等角投影図

等角投影法は、技術図面や工学図面において、3次元物体を2次元で視覚的に表現する方法です。これは軸測投影法の一種で、3つの座標軸が等しく短縮され、任意の2つの軸間の角度が120度になります。

立方体の等角投影図

この視点を得るために必要なカメラの回転

「等角投影」という用語は、ギリシャ語で「等しい尺度」を意味する言葉に由来しており、投影の各軸に沿った縮尺が同じであることを反映しています（他の形式の図式投影とは異なります）。

物体の等角投影図は、 x、y、z軸の投影間の角度がすべて同じ、つまり120°になるように視線方向を選択することで得られます。たとえば、立方体の場合、まず1つの面をまっすぐ見ることから始めます。次に、立方体を垂直軸を中心に±45°回転させ、続いて水平軸を中心に約35.264°（正確にはarcsin 1 / √3またはarctan 1 / √2で、これはマジックアングルに関係します）回転させます。立方体の場合（画像参照） 、結果として得られる2D図面の周囲は完全な正六角形になります。すべての黒線の長さは等しく、立方体のすべての面の面積は同じです。等角投影図を作成する際に、通常の画用紙の下に方眼紙を敷くと、計算なしで同様の効果を得ることができます。

同様に、 3Dシーンで等角投影図を取得することもできます。まず、カメラを床と平行に配置し、座標軸に合わせます。次に、カメラを水平方向（垂直軸を中心に）に±45°回転させ、次に水平軸を中心に35.264°回転させます。

等角投影を視覚化するもう一つの方法は、立方体の部屋を上隅から見て反対側の下隅に向かう視点を考えることです。x軸は斜め下右方向に、y軸は斜め下左方向に、z軸は真上に伸びています。奥行きは画像上の高さで表されます。軸に沿って描かれた線は互いに120°の角度をなしています。

これらのすべての場合において、すべての軸測投影および正射投影と同様に、投影された長さがカメラからの距離によって変化しないようにするためには、そのようなカメラには物体空間テレセントリックレンズが必要となる。

「等角投影」という用語は、一般的に軸測投影を指す際に誤って用いられることが多い。しかし、軸測投影には実際には等角投影、二等角投影、斜投影の3種類がある。

等角投影に必要な 2 つの角度のうち、2 番目の角度の値は直感に反するように見えるため、もう少し説明が必要です。まず、辺の長さが 2 で、中心が軸の原点にある立方体を想像してみましょう。つまり、すべての面が原点から 1 の距離で軸と交わります。ピタゴラスの定理を使用すると、中心から任意の辺の中点までの線の長さを√ 2と計算できます。立方体をx軸を中心に 45° 回転させると、図に示すように、点 (1, 1, 1) は (1, 0, √ 2 ) になります。2 番目の回転は、同じ点を正のz軸上に移動させることを目的としており、 1 ⁄ √ 2の逆正接に等しい値の回転を実行する必要があります。これは約 35.264° です。

等角投影図を得るには、視点がどの象限を向いているかによって、8つの異なる向きがあります。3D空間の点a _{x , y , z}から、第1象限を向いている2D空間の点b _{x , y}への等角変換は、回転行列を用いて次のように数学的に表すことができます。 $${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {c} _{x}\\\mathbf {c} _{y}\\\mathbf {c} _{z}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&{\cos \alpha }&{-\sin \alpha }\\0&{\sin \alpha }&{\cos \alpha }\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\cos \beta }&0&{-\sin \beta }\\0&1&0\\{\sin \beta }&0&{\cos \beta }\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {a} _{x}\\\mathbf {a} _{y}\\\mathbf {a} _{z}\\\end{bmatrix}}={\frac {1}{\sqrt {6}}}{\begin{bmatrix}{\sqrt {3}}&0&-{\sqrt {3}}\\-1&2&-1\\{\sqrt {2}}&{\sqrt {2}}&{\sqrt {2}}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {a} _{x}\\\mathbf {a} _{y}\\\mathbf {a} _{z}\\\end{bmatrix}}}$$

