支出関数

ミクロ経済学では、支出関数は、効用関数と入手可能な商品の価格 が与えられた場合に、個人が一定レベルの効用を達成するために費やす必要のある最小限の金額を示します。

正式には、 n個の財に対する選好を記述する効用関数がある場合、支出関数は ${\displaystyle u}$

${\displaystyle e(p,u^{*}):{\textbf {R}}_{+}^{n}\times {\textbf {R}}\rightarrow {\textbf {R}}}$

は、 n個の価格が価格ベクトルで与えられた場合に効用を達成するために必要な金額を表します。この関数は次のように定義されます。 ${\displaystyle u^{*}}$${\displaystyle p}$

${\displaystyle e(p,u^{*})=\min _{x\in \geq (u^{*})}p\cdot x}$

どこ

${\displaystyle \geq (u^{*})=\{x\in {\textbf {R}}_{+}^{n}:u(x)\geq u^{*}\}}$

は、少なくとも と同等の効用を与えるすべてのバンドルの集合です。 ${\displaystyle u^{*}}$

同様に表現すると、個人は、様々な財の消費量を関数として 、価格 として与えるという最小効用制約の下で支出を最小化する。すると、支出関数は${\displaystyle x_{1}p_{1}+\dots +x_{n}p_{n}}$${\displaystyle u(x_{1},\dots ,x_{n})\geq u^{*},}$${\displaystyle x_{1}^{*},\dots x_{n}^{*}}$${\displaystyle u^{*}}$

${\displaystyle e(p_{1},\dots ,p_{n};u^{*})=p_{1}x_{1}^{*}+\dots +p_{n}x_{n}^{*}.}$

（支出関数の性質）uがRn +上の局所的に不飽和な選好関係ºを表す連続効用関数であるとする。e(p, u)は

1. p において 1 次同次: すべての および に対して、${\displaystyle \lambda >0}$${\displaystyle e(\lambda p,u)=\lambda e(p,u);}$

2. 継続中および${\displaystyle p}$${\displaystyle u;}$

3.提供された${\displaystyle p}$${\displaystyle u}$${\displaystyle p\gg 0;}$

4. 凹面${\displaystyle p}$

5. 効用関数が厳密に準凹である場合、シェパードの補題が存在する。

証拠

（１）上記の命題と同様に、

${\displaystyle e(\lambda p,u)=\min _{x\in \mathbb {R} _{+}^{n}:u(x)\geq u}}$ ${\displaystyle \lambda p\cdot x=\lambda \min _{x\in \mathbb {R} _{+}^{n}:u(x)\geq u}}$ ${\displaystyle p\cdot x=\lambda e(p,u)}$

（２）ドメインを続行する ：${\displaystyle e}$${\displaystyle {\textbf {R}}_{++}^{N}*{\textbf {R}}\rightarrow {\textbf {R}}}$

(3) およびと仮定する。すると、 および となる。このことから直ちに となる。 ${\displaystyle p^{\prime}>p}$${\displaystyle x\in h(p^{\prime },u)}$${\displaystyle u(h)\geq u}$${\displaystyle e(p^{\prime },u)=p^{\prime }\cdot x\geq p\cdot x}$${\displaystyle e(p,u)\leq e(p^{\prime },u)}$

2番目の命題については、逆に、あるに対して であると仮定すると、ある に対して となり、これは前の命題の「超過効用はない」という結論と矛盾する。 ${\displaystyle u^{\prime }>u}$${\displaystyle e(p,u^{\prime })\leq e(p,u)}$${\displaystyle x\in h(p,u)}$${\displaystyle u(x)=u^{\prime }>u}$

(4) とし、 と仮定する。すると、となり、 となる。 ${\displaystyle t\in (0,1)}$${\displaystyle x\in h(tp+(1-t)p^{\prime })}$${\displaystyle p\cdot x\geq e(p,u)}$${\displaystyle p^{\prime }\cdot x\geq e(p^{\prime },u)}$${\displaystyle e(tp+(1-t)p^{\prime },u)=(tp+(1-t)p^{\prime })\cdot x\geq }$${\displaystyle te(p,u)+(1-t)e(p^{\prime },u)}$

（５）${\displaystyle {\frac {\delta (p^{0},u^{0})}{\delta p_{i}}}=x_{i}^{h}(p^{0},u^{0})}$

