ベクトル計算の恒等式

以下はベクトル解析における微分と積分に関する重要な恒等式です。

3次元直交座標変数の関数の場合、勾配はベクトル場です。 ${\displaystyle f(x,y,z)}$

${\displaystyle \operatorname {grad} (f)=\nabla f={\begin{pmatrix}\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}},\ {\frac {\partial }{\partial y}},\ {\frac {\partial }{\partial z}}\end{pmatrix}}f={\frac {\partial f}{\partial x}}\mathbf {i} +{\frac {\partial f}{\partial y}}\mathbf {j} +{\frac {\partial f}{\partial z}}\mathbf {k} }$

ここで、i、j、kはx、y、z軸の標準 単位ベクトルです。より一般的には、スカラー場とも呼ばれるn変数の関数の場合、勾配はベクトル場です。 ここで、は互いに直交する単位ベクトルです。 ${\displaystyle \psi (x_{1},\ldots ,x_{n})}$$${\displaystyle \nabla \psi ={\begin{pmatrix}\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}\end{pmatrix}}\psi ={\frac {\partial \psi }{\partial x_{1}}}\mathbf {e} _{1}+\dots +{\frac {\partial \psi }{\partial x_{n}}}\mathbf {e} _{n}}$$${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\,(i=1,2,...,n)}$

名前が示すように、勾配は関数の最も急速な (正の) 変化に比例し、その方向を指します。

ベクトル場（1次のテンソル場とも呼ばれる）の場合、勾配または全微分はn×nのヤコビ行列である。 ${\displaystyle \mathbf {A} =\left(A_{1},\ldots ,A_{n}\right)}$ $${\displaystyle \mathbf {J} _{\mathbf {A} }=d\mathbf {A} =(\nabla \!\mathbf {A} )^{\textsf {T}}=\left({\frac {\partial A_{i}}{\partial x_{j}}}\right)_{\!ij}.}$$

任意の次数kのテンソル場 の場合、勾配は次数k + 1のテンソル場です。 ${\displaystyle \mathbf {T} }$${\displaystyle \operatorname {grad} (\mathbf {T} )=d\mathbf {T} =(\nabla \mathbf {T} )^{\textsf {T}}}$

k > 0のテンソル場の場合、 k + 1のテンソル場は、任意の定数ベクトル である再帰関係によって定義されます 。 ${\displaystyle \mathbf {T} }$${\displaystyle \nabla \mathbf {T} }$$${\displaystyle (\nabla \mathbf {T} )\cdot \mathbf {C} =\nabla (\mathbf {T} \cdot \mathbf {C} )}$$${\displaystyle \mathbf {C} }$

デカルト座標では、連続的に微分可能な ベクトル場 の発散はスカラー値関数です。 ${\displaystyle \mathbf {F} =F_{x}\mathbf {i} +F_{y}\mathbf {j} +F_{z}\mathbf {k} }$$${\displaystyle \operatorname {div} \mathbf {F} =\nabla \cdot \mathbf {F} ={\begin{pmatrix}\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}},\ {\frac {\partial }{\partial y}},\ {\frac {\partial }{\partial z}}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}F_{x},\ F_{y},\ F_{z}\end{pmatrix}}={\frac {\partial F_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial F_{z}}{\partial z}}.}$$

名前が示すように、発散は、フィールド内のベクトルが発散する度合いの (ローカルな) 尺度です。

非ゼロ次kのテンソル場 の発散は、次数k − 1のテンソル場の縮約として表されます。具体的には、ベクトルの発散はスカラーです。より高次のテンソル場の発散は、テンソル場を外積の和に分解し、恒等式を使用すること で求められます。 ここで、は の方向の方向微分にその大きさを乗じたものです。具体的には、2 つのベクトルの外積の場合、 ${\displaystyle \mathbf {T} }$${\displaystyle \operatorname {div} (\mathbf {T} )=\nabla \cdot \mathbf {T} }$$${\displaystyle \nabla \cdot \left(\mathbf {A} \otimes \mathbf {T} \right)=\mathbf {T} (\nabla \cdot \mathbf {A} )+(\mathbf {A} \cdot \nabla )\mathbf {T} }$$${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \nabla }$${\displaystyle \mathbf {A} }$$${\displaystyle \nabla \cdot \left(\mathbf {A} \mathbf {B} ^{\textsf {T}}\right)=\mathbf {B} (\nabla \cdot \mathbf {A} )+(\mathbf {A} \cdot \nabla )\mathbf {B} .}$$

k > 1のテンソル場に対して、 k − 1のテンソル場は、任意の定数ベクトル である再帰関係によって定義されます 。${\displaystyle \mathbf {T} }$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {T} }$$${\displaystyle (\nabla \cdot \mathbf {T} )\cdot \mathbf {C} =\nabla \cdot (\mathbf {T} \cdot \mathbf {C} )}$$${\displaystyle \mathbf {C} }$

