マーシャルの需要関数

ミクロ経済学において、消費者のマーシャルの需要関数（アルフレッド・マーシャルにちなんで名付けられた）は、特定の財に対する消費者の需要量を、その財の価格、消費者の所得、および他の財の価格の関数として表したものであり、標準的な需要関数のより技術的な説明である。これは、消費者が所与の所得と価格に対してどのように効用を最大化できるかという効用最大化問題の解である。同義語は「無補償需要関数」である。これは、価格が上昇しても、ヒックスの需要関数とは異なり、消費者は実質所得の減少に対して名目所得の増加で補償されないからである。したがって、需要量の変化は、代替効果と資産効果の組み合わせである。マーシャルの需要は部分均衡理論の文脈ではあるが、一般均衡理論で使用されるワルラスの需要（レオン・ワルラスにちなんで名付けられた） と呼ばれることもある。

効用最大化問題によれば、価格ベクトルと選択可能な数量ベクトルを持つ商品が存在する。消費者には所得があり、したがって手頃な価格のパッケージの 予算セットがある。${\displaystyle L}$${\displaystyle p}$${\displaystyle x}$${\displaystyle I}$

${\displaystyle B(p,I)=\{x:p\cdot x\leq I\},}$

ここで、は価格ベクトルと数量ベクトルの内積である。消費者は効用関数を持つ。${\displaystyle p\cdot x=\sum _{i}^{L}p_{i}x_{i}}$

${\displaystyle u:\mathbb {R} _{+}^{L}\rightarrow \mathbb {R} .}$

消費者のマーシャル需要対応は次のように定義される。

${\displaystyle x^{*}(p,I)=\operatorname {argmax} _{x\in B(p,I)}u(x)}$

マーシャルの理論は、効用の追求は消費者にとって、商品やサービスの消費を通じて達成できる動機付け要因であると示唆しています。消費者の効用の量は、特定の商品の消費レベルに依存しており、これは人間の本質的な傾向に左右され、限界効用逓減の法則として説明されています。

効用最大値は常に存在するため、標準予算セットに対応するすべての値において、マーシャルの需要対応は空でなければなりません。

${\displaystyle x^{*}(p,I)}$は、一般にセット値となる可能性があるため、対応と呼ばれます。つまり、同じ最大効用を達成する複数の異なるバンドルが存在する可能性があります。場合によっては、価格と所得の状況ごとに、効用を最大化する一意のバンドルが存在することがあります。その場合、は関数であり、マーシャルの需要関数と呼ばれます。 ${\displaystyle x^{*}(p,I)}$

消費者が厳密に凸な選好を持ち、すべての財の価格が厳密に正である場合、効用を最大化する唯一のバンドルが存在します。^{[1] : 156}これを証明するには、矛盾により、効用を最大化する2 つの異なるバンドルとがあると仮定します。このとき、 と は同等に好まれます。厳密な凸性の定義により、混合バンドルはよりも厳密に優れています。しかし、これは の最適性と矛盾します。 ${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle x_{2}}$${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle x_{2}}$${\displaystyle 0.5x_{1}+0.5x_{2}}$${\displaystyle x_{1},x_{2}}$${\displaystyle x_{1},x_{2}}$

最大値定理は、次のことを意味します。

• 効用関数はに関して連続である。${\displaystyle u(x)}$${\displaystyle x}$
• 対応は空でなく、コンパクト値を持ち、に関して連続である。${\displaystyle B(p,I)}$${\displaystyle p,I}$

は上半連続対応である。さらに、が一意であれば、それはおよびの連続関数である。^{[1] : 156, 506}${\displaystyle x^{*}(p,I)}$${\displaystyle x^{*}(p,I)}$${\displaystyle p}$${\displaystyle I}$

前のサブセクションと組み合わせると、消費者が厳密に凸状の選好を持っている場合、マーシャルの需要は一意かつ連続的です。対照的に、選好が凸状でない場合、マーシャルの需要は一意でなく、連続的ではない可能性があります。

連続効用関数の最適マーシャル需要対応は、次数0の同次関数である。これは、任意の定数に対して${\displaystyle a>0,}$

${\displaystyle x^{*}(a\cdot p,a\cdot I)=x^{*}(p,I).}$

これは直感的に明らかです。と がドルで測定されていると仮定します。、、 がセントで測定されたまったく同じ量である場合。 価格と富が係数 a だけ上昇すると、経済主体の購買パターンは一定のままです。 明らかに、価格と所得を異なる測定単位で表しても、需要には影響しません。 ${\displaystyle p}$${\displaystyle I}$${\displaystyle a=100}$${\displaystyle ap}$${\displaystyle aI}$

