経済における凸性

経済学における凸性は、JEL分類コードにJEL: C65として

凸性は、経済学においてさまざまな用途を持つ幾何学的特性です。^[1]非公式には、経済現象が凸状であるとは、「中間物（または組み合わせ）が極端なものよりも優れている」場合です。たとえば、凸状の選好を持つ経済主体は、 1種類の商品をたくさん持つよりも、商品の組み合わせを好みます。これは、同じ商品を多く持つことによる限界効用が減少する一種の現象を表しています。

凸性は多くの経済モデルにおいて重要な単純化の仮定であり、理解しやすく望ましい特性を持つ市場行動につながる。例えば、一般経済均衡のアロー・ドブリューモデルは、選好が凸性で完全競争がある場合、経済におけるあらゆる商品の総供給が総需要に等しくなると仮定している。

対照的に、非凸性は市場の失敗と関連しており、需要と供給が異なる場合や市場の均衡が非効率的になる場合があります。

凸関数とその特性を調べるためのツールを提供する数学の分野は凸解析と呼ばれ、非凸現象は非平滑解析の下で研究されます。

予選

経済学は凸幾何学からの以下の定義と結果に依存します。

実ベクトル空間

線分は凸性をテストします。

2次元の実ベクトル空間には、直交座標系が与えられ、その座標系では、すべての点が2つの実数のリスト（「座標」と呼ばれる）によって識別され、慣例的にxとyで表されます。直交平面上の2つの点は、座標的に 加算することができます。

( x ₁ , y ₁ ) + ( x ₂ , y ₂ ) = ( x ₁ + x ₂ , y ₁ + y ₂ );

さらに、点には各実数λを座標方向に掛け合わせることができる。

λ ( x、y ) = ( λx、λy ) です。

より一般的には、（有限）次元Dの任意の実ベクトル空間は、D 個の実数 { ( v 1 , v 2 , . . . , v D ) } のすべての可能なリストと、ベクトルの加算と_実数による乗算_という2つ_の演算を組み合わせた集合として考えることができます。有限次元ベクトル空間では、ベクトルの加算と実数の乗算の演算はそれぞれ、直交平面の例に従って座標ごとに定義できます。

凸集合

実ベクトル空間では、集合の各点のペアについて、それらを結ぶ線分上のすべての点がその集合で覆われている場合、その集合は凸であると定義されます。たとえば、立方体は凸ですが、三日月形などの中が空洞またはへこんでいるものは非凸です。当然のことながら、空集合は凸です。

より正式には、集合Qが凸であるとは、Q内のすべての点v ₀とv _1と単位区間 $[0,1]$ 内のすべての実数λに対して、点

(1 − λ ) v ₀ + λv ₁

Qのメンバーです。

数学的帰納法によれば、集合Qが凸集合であるためには、Qの要素のすべての凸結合がQにも属さなければならない。定義により、ベクトル空間のインデックス付き部分集合{ v ₀ , v ₁_, . . . , v _D } の凸結合は、方程式_{λ 0} + λ ₁ + . _. . + λ _D = 1 を満たす非負の実数のあるインデックス付き集合 { λ _d }に対して、任意の加重平均λ _{0 v 0} + λ _{1 v 1} + . . . + λ _Dv _Dである。

凸集合の定義は、 2 つの凸集合の交差が凸集合であることを意味します。より一般的には、凸集合の族の交差が凸集合です。

凸包

実ベクトル空間のすべての部分集合Qについて、その凸包Conv( Q )はQ を含む最小の凸集合です。したがって、 Conv( Q ) はQ を覆うすべての凸集合の共通部分です。集合の凸包は、 Q内の点のすべての凸組み合わせの集合として定義することもできます。

二重性: 交差する半空間

支持超平面は幾何学の概念です。超平面は空間を 2 つの半空間に分割します。超平面が次の両方の条件を満たす場合、実 n 空間内の集合を支持すると言われます。 $S$ $\mathbb {R} ^{n}$

$S$ 超平面によって決定される２つの閉じた半空間の１つに完全に含まれる
$S$ 超平面上に少なくとも 1 つの点があります。

ここで、閉じた半空間とは、超平面を含む半空間のことです。

超平面定理の支持

この定理は、が閉凸集合であり、が境界上の点である場合、それを含む支持超平面が存在することを述べています。 $S$ $\mathbb {R} ^{n},$ $x$ $S,$ $x.$