デカルト座標では、回転はベクトル場です。 ここで、i、j、kはそれぞれx軸、y軸、z軸の単位ベクトルです。 ${\displaystyle \mathbf {F} =F_{x}\mathbf {i} +F_{y}\mathbf {j} +F_{z}\mathbf {k} }$$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {curl} \mathbf {F} &=\nabla \times \mathbf {F} ={\begin{pmatrix}\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}},\ {\frac {\partial }{\partial y}},\ {\frac {\partial }{\partial z}}\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}F_{x},\ F_{y},\ F_{z}\end{pmatrix}}={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\{\frac {\partial }{\partial x}}&{\frac {\partial }{\partial y}}&{\frac {\partial }{\partial z}}\\F_{x}&F_{y}&F_{z}\end{vmatrix}}\\[1em]&=\left({\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y}}{\partial z}}\right)\mathbf {i} +\left({\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}\right)\mathbf {j} +\left({\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}\right)\mathbf {k} \end{aligned}}}$$

名前が示すように、回転は、近くのベクトルが円形の方向にどれだけ傾向があるかを測定するものです。

アインシュタイン表記では、ベクトル場の回転は次のように表されます。 ここで、= ±1 または 0 はレヴィ-チヴィタ パリティ記号です。 ${\displaystyle \mathbf {F} ={\begin{pmatrix}F_{1},\ F_{2},\ F_{3}\end{pmatrix}}}$$${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} =\varepsilon ^{ijk}\mathbf {e} _{i}{\frac {\partial F_{k}}{\partial x_{j}}}}$$${\displaystyle \varepsilon }$

k > 1 の位数のテンソル場の場合、 kの位数のテンソル場は、任意の定数ベクトル である再帰関係によって定義されます 。 ${\displaystyle \mathbf {T} }$${\displaystyle \nabla \times \mathbf {T} }$$${\displaystyle (\nabla \times \mathbf {T} )\cdot \mathbf {C} =\nabla \times (\mathbf {T} \cdot \mathbf {C} )}$$${\displaystyle \mathbf {C} }$

1より大きい位数のテンソル体は外積の和に分解することができ、次の恒等式を使用することができる。 具体的には、2つのベクトルの外積については、 $${\displaystyle \nabla \times \left(\mathbf {A} \otimes \mathbf {T} \right)=(\nabla \times \mathbf {A} )\otimes \mathbf {T} -\mathbf {A} \times (\nabla \mathbf {T} ).}$$$${\displaystyle \nabla \times \left(\mathbf {A} \mathbf {B} ^{\textsf {T}}\right)=(\nabla \times \mathbf {A} )\mathbf {B} ^{\textsf {T}}-\mathbf {A} \times (\nabla \mathbf {B} ).}$$

直交座標では、関数のラプラシアンは ${\displaystyle f(x,y,z)}$$${\displaystyle \Delta f=\nabla ^{2}\!f=(\nabla \cdot \nabla )f={\frac {\partial ^{2}\!f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\!f}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\!f}{\partial z^{2}}}.}$$

ラプラシアンは、ある点を中心とした小さな球面上で関数がどれだけ変化するかを測定するものです。

ラプラシアンが0に等しいとき、関数は調和関数と呼ばれます。つまり、 $${\displaystyle \Delta f=0.}$$

テンソル場、の場合、ラプラシアンは一般に次のように表されます。 および は同じ次数のテンソル場です。 ${\displaystyle \mathbf {T} }$$${\displaystyle \Delta \mathbf {T} =\nabla ^{2}\mathbf {T} =(\nabla \cdot \nabla )\mathbf {T} }$$

k > 0のテンソル場の場合、 kのテンソル場は、任意の定数ベクトル である再帰関係によって定義されます 。${\displaystyle \mathbf {T} }$${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {T} }$$${\displaystyle \left(\nabla ^{2}\mathbf {T} \right)\cdot \mathbf {C} =\nabla ^{2}(\mathbf {T} \cdot \mathbf {C} )}$$${\displaystyle \mathbf {C} }$

ファインマンの下付き文字表記では、 表記∇B_は 下付き文字の勾配が因子Bのみに作用することを意味する。^{[1] [2]}$${\displaystyle \nabla _{\mathbf {B} }\!\left(\mathbf {A{\cdot }B} \right)=\mathbf {A} {\times }\!\left(\nabla {\times }\mathbf {B} \right)+\left(\mathbf {A} {\cdot }\nabla \right)\mathbf {B} }$$

あまり一般的ではないが、似たものに幾何代数学におけるヘステネスの オーバードット表記法がある。^[3]上記の恒等式は次のように表現される。 ここで、オーバードットはベクトル導関数のスコープを定義する。点線のベクトル（この場合はB）は微分され、（点線でない）A は一定に保たれる。 $${\displaystyle {\dot {\nabla }}\left(\mathbf {A} {\cdot }{\dot {\mathbf {B} }}\right)=\mathbf {A} {\times }\!\left(\nabla {\times }\mathbf {B} \right)+\left(\mathbf {A} {\cdot }\nabla \right)\mathbf {B} }$$

ファインマンの添え字表記法の有用性は、ベクトルおよびテンソルの微分恒等式の導出に使用できることにあります。次の例では、代数恒等式C ⋅( A × B ) = ( C × A )⋅ B を使用しています。

