z}$${\displaystyle \Omega _{xx}=z_{1}z_{2}-z_{3}^{2}=0}$${\displaystyle \Omega _{xx}=x^{2}+y^{2}-4c^{2}=0}$${\displaystyle c}$${\displaystyle c}$

1873年の論文で、彼はケーリー計量と変換群の関係を指摘した。^[26]特に、2次の曲面に対応する実係数の二次方程式は、正負の符号の数の差が等しい平方和に変換できる（これは現在、シルベスターの慣性の法則と呼ばれている）。すべての平方の符号が同じであれば、曲面は正の曲率を持つ虚数である。1つの符号が他と異なる場合、曲面は負の曲率を持つ楕円体または2枚双曲面になる。

1889/90年冬学期の非ユークリッド幾何学の講義の第1巻（1892/1893年に出版）で、彼は非ユークリッド平面について論じ、絶対値を表す次の表現を使用した。^[27] そして、非ユークリッド空間における運動を表す 共線変換とメビウス変換 に対するそれらの不変性について論じた。$${\displaystyle \sum _{\alpha ,\beta =1}^{3}a_{\alpha \beta }x_{\alpha }x_{\beta }=0\rightarrow {\begin{matrix}x^{2}+y^{2}+4k^{2}t^{2}=0&{\text{(elliptic)}}\\x^{2}+y^{2}-4k^{2}t^{2}=0&{\text{(hyperbolic)}}\end{matrix}}}$$

1890年夏学期の講義を収録した第2巻（1892/1893年にも出版）では、クラインはケイリー計量^[28] を用いた非ユークリッド空間について 論じ、この4次二次形式の変形が実線型変換によって次の5つの形式のいずれかに変換できることを示した^[29]。$${\displaystyle \sum _{\alpha ,\beta =1}^{4}a_{\alpha \beta }x_{\alpha }x_{\beta }=0,}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+z_{3}^{2}+z_{4}^{2}&{\text{(zero part)}}\\z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+z_{3}^{2}-z_{4}^{2}&{\text{(oval)}}\\z_{1}^{2}+z_{2}^{2}-z_{3}^{2}-z_{4}^{2}&{\text{(ring)}}\\-z_{1}^{2}-z_{2}^{2}-z_{3}^{2}+z_{4}^{2}\\-z_{1}^{2}-z_{2}^{2}-z_{3}^{2}-z_{4}^{2}\end{aligned}}}$$

この形式はクラインによって楕円幾何学のケーリー絶対値として使用され、^[30]双曲幾何学には単位球面の方程式を関連付けました。^[31]彼は最終的に、非ユークリッド空間における運動を表す共線変換とメビウス変換に関するそれらの不変性について議論しました。 ${\displaystyle z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+z_{3}^{2}+z_{4}^{2}=0}$${\displaystyle z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+z_{3}^{2}-z_{4}^{2}=0}$${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}-1=0}$

ロバート・フリッケとクラインは、1897年に保型関数に関する講義の第1巻の序文でこれらすべてをまとめ、その中で彼らは絶対平面幾何学および双曲空間として を使用した。^[32]クラインの非ユークリッド幾何学に関する講義は、死後1冊の本として再出版され、1928年にヴァルター・ローゼマンによって大幅に編集された。^[9]クラインの非ユークリッド幾何学に関する研究の歴史的分析は、A'CampoとPapadopoulos（2014）によって行われた。^[16]${\displaystyle e\left(z_{1}^{2}+z_{2}^{2}\right)-z_{3}^{2}=0}$${\displaystyle z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+z_{3}^{2}-z_{4}^{2}=0}$${\displaystyle X^{2}+Y^{2}+Z^{2}=1}$

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