マーシャルの理論は、需要曲線が個人の財の限界価値の減少を表すことを利用しています。この理論では、消費者の購買決定は、価格と比較した財またはサービスの獲得効用に依存すると主張しています。これは、消費者が得る追加の効用が少なくとも価格と同じでなければならないためです。次の提案は、要求される価格が、消費者が追加の財またはサービス 1 単位に支払う最大価格に等しいことを提案しています。したがって、効用は需要曲線に沿って一定に保たれます。所得の限界効用が一定である場合、またはその値が市場需要曲線内の個人間で同じである場合、購入単位の純利益、つまり消費者余剰を生み出すことは、需要価格を加算することによって可能です。

次の例では、商品 1 と 2 の 2 つの商品があります。

1. 効用関数はコブ・ダグラス型である。

${\displaystyle u(x_{1},x_{2})=x_{1}^{\alpha }x_{2}^{\beta }.}$

制約付き最適化により、マーシャルの需要関数が得られます。

${\displaystyle x^{*}(p_{1},p_{2},I)=\left({\frac {\alpha I}{(\alpha +\beta )p_{1}}},{\frac {\beta I}{(\alpha +\beta )p_{2}}}\right).}$

2. 効用関数はCES効用関数である。

${\displaystyle u(x_{1},x_{2})=\left[{\frac {x_{1}^{\delta }}{\delta }}+{\frac {x_{2}^{\delta }}{\delta }}\right]^{\​​frac {1}{\delta }}.}$

それから ${\displaystyle x^{*}(p_{1},p_{2},I)=\left({\frac {Ip_{1}^{\epsilon -1}}{p_{1}^{\epsilon }+p_{2}^{\epsilon }}},{\frac {Ip_{2}^{\epsilon -1}}{p_{1}^{\epsilon }+p_{2}^{\epsilon }}}\right),\quad {\text{with}}\quad \epsilon ={\frac {\delta }{\delta -1}}.}$

どちらの場合も、選好は厳密に凸型であり、需要は一意であり、需要関数は連続的です。

3. 効用関数は線形形式をとる：

${\displaystyle u(x_{1},x_{2})=x_{1}+x_{2}.}$

効用関数は弱凸関数であり、需要は一意ではありません。 のとき、消費者は収入を製品タイプ 1 と 2 の間で任意の比率に分割し、同じ効用を得ることができます。 ${\displaystyle p_{1}=p_{2}}$

4. 効用関数は、限界代替率が減少しないことを示している。

${\displaystyle u(x_{1},x_{2})=(x_{1}^{\alpha }+x_{2}^{\alpha }),\quad {\text{with}}\quad \alpha >1.}$

効用関数は凸ではなく、実際需要は連続ではありません。 のとき、消費者は製品 1 のみを要求し、 のとき、消費者は製品 2 のみを要求します (需要の対応に 2 つの異なるバンドル (製品 1 のみを購入するか、製品 2 のみを購入するかのいずれか) が含まれる場合)。 ${\displaystyle p_{1}$${\displaystyle p_{2}$${\displaystyle p_{1}=p_{2}}$

• ヒックス需要関数
• 効用最大化問題
• スルツキー方程式
• 派生需要のヒックス・マーシャルの法則

• マスコレル、アンドリュー、ウィンストン、マイケル、グリーン、ジェリー（1995年）。ミクロ経済理論。オックスフォード：オックスフォード大学出版局。ISBN 0-19-507340-1。
• ニコルソン、ウォルター (1978)。ミクロ経済理論（第2版）。ヒンズデール：ドライデン・プレス。pp.90–93。ISBN 0-03-020831-9。
• シルバーバーグ、E. (2008)。ヒックス的およびマーシャル的要求。ロンドン：パルグレイブ・マクミラン、ロンドン。ISBN 978-1-349-95121-5。
• レビン、ジョナサン、ミルグロム、ポール（2004年10月）。「消費者理論」（PDF） 。 2021年4月22日閲覧。
• ウォン、スタンリー (2006)。ポール・サミュエルソンの顕示選好理論の基礎(PDF) (改訂版)。ラウトレッジ。ISBN 0-203-34983-0. 2021年4月19日閲覧。