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )&=\nabla _{\mathbf {A} }\cdot (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )+\nabla _{\mathbf {B} }\cdot (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )\\[2pt]&=(\nabla _{\mathbf {A} }\times \mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} +(\nabla _{\mathbf {B} }\times \mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} \\[2pt]&=(\nabla _{\mathbf {A} }\times \mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} -(\mathbf {A} \times \nabla _{\mathbf {B} })\cdot \mathbf {B} \\[2pt]&=(\nabla _{\mathbf {A} }\times \mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} -\mathbf {A} \cdot (\nabla _{\mathbf {B} }\times \mathbf {B} )\\[2pt]&=(\nabla \times \mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} -\mathbf {A} \cdot (\nabla \times \mathbf {B} )\end{aligned}}}$

別の方法としては、次のように del 演算子の直交座標成分を使用する方法があります。

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )&=\mathbf {e} _{i}\partial _{i}\cdot (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )\\[2pt]&=\mathbf {e} _{i}\cdot (\partial _{i}\mathbf {A} \times \mathbf {B} +\mathbf {A} \times \partial _{i}\mathbf {B} )\\[2pt]&=\mathbf {e} _{i}\cdot (\partial _{i}\mathbf {A} \times \mathbf {B} )+\mathbf {e} _{i}\cdot (\mathbf {A} \times \partial _{i}\mathbf {B} )\\[2pt]&=(\mathbf {e} _{i}\times \partial _{i}\mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} +(\mathbf {e} _{i}\times \mathbf {A} )\cdot \partial _{i}\mathbf {B} \\[2pt]&=(\mathbf {e} _{i}\times \partial _{i}\mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} -(\mathbf {A} \times \mathbf {e} _{i})\cdot \partial _{i}\mathbf {B} \\[2pt]&=(\mathbf {e} _{i}\times \partial _{i}\mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} -\mathbf {A} \cdot (\mathbf {e} _{i}\times \partial _{i}\mathbf {B} )\\[2pt]&=(\mathbf {e} _{i}\partial _{i}\times \mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} -\mathbf {A} \cdot (\mathbf {e} _{i}\partial _{i}\times \mathbf {B} )\\[2pt]&=(\nabla \times \mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} -\mathbf {A} \cdot (\nabla \times \mathbf {B} )\end{aligned}}}$

ベクトルおよびテンソルの微分恒等式を導出する別の方法は、代数恒等式内のベクトルのすべての出現を del 演算子に置き換えることです。ただし、変数が演算子のスコープの内側と外側の両方に出現したり、項内の 1 つの演算子のスコープ内と同じ項内の別の演算子のスコープ外の両方に出現したりしないことが条件です (つまり、演算子はネストされている必要があります)。この規則の有効性は、ファインマン法の有効性から得られます。規則の条件下では、常に添字付きの del を置き換えてからすぐに添字を削除できるためです。例えば、恒等式A ⋅( B × C ) = ( A × B )⋅ CからA ⋅(∇× C ) = ( A ×∇)⋅ C は導かれるが、∇⋅( B × C ) = (∇× B )⋅ Cは導かれず、またA ⋅( B × A ) = 0 からA ⋅(∇× A ) = 0も導かれない。一方、添え字付き del は項内の添え字の出現すべてに作用するので、A ⋅(∇ _A × A ) = ∇ _A ⋅( A × A ) = ∇⋅( A × A ) = 0 となる。また、A ×( A × C ) = A ( A ⋅ C ) − ( A ⋅ A ) Cから次が導かれる。 ∇×(∇× C ) = ∇(∇⋅ C ) − ∇ ² Cですが、 ( A ψ )⋅( A φ ) = ( A ⋅ A )( ψφ ) から (∇ ψ )⋅(∇ φ ) = ∇ ² ( ψφ )を導出できない可能性があります。

この記事の残りの部分では、適切な場合にはファインマン下付き表記法が使用されます。

スカラー場、およびベクトル場、については、次の微分恒等式が成り立ちます。 ${\displaystyle \psi }$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle \mathbf {B} }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla (\psi +\phi )&=\nabla \psi +\nabla \phi \\\nabla (\mathbf {A} +\mathbf {B} )&=\nabla \mathbf {A} +\nabla \mathbf {B} \\\nabla \cdot (\mathbf {A} +\mathbf {B} )&=\nabla \cdot \mathbf {A} +\nabla \cdot \mathbf {B} \\\nabla \times (\mathbf {A} +\mathbf {B} )&=\nabla \times \mathbf {A} +\nabla \times \mathbf {B} \end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(\mathbf {A} \cdot \nabla )\psi &=\mathbf {A} \cdot (\nabla \psi )\\(\mathbf {A} \cdot \nabla )\mathbf {B} &=\mathbf {A} \cdot (\nabla \mathbf {B} )\\(\mathbf {A} \times \nabla )\psi &=\mathbf {A} \times (\nabla \psi )\\(\mathbf {A} \times \nabla )\mathbf {B} &=\mathbf {A} \times (\nabla \mathbf {B} )\end{aligned}}}$

