ピンホールカメラモデル

コンピュータビジョンや3Dコンピュータグラフィックスにおいて、ピンホールカメラモデルは、 3次元空間内の点の座標と、理想的なピンホールカメラの画像平面への投影との間の数学的な関係を記述するものであり、カメラの開口部は点として記述され、光を集束させるためのレンズは使用されない。

このモデルには、例えば、レンズや有限面積の開口部によって引き起こされる幾何学的歪みや焦点の合っていない物体のぼやけは含まれていません。 ^{[ 1 ]}また、ほとんどの実用的なカメラが離散的な画像座標（ピクセルインデックス） しか持たないことも考慮されていません。つまり、ピンホールカメラモデルは、3Dシーンから画像平面へのマッピングの一次近似としてのみ使用できます。その妥当性はカメラの品質に依存し、一般的には、レンズの歪み効果が増加するにつれて、画像の中心から端に向かって低下します。

ピンホールカメラモデルでは考慮されていない効果の中には、例えば画像座標に適切な座標変換を適用することで補正できるものもあります。また、高品質なカメラを使用すれば、その他の効果は無視できるほど小さいものです。つまり、ピンホールカメラモデルは、カメラが3Dシーンをどのように描写するかを合理的に記述するモデルとして、多くの場合有効であると言えます。

ピンホールカメラのマッピングに関連する幾何学的構造を図に示します。図には、以下の基本的なオブジェクトが含まれています。

• 原点Oを中心とする3次元直交座標系。カメラの絞りもこの原点に位置します。座標系の3つの軸はX1、X2、X3と呼ばれます。軸X3はカメラの視線方向を指しており、光軸、主軸、または主光線と呼ばれます。軸X1とX2によって張られる平面は、カメラの前面、または主平面と呼ばれます。
• 3D世界がカメラの開口部を通して投影される画像平面。画像平面はX1軸とX2軸に平行で、距離に位置する。${\displaystyle f}$原点OからX3 軸の負の方向へ、ここでfはピンホールカメラの焦点距離です。ピンホールカメラの実際の実装では、像面が座標-f (f > 0)でX3 軸と交差するように配置されます。
• 光軸と像面の交点R。この点は主点[ 2 ^{]または像}中心と呼ばれます。
• 世界のどこかの座標にある点P${\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3})}$X1、X2、X3軸に対する相対値。
• 点Pからカメラへの投影線。これは点Pと点Oを通る緑色の線です。
• 点Pを画像平面Qに投影したもの。この点は、投影線 (緑色) と画像平面の交点によって与えられます。実際的な状況では、${\displaystyle x_{3}}$> 0 ということは、交点が明確に定義されていることを意味します。
• 画像平面には、原点がRにあり、軸Y1とY2がそれぞれX1とX2に平行な2次元座標系も存在する。この座標系に対する点Qの座標は次のようになる。${\displaystyle (y_{1},y_{2})}$。

カメラのピンホール開口部は、すべての投影線が通過しなければならないため、無限に小さい点であると仮定されます。文献では、3D空間におけるこの点は光学中心（またはレンズ中心またはカメラ中心）と呼ばれています。^{[ 3 ]}

次に、座標がどのように${\displaystyle (y_{1},y_{2})}$点Qの座標は${\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3})}$点Pの。これは、前の図と同じシーンを上から、X2 軸の負の方向を見下ろした次の図を使用して行うことができます。

この図では、2 つの相似な三角形が示されており、どちらも投影線 (緑色) の一部を斜辺としています。左側の三角形の直角三角形は${\displaystyle -y_{1}}$そして、fと直角三角形のカセティは${\displaystyle x_{1}}$そして${\displaystyle x_{3}}$2つの三角形は相似なので、

${\displaystyle {\frac {-y_{1}}{f}}={\frac {x_{1}}{x_{3}}}}$または${\displaystyle y_{1}=-{\frac {f\,x_{1}}{x_{3}}}}$

X1軸の負の方向を調べた同様の調査では、

${\displaystyle {\frac {-y_{2}}{f}}={\frac {x_{2}}{x_{3}}}}$または${\displaystyle y_{2}=-{\frac {f\,x_{2}}{x_{3}}}}$

これは次のように要約できます。

${\displaystyle {\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{pmatrix}}=-{\frac {f}{x_{3}}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}}}$

これは、3D座標間の関係を表す式です。${\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3})}$点Pとその像座標${\displaystyle (y_{1},y_{2})}$画像平面上の点Qによって与えられる。

空間内の点の 3D 座標から 2D 画像座標へのマッピングは、同次座標でも表現できます。${\displaystyle \mathbf {x} }$を同次座標系における3D点の表現（4次元ベクトル）とし、${\displaystyle \mathbf {y} }$はピンホールカメラにおけるこの点の像（3次元ベクトル）を表すものとする。すると、次の関係が成り立つ。

${\displaystyle \mathbf {y} \sim \mathbf {C} \,\mathbf {x} }$

どこ${\displaystyle \mathbf {C} }$は${\displaystyle 3\times 4}$カメラマトリックスと${\displaystyle \,\sim }$は射影空間の要素間の等価性を意味します。これは、左辺と右辺がゼロでないスカラー倍を除いて等しいことを意味します。この関係の結果として、 も成り立ちます。${\displaystyle \mathbf {C} }$射影空間の要素と見なすことができる。2つのカメラ行列は、スカラー倍を除いて等しい場合に等価である。ピンホールカメラのマッピングのこの記述は、線形変換である。${\displaystyle \mathbf {C} }$2つの線形式の分数としてではなく、3D座標と2D座標間の関係の多くの導出を簡略化することが可能になります。

• カメラ切除
• 共線性方程式
• 入射瞳とは、実際のカメラにおける物体空間に対するピンホールの位置に相当するものです。
• 射出瞳とは、実際のカメラにおける像面に対するピンホールの位置に相当するものです。
• イブン・アル＝ハイサム
• ピンホールカメラは、本稿で説明する数学モデルを実際に実装したものである。
• 直線レンズ

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