ここで、 α = arcsin(tan 30°) ≈ 35.264°、β = 45°です。上記のように、これは垂直軸（ここではy軸）を中心としたβだけの回転に続き、水平軸（ここではx軸）を中心としたαだけの回転です。その後、 xy平面への正射影が行われます。 $${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {b} _{x}\\\mathbf {b} _{y}\\0\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {c} _{x}\\\mathbf {c} _{y}\\\mathbf {c} _{z}\\\end{bmatrix}}}$$

他の7つの可能性は、反対方向に回転させるか回転させないか、そして視線方向を反転させるか反転させないかによって得られます。^{[ 1 ]}

光学研削エンジンのモデル（1822年）、30°等角投影図^{[ 2 ]}

中国、15世紀頃の『三国志演義』挿絵版における軸測投影図の例

ウィリアム・ファリッシュ教授（1759～1837年）によって初めて体系化された等長性の概念は、何世紀にもわたって大まかな経験的形態で存在していた。^{[ 3 ] [ 4 ]} 19世紀半ばから、等長性は「エンジニアにとって非常に貴重なツールとなり、その後まもなく、アクソノメトリーと等長性はヨーロッパとアメリカの建築訓練コースのカリキュラムに組み込まれた」^{[ 5 ]。}しかし、ヤン・クリッケ（2000）^{[ 6 ]}によれば、「アクソノメトリーは中国で生まれた。中国美術におけるその機能は、ヨーロッパ美術における線遠近法に似ていた。アクソノメトリーとそれに伴う絵画文法は、ビジュアルコンピューティングの出現とともに新たな意義を持つようになった」^{[ 6 ] 。}

等角投影の限界を示す例。赤球と青球の高さの差を局所的に特定することはできない。

ペンローズの階段は、反時計回りに上昇しているように見えたり、時計回りに下降しているように見えたりする階段を描いているが、実際には連続したループを形成している。

平行投影法全般に言えることですが、等角投影で描かれた物体は、見る人から近づいたり遠ざかったりしても、大きくも小さくも見えません。直接寸法を測る必要がある建築図面には有利ですが、透視投影法とは異なり、人間の視覚や写真の仕組みとは異なるため、結果として歪みが生じます。また、右上の図に示すように、奥行きや高さの測定が困難な状況も容易に発生します。その結果、ペンローズ階段のような、矛盾した形状やあり得ない形状が生み出されることがあります。

アイソメトリック ビデオゲーム グラフィックスは、ビデオゲームやピクセル アートで使用される平行投影を利用したグラフィックスですが、視点を傾けることで、上からの視点や側面からの視点では見えない環境の側面を明らかにし、それによって3 次元効果を生み出します。名前とは裏腹に、アイソメトリック コンピュータ グラフィックスは必ずしも真にアイソメトリックではありません。つまり、x、y、z軸が必ずしも互いに 120° の向きになっているわけではありません。代わりに、さまざまな角度が使用され、ダイメトリック投影と 2:1 ピクセル比が最も一般的です。「3/4 パースペクティブ」、「3/4 ビュー」、「2.5D」、「擬似 3D」などの用語も使用されることがありますが、これらの用語は他の文脈ではわずかに異なる意味を持つ場合があります。

かつては一般的だったアイソメトリック投影は、より強力な3Dグラフィックスシステムの登場や、ビデオゲームがアクションや個々のキャラクターに重点を置くようになったことで、あまり使われなくなりました。^{[ 7 ]}しかし、アイソメトリック投影を利用したビデオゲーム、特にコンピュータRPGは、近年インディーゲームシーンで復活を遂げています。^{[ 7 ] [ 8 ]}

• グラフィック投影

• アイソメトリック投影図（ 2021年3月30日アーカイブ、 Wayback Machine）