一変数微積分における積分則の一般化は次のようになります。

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla (\psi \phi )&=\phi \,\nabla \psi +\psi \,\nabla \phi \\\nabla (\psi \mathbf {A} )&=(\nabla \psi )\mathbf {A} ^{\textsf {T}}+\psi \nabla \mathbf {A} \ =\ \nabla \psi \otimes \mathbf {A} +\psi \,\nabla \mathbf {A} \\\nabla \cdot (\psi \mathbf {A} )&=\psi \,\nabla {\cdot }\mathbf {A} +(\nabla \psi )\,{\cdot }\mathbf {A} \\\nabla {\times }(\psi \mathbf {A} )&=\psi \,\nabla {\times }\mathbf {A} +(\nabla \psi ){\times }\mathbf {A} \\\nabla ^{2}(\psi \phi )&=\psi \,\nabla ^{2\!}\phi +2\,\nabla \!\psi \cdot \!\nabla \phi +\phi \,\nabla ^{2\!}\psi \end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \left({\frac {\psi }{\phi }}\right)&={\frac {\phi \,\nabla \psi -\psi \,\nabla \phi }{\phi ^{2}}}\\[1em]\nabla \left({\frac {\mathbf {A} }{\phi }}\right)&={\frac {\phi \,\nabla \mathbf {A} -\nabla \phi \otimes \mathbf {A} }{\phi ^{2}}}\\[1em]\nabla \cdot \left({\frac {\mathbf {A} }{\phi }}\right)&={\frac {\phi \,\nabla {\cdot }\mathbf {A} -\nabla \!\phi \cdot \mathbf {A} }{\phi ^{2}}}\\[1em]\nabla \times \left({\frac {\mathbf {A} }{\phi }}\right)&={\frac {\phi \,\nabla {\times }\mathbf {A} -\nabla \!\phi \,{\times }\,\mathbf {A} }{\phi ^{2}}}\\[1em]\nabla ^{2}\left({\frac {\psi }{\phi }}\right)&={\frac {\phi \,\nabla ^{2\!}\psi -2\,\phi \,\nabla \!\left({\frac {\psi }{\phi }}\right)\cdot \!\nabla \phi -\psi \,\nabla ^{2\!}\phi }{\phi ^{2}}}\end{aligned}}}$

をスカラーからスカラーへの 1 変数関数、パラメーター化された曲線、ベクトルからスカラーへの関数、およびベクトル場とします。多変数連鎖律の特殊なケースとして次のものがあります。 ${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle \mathbf {r} (t)=(x_{1}(t),\ldots ,x_{n}(t))}$${\displaystyle \phi \!:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbf {A} \!:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla (f\circ \phi )&=\left(f'\circ \phi \right)\nabla \phi \\(\mathbf {r} \circ f)'&=(\mathbf {r} '\circ f)f'\\(\phi \circ \mathbf {r} )'&=(\nabla \phi \circ \mathbf {r} )\cdot \mathbf {r} '\\(\mathbf {A} \circ \mathbf {r} )'&=\mathbf {r} '\cdot (\nabla \mathbf {A} \circ \mathbf {r} )\\\nabla (\phi \circ \mathbf {A} )&=(\nabla \mathbf {A} )\cdot (\nabla \phi \circ \mathbf {A} )\\\nabla \cdot (\mathbf {r} \circ \phi )&=\nabla \phi \cdot (\mathbf {r} '\circ \phi )\\\nabla \times (\mathbf {r} \circ \phi )&=\nabla \phi \times (\mathbf {r} '\circ \phi )\end{aligned}}}$

ベクトル変換の場合、次のようになります。 ${\displaystyle \mathbf {x} \!:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \nabla \cdot (\mathbf {A} \circ \mathbf {x} )=\mathrm {tr} \left((\nabla \mathbf {x} )\cdot (\nabla \mathbf {A} \circ \mathbf {x} )\right)}$

ここでは、2 つの 2 次テンソルのドット積の トレースを取得します。これは、それらの行列の積に対応します。

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla (\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )&\ =\ (\mathbf {A} \cdot \nabla )\mathbf {B} \,+\,(\mathbf {B} \cdot \nabla )\mathbf {A} \,+\,\mathbf {A} {\times }(\nabla {\times }\mathbf {B} )\,+\,\mathbf {B} {\times }(\nabla {\times }\mathbf {A} )\\&\ =\ \mathbf {A} \cdot \mathbf {J} _{\mathbf {B} }+\mathbf {B} \cdot \mathbf {J} _{\mathbf {A} }\ =\ (\nabla \mathbf {B} )\cdot \mathbf {A} \,+\,(\nabla \mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} \end{aligned}}}$

ここで はベクトル場 のヤコビ行列を表します。 ${\displaystyle \mathbf {J} _{\mathbf {A} }=(\nabla \!\mathbf {A} )^{\textsf {T}}=(\partial A_{i}/\partial x_{j})_{ij}}$${\displaystyle \mathbf {A} =(A_{1},\ldots ,A_{n})}$

あるいは、ファインマンの添え字表記法を使うと、

${\displaystyle \nabla (\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )=\nabla _{\mathbf {A} }(\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )+\nabla _{\mathbf {B} }(\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )\ .}$

こちらのノートを参照。^[4]

特別な場合として、A = B のとき、

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\nabla \left(\mathbf {A} \cdot \mathbf {A} \right)\ =\ \mathbf {A} \cdot \mathbf {J} _{\mathbf {A} }\ =\ (\nabla \mathbf {A} )\cdot \mathbf {A} \ =\ (\mathbf {A} {\cdot }\nabla )\mathbf {A} \,+\,\mathbf {A} {\times }(\nabla {\times }\mathbf {A} )\ =\ A\nabla A.}$