右の 2 番目の図でわかるように、定理の超平面は一意ではない可能性があります。閉集合が凸でない場合、右の 3 番目の図に示すように、定理の記述は境界上のすべての点で真ではありません。 $S$ $S,$

経済

最適な商品バスケットは、図に示すように、消費者の凸型選好セットが予算制約によってサポートされている場合に発生します。選好セットが凸型の場合、消費者の最適な決定セットは凸型セット、たとえば、一意の最適なバスケット (または最適なバスケットの線分) になります。

簡単にするために、消費者の嗜好は連続関数である効用関数によって記述できるものと仮定します。これは、嗜好集合が閉じていることを意味します。(「閉じた集合」の意味については、以下の最適化アプリケーションのサブセクションで説明します。)

非凸性

消費者の嗜好に凹面がある場合、線形予算は均衡をサポートする必要はなく、消費者は割り当て間を行き来することができます。

選好セットが非凸である場合、いくつかの価格は、2つの異なる最適消費決定をサポートする予算を生み出します。たとえば、動物園では、ライオンとワシのコストが同じで、さらに動物園の予算がワシ1羽またはライオン1頭に十分であると想像できます。また、動物園の飼育員はどちらの動物も同等に価値があると考えていると仮定することもできます。この場合、動物園はライオン1頭かワシ1頭を購入します。もちろん、現代の動物園の飼育員は、ワシ半分とライオン半分（またはグリフィン）を購入したいとは思わないでしょう。したがって、現代の動物園の飼育員の選好は非凸です。つまり、動物園の飼育員は、両方の厳密に凸な組み合わせよりも、どちらかの動物を飼うことを好みます。

^{非凸集合は、一般経済均衡[2] 、}市場の失敗^[3]、公共経済学^{[4]の理論に組み込まれている。これらの結果は、ミクロ経済学[5]、一般均衡理論[6]、ゲーム理論[7]、数理経済学[8]、応用数学（経済学者向け）[9]}の大学院レベルの教科書に^記載され^ている^。シャプレー・^フォークマンの^補題の結果は、非凸性が多くの消費者がいる市場の近似均衡と両立することを確立している。これらの結果は、多くの中小企業がいる生産経済にも当てはまる。^[10]

「寡占」（少数の生産者によって支配されている市場）、特に「独占」（一人の生産者によって支配されている市場）では、非凸性は依然として重要である。^[11]大規模生産者が市場力を搾取することへの懸念は、実際に非凸集合に関する文献の始まりとなった。ピエロ・スラッファは1926年に規模の経済性に関して収穫逓増の企業について書き、^[12]その後ハロルド・ホテリングは1938年に限界費用価格設定について書いた。^[13]スラッファとホテリングはどちらも競争相手のいない生産者の市場力を明らかにし、明らかに経済の供給側に関する文献を刺激した。^[14] 非凸集合は、環境財（およびその他の外部性）、^[15]^[16]情報経済学、^[17]株式市場^[11]（およびその他の不完全市場）でも生じる。^[18]^[19]このような応用は、経済学者が非凸集合を研究する動機となり続けた。^[20]

非滑らかな解析

経済学者は、凸解析を一般化する非平滑解析を用いて、非凸集合の研究をますます増やしている。「生産と消費の両方における非凸性は、凸性を超えた数学的ツールを必要とし、さらなる発展は非平滑解析の発明を待たなければならなかった」（例えば、フランシス・クラークの局所的リプシッツ解析）と、Rockafellar & Wets（1998）^[21]およびMordukhovich（2006）^[22]は述べている。Khan（2008）^[23]によると、Brown（1991、pp. 1967–1968）は、「価格設定ルールを持つ企業の一般均衡分析における主要な方法論的革新」は「大域解析（微分位相）と凸解析の[統合]としての非平滑解析の方法の導入」であったと書いている。ブラウン（1991、1966年）によると、「非滑らかな解析は、多様体の局所近似を接平面に拡張し、同様に凸集合の接錐による近似を非滑らかな集合や非凸集合に拡張する」とのことです。^{[24]経済学者は}代数的位相幾何学も使用しています。^[25]

参照

凸双対性

注記

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