支出関数は、価格が一定に保たれている場合の間接効用関数の逆関数である。すなわち、あらゆる価格ベクトルと所得水準に対して：^{[1] ：106}${\displaystyle p}$${\displaystyle I}$

${\displaystyle e(p,v(p,I))\equiv I}$

支出関数と効用関数の間には双対関係がある。特定の正規の準凹型効用関数が与えられた場合、対応する価格は同次で、効用は単調増加する支出関数であり、逆に、与えられた価格は同次で、効用は単調増加する支出関数は、正規の準凹型効用関数を生成する。価格が同次で効用が単調増加するという性質に加えて、支出関数は通常、

（１）は非負関数であり、すなわち、${\displaystyle E(P\cdot u)>O;}$

（２）Pについては非減少である、すなわち、 ${\displaystyle E(p^{1}u)>E(p^{2}u),u>Op^{l}>p^{2}>O_{N}}$

（３）E(Pu)は凹関数である。つまり、${\displaystyle e(np^{l}+(1-n)p^{2})u)>\lambda E(p^{1}u)(1-n)E(p^{2}u) y>0}$ ${\displaystyle O<\lambda <1p^{l}\geq O_{N}p^{2}\geq O_{N}}$

支出関数は消費者行動を研究するための重要な理論的手法である。支出関数は生産理論における費用関数と非常によく似ている。効用最大化問題と双対になるのが費用最小化問題である^{[2] [3]}

効用関数が需要関数を生成するコブ・ダグラス関数であると仮定する ^[4]${\displaystyle u(x_{1},x_{2})=x_{1}^{.6}x_{2}^{.4},}$

${\displaystyle x_{1}(p_{1},p_{2},I)={\frac {.6I}{p_{1}}}\;\;\;\;{\rm {and}}\;\;\;x_{2}(p_{1},p_{2},I)={\frac {.4I}{p_{2}}},}$

ここで、消費者の所得です。支出関数を求める 1 つの方法は、まず間接効用関数を求め、それを反転することです。間接効用関数は、効用関数の数量を需要関数に置き換えることで求められます。 ${\displaystyle I}$${\displaystyle v(p_{1},p_{2},I)}$

${\displaystyle v(p_{1},p_{2},I)=u(x_{1}^{*},x_{2}^{*})=(x_{1}^{*})^{.6}(x_{2}^{*})^{.4}=\left({\frac {.6I}{p_{1}}}\right)^{.6}\left({\frac {.4I}{p_{2}}}\right)^{.4}=(.6^{.6}\times .4^{.4})I^{.6+.4}p_{1}^{-.6}p_{2}^{-.4}=Kp_{1}^{-.6}p_{2}^{-.4}I,}$

ここで、消費者が最適化する と 、間接効用関数を逆転させて支出関数を見つけることができます。 ${\displaystyle K=(.6^{.6}\times .4^{.4}).}$${\displaystyle e(p_{1},p_{2},u)=e(p_{1},p_{2},v(p_{1},p_{2},I))=I}$

${\displaystyle e(p_{1},p_{2},u)=(1/K)p_{1}^{.6}p_{2}^{.4}u,}$

あるいは、支出関数は、制約を 最小化する問題を解くことによって見つけることができる。 これにより、条件付き需要関数とが得られ 、 支出関数は次のようになる。 ${\displaystyle (p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2})}$${\displaystyle u(x_{1},x_{2})\geq u^{*}.}$${\displaystyle x_{1}^{*}(p_{1},p_{2},u^{*})}$${\displaystyle x_{2}^{*}(p_{1},p_{2},u^{*})}$

${\displaystyle e(p_{1},p_{2},u^{*})=p_{1}x_{1}^{*}+p_{2}x_{2}^{*}}$

• 支出最小化問題
• ヒックス需要関数
• スルツキー方程式
• 効用最大化問題
• 予算制約
• 消費セット
• シェパードの補題

• アンドリュー・マスコレル;マイケル・D・ウィンストン。グリーン、ジェリー R. (2007)。ミクロ経済理論。 59-60ページ。ISBN 978-0-19-510268-0。
• マティス、スティーブン A.、コシアンスキー、ジャネット (2002)。ミクロ経済理論: 統合的アプローチ。アッパーサドルリバー: プレンティスホール。pp. 132–133。ISBN 0-13-011418-9。
• バリアン、ハル・R. (1984)。ミクロ経済分析（第2版）。ニューヨーク：WWノートン。pp. 121–123。ISBN 0-393-95282-7。