ドット積公式のリーマン多様体への一般化は、ベクトル場を微分してベクトル値1 形式を与えるリーマン接続の定義特性です。

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )&\ =\ (\nabla \mathbf {A} )\times \mathbf {B} \,-\,(\nabla \mathbf {B} )\times \mathbf {A} \\[5pt]\nabla \cdot (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )&\ =\ (\nabla {\times }\mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} \,-\,\mathbf {A} \cdot (\nabla {\times }\mathbf {B} )\\[5pt]\nabla \times (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )&\ =\ \mathbf {A} (\nabla {\cdot }\mathbf {B} )\,-\,\mathbf {B} (\nabla {\cdot }\mathbf {A} )\,+\,(\mathbf {B} {\cdot }\nabla )\mathbf {A} \,-\,(\mathbf {A} {\cdot }\nabla )\mathbf {B} \\[2pt]&\ =\ \mathbf {A} (\nabla {\cdot }\mathbf {B} )\,+\,(\mathbf {B} {\cdot }\nabla )\mathbf {A} \,-\,(\mathbf {B} (\nabla {\cdot }\mathbf {A} )\,+\,(\mathbf {A} {\cdot }\nabla )\mathbf {B} )\\[2pt]&\ =\ \nabla {\cdot }\left(\mathbf {B} \mathbf {A} ^{\textsf {T}}\right)\,-\,\nabla {\cdot }\left(\mathbf {A} \mathbf {B} ^{\textsf {T}}\right)\\[2pt]&\ =\ \nabla {\cdot }\left(\mathbf {B} \mathbf {A} ^{\textsf {T}}\,-\,\mathbf {A} \mathbf {B} ^{\textsf {T}}\right)\\[5pt]\mathbf {A} \times (\nabla \times \mathbf {B} )&\ =\ \nabla _{\mathbf {B} }(\mathbf {A} {\cdot }\mathbf {B} )\,-\,(\mathbf {A} {\cdot }\nabla )\mathbf {B} \\[2pt]&\ =\ \mathbf {A} \cdot \mathbf {J} _{\mathbf {B} }\,-\,(\mathbf {A} {\cdot }\nabla )\mathbf {B} \\[2pt]&\ =\ (\nabla \mathbf {B} )\cdot \mathbf {A} \,-\,\mathbf {A} \cdot (\nabla \mathbf {B} )\\[2pt]&\ =\ \mathbf {A} \cdot (\mathbf {J} _{\mathbf {B} }\,-\,\mathbf {J} _{\mathbf {B} }^{\textsf {T}})\\[5pt](\mathbf {A} \times \nabla )\times \mathbf {B} &\ =\ (\nabla \mathbf {B} )\cdot \mathbf {A} \,-\,\mathbf {A} (\nabla {\cdot }\mathbf {B} )\\[2pt]&\ =\ \mathbf {A} \times (\nabla \times \mathbf {B} )\,+\,(\mathbf {A} {\cdot }\nabla )\mathbf {B} \,-\,\mathbf {A} (\nabla {\cdot }\mathbf {B} )\\[5pt](\mathbf {A} \times \nabla )\cdot \mathbf {B} &\ =\ \mathbf {A} \cdot (\nabla {\times }\mathbf {B} )\end{aligned}}}$

行列は反対称であることに注意してください。 ${\displaystyle \mathbf {J} _{\mathbf {B} }\,-\,\mathbf {J} _{\mathbf {B} }^{\textsf {T}}}$

任意の連続2回微分可能なベクトル場Aの回転の発散は常にゼロです。 $${\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {A} )=0}$$

これは、 De Rham連鎖複体における外微分の二乗が消失する特殊なケースです。

スカラー場のラプラシアンはその勾配の発散です。 結果はスカラー量です。 $${\displaystyle \Delta \psi =\nabla ^{2}\psi =\nabla \cdot (\nabla \psi )}$$

ベクトル場Aの発散はスカラーであり、スカラー量の発散は定義されていない。したがって、 $${\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \cdot \mathbf {A} ){\text{ is undefined.}}}$$

任意の連続的に2回微分可能なスカラー場（すなわち、微分可能クラス）の勾配の回転は常にゼロベクトルです。 ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle C^{2}}$$${\displaystyle \nabla \times (\nabla \varphi )=\mathbf {0} .}$$

これは、シュワルツの定理（混合偏微分の等式に関するクレローの定理とも呼ばれる）を使用して直交座標系で表現することで簡単に証明できます。この結果は、ド・ラーム鎖複体における外微分の2乗が消失する特殊なケースです。 ${\displaystyle \nabla \times (\nabla \varphi )}$

$${\displaystyle \nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {A} \right)\ =\ \nabla (\nabla {\cdot }\mathbf {A} )\,-\,\nabla ^{2\!}\mathbf {A} }$$

ここで∇2^はベクトル場A上で作用するベクトルラプラシアンです。

ベクトル場Aの発散はスカラーであり、スカラー量の回転は定義されていない。したがって、 $${\displaystyle \nabla \times (\nabla \cdot \mathbf {A} ){\text{ is undefined.}}}$$

${\displaystyle {\begin{aligned}(\nabla \cdot \nabla )\psi &=\nabla \cdot (\nabla \psi )=\nabla ^{2}\psi \\(\nabla \cdot \nabla )\mathbf {A} &=\nabla \cdot (\nabla \mathbf {A} )=\nabla ^{2}\mathbf {A} \\(\nabla \times \nabla )\psi &=\nabla \times (\nabla \psi )=\mathbf {0} \\(\nabla \times \nabla )\mathbf {A} &=\nabla \times (\nabla \mathbf {A} )=\mathbf {0} \end{aligned}}}$

右の図は、これらのアイデンティティの一部を記憶するためのものです。使用される略語は次のとおりです。

• D: 発散、
• C: カール、
• G: グラデーション、
• L: ラプラシアン、
• CC: カールのカール。

各矢印には、恒等式の結果、具体的には矢印の末尾の演算子を矢印の先頭の演算子に適用した結果がラベル付けされています。中央の青い円は回転が存在することを意味し、他の 2 つの赤い円 (破線) は DD と GG が存在しないことを意味します。

• ${\displaystyle \nabla (\psi +\phi )=\nabla \psi +\nabla \phi }$
• ${\displaystyle \nabla (\psi \phi )=\phi \nabla \psi +\psi \nabla \phi }$
• ${\displaystyle \nabla (\psi \mathbf {A} )=\nabla \psi \otimes \mathbf {A} +\psi \nabla \mathbf {A} }$
• ${\displaystyle \nabla (\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )=(\mathbf {A} \cdot \nabla )\mathbf {B} +(\mathbf {B} \cdot \nabla )\mathbf {A} +\mathbf {A} \times (\nabla \times \mathbf {B} )+\mathbf {B} \times (\nabla \times \mathbf {A} )}$

• ${\displaystyle \nabla \cdot (\mathbf {A} +\mathbf {B} )=\nabla \cdot \mathbf {A} +\nabla \cdot \mathbf {B} }$
• ${\displaystyle \nabla \cdot \left(\psi \mathbf {A} \right)=\psi \nabla \cdot \mathbf {A} +\mathbf {A} \cdot \nabla \psi }$
• ${\displaystyle \nabla \cdot \left(\mathbf {A} \times \mathbf {B} \right)=(\nabla \times \mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} -(\nabla \times \mathbf {B} )\cdot \mathbf {A} }$

• ${\displaystyle \nabla \times (\mathbf {A} +\mathbf {B} )=\nabla \times \mathbf {A} +\nabla \times \mathbf {B} }$
• ${\displaystyle \nabla \times \left(\psi \mathbf {A} \right)=\psi \,(\nabla \times \mathbf {A} )-(\mathbf {A} \times \nabla )\psi =\psi \,(\nabla \times \mathbf {A} )+(\nabla \psi )\times \mathbf {A} }$
• ${\displaystyle \nabla \times \left(\psi \nabla \phi \right)=\nabla \psi \times \nabla \phi }$
• ${\displaystyle \nabla \times \left(\mathbf {A} \times \mathbf {B} \right)=\mathbf {A} \left(\nabla \cdot \mathbf {B} \right)-\mathbf {B} \left(\nabla \cdot \mathbf {A} \right)+\left(\mathbf {B} \cdot \nabla \right)\mathbf {A} -\left(\mathbf {A} \cdot \nabla \right)\mathbf {B} }$^[5]

• ${\displaystyle (\mathbf {A} \cdot \nabla )\mathbf {B} ={\frac {1}{2}}{\bigg [}\nabla (\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )-\nabla \times (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )-\mathbf {B} \times (\nabla \times \mathbf {A} )-\mathbf {A} \times (\nabla \times \mathbf {B} )-\mathbf {B} (\nabla \cdot \mathbf {A} )+\mathbf {A} (\nabla \cdot \mathbf {B} ){\bigg ]}}$^[6]

• ${\displaystyle (\mathbf {A} \cdot \nabla )\mathbf {A} ={\frac {1}{2}}\nabla |\mathbf {A} |^{2}-\mathbf {A} \times (\nabla \times \mathbf {A} )={\frac {1}{2}}\nabla |\mathbf {A} |^{2}+(\nabla \times \mathbf {A} )\times \mathbf {A} }$
• ${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \nabla (\mathbf {B} \cdot \mathbf {B} )=2\mathbf {B} \cdot (\mathbf {A} \cdot \nabla )\mathbf {B} }$

• ${\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {A} )=0}$
• ${\displaystyle \nabla \times (\nabla \psi )=\mathbf {0} }$
• ${\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \psi )=\nabla ^{2}\psi }$ (スカラーラプラシアン)
• ${\displaystyle \nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {A} \right)-\nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {A} \right)=\nabla ^{2}\mathbf {A} }$ (ベクトルラプラシアン)
• ${\displaystyle \nabla \cdot (\phi \nabla \psi )=\phi \nabla ^{2}\psi +\nabla \phi \cdot \nabla \psi }$
• ${\displaystyle \psi \nabla ^{2}\phi -\phi \nabla ^{2}\psi =\nabla \cdot \left(\psi \nabla \phi -\phi \nabla \psi \right)}$
• ${\displaystyle \nabla ^{2}(\phi \psi )=\phi \nabla ^{2}\psi +2(\nabla \phi )\cdot (\nabla \psi )+\left(\nabla ^{2}\phi \right)\psi }$
• ${\displaystyle \nabla ^{2}(\psi \mathbf {A} )=\mathbf {A} \nabla ^{2}\psi +2(\nabla \psi \cdot \nabla )\mathbf {A} +\psi \nabla ^{2}\mathbf {A} }$
• ${\displaystyle \nabla ^{2}(\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )=\mathbf {A} \cdot \nabla ^{2}\mathbf {B} -\mathbf {B} \cdot \nabla ^{2}\!\mathbf {A} +2\nabla \cdot ((\mathbf {B} \cdot \nabla )\mathbf {A} +\mathbf {B} \times (\nabla \times \mathbf {A} ))}$（グリーンのベクトル恒等式）

• ${\displaystyle \nabla ^{2}(\nabla \psi )=\nabla (\nabla \cdot (\nabla \psi ))=\nabla \left(\nabla ^{2}\psi \right)}$
• ${\displaystyle \nabla ^{2}(\nabla \cdot \mathbf {A} )=\nabla \cdot (\nabla (\nabla \cdot \mathbf {A} ))=\nabla \cdot \left(\nabla ^{2}\mathbf {A} \right)}$
• ${\displaystyle \nabla ^{2}(\nabla \times \mathbf {A} )=-\nabla \times (\nabla \times (\nabla \times \mathbf {A} ))=\nabla \times \left(\nabla ^{2}\mathbf {A} \right)}$

以下では、波記号 ∂ は表面または立体 の「境界」を意味します。

以下の表面積積分定理において、V は対応する2次元境界 S = ∂ V (閉じた面)を持つ3次元体積を表します。

• ${\displaystyle \scriptstyle \partial V}$ ${\displaystyle \psi \,d\mathbf {S} \ =\ \iiint _{V}\nabla \psi \,dV}$
• ${\displaystyle \scriptstyle \partial V}$ ${\displaystyle \mathbf {A} \cdot d\mathbf {S} \ =\ \iiint _{V}\nabla \cdot \mathbf {A} \,dV}$ （発散定理）
• ${\displaystyle \scriptstyle \partial V}$ ${\displaystyle \mathbf {A} \times d\mathbf {S} \ =\ -\iiint _{V}\nabla \times \mathbf {A} \,dV}$
• ${\displaystyle \scriptstyle \partial V}$ ${\displaystyle \psi \nabla \!\varphi \cdot d\mathbf {S} \ =\ \iiint _{V}\left(\psi \nabla ^{2}\!\varphi +\nabla \!\varphi \cdot \nabla \!\psi \right)\,dV}$ （グリーンの最初のアイデンティティ）
• ${\displaystyle \scriptstyle \partial V}$ ${\displaystyle \left(\psi \nabla \!\varphi -\varphi \nabla \!\psi \right)\cdot d\mathbf {S} \ =\ }$ ${\displaystyle \scriptstyle \partial V}$ ${\displaystyle \left(\psi {\frac {\partial \varphi }{\partial n}}-\varphi {\frac {\partial \psi }{\partial n}}\right)dS}$ ${\displaystyle \displaystyle \ =\ \iiint _{V}\left(\psi \nabla ^{2}\!\varphi -\varphi \nabla ^{2}\!\psi \right)\,dV}$ （グリーンの第二のアイデンティティ）
• ${\displaystyle \iiint _{V}\mathbf {A} \cdot \nabla \psi \,dV\ =\ }$ ${\displaystyle \scriptstyle \partial V}$ ${\displaystyle \psi \mathbf {A} \cdot d\mathbf {S} -\iiint _{V}\psi \nabla \cdot \mathbf {A} \,dV}$ （部分積分）
• ${\displaystyle \iiint _{V}\psi \nabla \cdot \mathbf {A} \,dV\ =\ }$ ${\displaystyle \scriptstyle \partial V}$ ${\displaystyle \psi \mathbf {A} \cdot d\mathbf {S} -\iiint _{V}\mathbf {A} \cdot \nabla \psi \,dV}$ （部分積分）
• ${\displaystyle \iiint _{V}\mathbf {A} \cdot \left(\nabla \times \mathbf {B} \right)\,dV\ =\ -}$ ${\displaystyle \scriptstyle \partial V}$ ${\displaystyle \left(\mathbf {A} \times \mathbf {B} \right)\cdot d\mathbf {S} +\iiint _{V}\left(\nabla \times \mathbf {A} \right)\cdot \mathbf {B} \,dV}$ （部分積分）
• ${\displaystyle \scriptstyle \partial V}$ ${\displaystyle \mathbf {A} \times \left(d\mathbf {S} \cdot \left(\mathbf {B} \mathbf {C} ^{\textsf {T}}\right)\right)\ =\ \iiint _{V}\mathbf {A} \times \left(\nabla \cdot \left(\mathbf {B} \mathbf {C} ^{\textsf {T}}\right)\right)\,dV+\iiint _{V}\mathbf {B} \cdot (\nabla \mathbf {A} )\times \mathbf {C} \,dV}$ ^[7]
• ${\displaystyle \iiint _{V}\left(\nabla \cdot \mathbf {B} +\mathbf {B} \cdot \nabla \right)\mathbf {A} \,dV\ =\ }$ ${\displaystyle \scriptstyle \partial V}$ ${\displaystyle \left(\mathbf {B} \cdot d\mathbf {S} \right)\mathbf {A} }$ ^[8]

以下の曲線-面積分定理において、S は対応する 1d 境界C = ∂ S (閉曲線)を持つ 2d 開面を表します。

• ${\displaystyle \oint _{\partial S}\mathbf {A} \cdot d{\boldsymbol {\ell }}\ =\ \iint _{S}\left(\nabla \times \mathbf {A} \right)\cdot d\mathbf {S} }$ （ストークスの定理）
• ${\displaystyle \oint _{\partial S}\psi \,d{\boldsymbol {\ell }}\ =\ -\iint _{S}\nabla \psi \times d\mathbf {S} }$
• ${\displaystyle \oint _{\partial S}\mathbf {A} \times d{\boldsymbol {\ell }}\ =\ -\iint _{S}\left(\nabla \mathbf {A} -(\nabla \cdot \mathbf {A} )\mathbf {1} \right)\cdot d\mathbf {S} \ =\ -\iint _{S}\left(d\mathbf {S} \times \nabla \right)\times \mathbf {A} }$
• ${\displaystyle \oint _{\partial S}\mathbf {A} \times (\mathbf {B} \times d{\boldsymbol {\ell }})\ =\ \iint _{S}\left(\nabla \times \left(\mathbf {A} \mathbf {B} ^{\textsf {T}}\right)\right)\cdot d\mathbf {S} +\iint _{S}\left(\nabla \cdot \left(\mathbf {B} \mathbf {A} ^{\textsf {T}}\right)\right)\times d\mathbf {S} }$ ^[9]
• ${\displaystyle \oint _{\partial S}(\mathbf {B} \cdot d{\boldsymbol {\ell }})\mathbf {A} =\iint _{S}(d\mathbf {S} \cdot \left[\nabla \times \mathbf {B} -\mathbf {B} \times \nabla \right])\mathbf {A} }$ ^[10]

閉曲線の周りの時計回りの積分は、同じ線積分の反時計回りの負の値です（定積分における極限の交換に似ています）。

次の端点曲線積分定理において、P は符号付き 0d 境界点を持つ 1d 開路を表し、Pに沿った積分は からまでです。 ${\displaystyle \mathbf {q} -\mathbf {p} =\partial P}$${\displaystyle \mathbf {p} }$${\displaystyle \mathbf {q} }$

• ${\displaystyle \psi |_{\partial P}=\psi (\mathbf {q} )-\psi (\mathbf {p} )=\int _{P}\nabla \psi \cdot d{\boldsymbol {\ell }}}$ （勾配定理）
• ${\displaystyle \mathbf {A} |_{\partial P}=\mathbf {A} (\mathbf {q} )-\mathbf {A} (\mathbf {p} )=\int _{P}\left(d{\boldsymbol {\ell }}\cdot \nabla \right)\mathbf {A} }$
• ${\displaystyle \mathbf {A} |_{\partial P}=\mathbf {A} (\mathbf {q} )-\mathbf {A} (\mathbf {p} )=\int _{P}\left(\nabla \mathbf {A} \right)\cdot d{\boldsymbol {\ell }}+\int _{P}\left(\nabla \times \mathbf {A} \right)\times d{\boldsymbol {\ell }}}$

ベクトル積分定理のテンソル形式は、ベクトル（またはベクトルの1つ）をテンソルに置き換えることによって得られます。ただし、そのベクトルは、まず各積分関数の最も右側のベクトルとしてのみ現れるようにする必要があります。たとえば、ストークスの定理は次のようになります。

${\displaystyle \oint _{\partial S}d{\boldsymbol {\ell }}\cdot \mathbf {T} \ =\ \iint _{S}d\mathbf {S} \cdot \left(\nabla \times \mathbf {T} \right)}$。

スカラー場はベクトルとして扱われ、ベクトルまたはテンソルに置き換えられることもある。例えば、グリーンの最初の恒等式は次のようになる。

${\displaystyle \scriptstyle \partial V}$ ${\displaystyle \psi \,d\mathbf {S} \cdot \nabla \!\mathbf {A} \ =\ \iiint _{V}\left(\psi \nabla ^{2}\!\mathbf {A} +\nabla \!\psi \cdot \nabla \!\mathbf {A} \right)\,dV}$。

代数式や微分式にも同様の規則が適用されます。代数式の場合は、代わりに最も左のベクトルの位置を使用することもできます。

• ベクトル代数と幾何代数の比較
• 円筒座標と球座標における Del  – 特定の座標系における数学的勾配演算子
• 微分法の規則 – 関数の微分を計算するための規則
• 外部計算の等式
• 外微分 – 微分形式上の演算
• 制限のリスト
• 導関数表 – 関数の導関数を計算するための規則Pages displaying short descriptions of redirect targets
• ベクトル代数関係 – 3次元ユークリッド空間におけるベクトルに関する公式