マーシャル需要関数

ミクロ経済学において、消費者のマーシャル需要関数（アルフレッド・マーシャルにちなんで命名）は、特定の財の価格、所得、および他の財の価格の関数として消費者が需要する特定の財の量であり、標準的な需要関数をより技術的に説明したものです。これは、消費者が与えられた所得と価格の下でどのように効用を最大化できるかという効用最大化問題の解です。同義語として無補償需要関数があります。これは、ヒックス需要関数とは異なり、価格が上昇しても消費者は実質所得の減少に対して名目所得の増加で補償されないためです。したがって、需要量の変化は代替効果と富効果の組み合わせです。マーシャル需要は部分均衡理論の文脈で使用されますが、一般均衡理論で使用されるワルラス需要（レオン・ワルラスにちなんで命名）と呼ばれることもあります。

効用最大化問題によれば、${\displaystyle L}$価格ベクトルを持つ商品${\displaystyle p}$選択可能な数量ベクトル${\displaystyle x}$消費者は収入を得ている${\displaystyle I}$そのため、手頃な価格のパッケージセットが提供される。

${\displaystyle B(p,I)=\{x:p\cdot x\leq I\},}$

どこ${\displaystyle p\cdot x=\sum _{i}^{L}p_{i}x_{i}}$これは価格ベクトルと数量ベクトルの内積です。消費者は効用関数を持っています。

${\displaystyle u:\mathbb {R} _{+}^{L}\rightarrow \mathbb {R} .}$

消費者のマーシャル需要対応は次のように定義される。

${\displaystyle x^{*}(p,I)=\operatorname {argmax} _{x\in B(p,I)}u(x)}$

マーシャルの理論によれば、効用追求は消費者の動機付け要因であり、それは財やサービスの消費を通じて達成される。消費者の効用量は、特定の財の消費量に依存し、これは人間の本性の根本的な傾向に左右され、限界効用逓減の法則として説明される。

効用最大値は常に存在するため、マーシャルの需要対応は、標準予算集合に対応するすべての値において空集合であってはならない。

${\displaystyle x^{*}(p,I)}$これは一般的にはセット値である可能性があるため、対応と呼ばれます。つまり、同じ最大効用を達成する複数の異なるバンドルが存在する可能性があります。場合によっては、価格と所得の状況ごとに効用を最大化するバンドルが1つだけ存在します。その場合、${\displaystyle x^{*}(p,I)}$これは関数であり、マーシャル需要関数と呼ばれます。

消費者の選好が厳密に凸であり、すべての財の価格が厳密に正である場合、効用を最大化する唯一のバンドルが存在する。^{[ 1 ]： 156}これを証明するために、2つの異なるバンドルが存在すると仮定して背理法を用いる。${\displaystyle x_{1}}$そして${\displaystyle x_{2}}$効用を最大化する。${\displaystyle x_{1}}$そして${\displaystyle x_{2}}$も同様に好ましい。厳密凸性の定義により、混合束は${\displaystyle 0.5x_{1}+0.5x_{2}}$より厳密に優れている${\displaystyle x_{1},x_{2}}$しかし、これは最適性と矛盾する${\displaystyle x_{1},x_{2}}$。

最大値定理によれば、次のことが成り立つ。

• 効用関数${\displaystyle u(x)}$に関して連続である${\displaystyle x}$、
• 通信${\displaystyle B(p,I)}$は空ではなく、コンパクト値であり、に関して連続である。${\displaystyle p,I}$、

それから${\displaystyle x^{*}(p,I)}$は上半連続対応である。さらに、${\displaystyle x^{*}(p,I)}$が一意であれば、それは連続関数である${\displaystyle p}$そして${\displaystyle I}$[ ^{1 ]： 156,506​​}

前の小節と合わせて考えると、消費者の選好が厳密に凸型である場合、マーシャル需要は一意かつ連続的である。一方、選好が凸型でない場合、マーシャル需要は一意ではなく、連続性も持たない可能性がある。

連続効用関数の最適なマーシャル需要対応は、次数がゼロの同次関数である。これは、すべての定数に対して、${\displaystyle a>0,}$

${\displaystyle x^{*}(a\cdot p,a\cdot I)=x^{*}(p,I).}$

これは直感的に明らかです。${\displaystyle p}$そして${\displaystyle I}$ドルで測定されます。${\displaystyle a=100}$、${\displaystyle ap}$そして${\displaystyle aI}$これらはセント単位で測定された全く同じ量です。物価と富がa倍に上昇しても、経済主体の購買パターンは一定のままです。明らかに、物価と所得を異なる単位で表現しても、需要には影響しないはずです。

マーシャルの理論は、需要曲線が財の個人ごとの限界効用逓減を表していることを利用しています。この理論は、消費者の購買決定は財やサービスの得られる効用と価格との比較に依存すると主張しています。なぜなら、消費者が得られる追加効用は少なくとも価格以上でなければならないからです。次の提案では、需要価格は消費者が財やサービスの追加単位に対して支払う最大価格に等しいとされています。したがって、効用は需要曲線に沿って一定に保たれます。所得の限界効用が一定である場合、つまり市場需要曲線内の個人間でその値が同じである場合、需要価格を合計することによって、購入単位の純便益、つまり消費者余剰を生み出すことができます。

以下の例では、商品1と商品2の2種類があります。

1. 効用関数はコブ・ダグラス型である。

$u(x_{1},x_{2})=x_{1}^{\alpha }x_{2}^{\beta }.}$

制約付き最適化により、マーシャル需要関数が得られる。

${\displaystyle x^{*}(p_{1},p_{2},I)=\left({\frac {\alpha I}{(\alpha +\beta )p_{1}}},{\frac {\beta I}{(\alpha +\beta )p_{2}}}\right).}$

2. 効用関数はCES効用関数である。

$u(x_{1},x_{2})=\left[{\frac {x_{1}^{\delta }}{\delta }}+{\frac {x_{2}^{\delta }}{\delta }}\right]^{\​​frac {1}{\delta }}.}$

それから ${\displaystyle x^{*}(p_{1},p_{2},I)=\left({\frac {Ip_{1}^{\epsilon -1}}{p_{1}^{\epsilon }+p_{2}^{\epsilon }}},{\frac {Ip_{2}^{\epsilon -1}}{p_{1}^{\epsilon }+p_{2}^{\epsilon }}}\right),\quad {\text{ただし}}\quad \epsilon ={\frac {\delta }{\delta -1}}.}$

どちらの場合も、選好は厳密に凸であり、需要は一意であり、需要関数は連続である。

3. 効用関数は線形形式である。

${\displaystyle u(x_{1},x_{2})=x_{1}+x_{2}.}$

効用関数は弱凸関数にすぎず、実際、需要は一意ではない。${\displaystyle p_{1}=p_{2}}$消費者は、所得を製品タイプ1と2の間で任意の比率で分配しても、同じ効用を得ることができる。

4. 効用関数は、限界代替率が逓減しない性質を示す。

${\displaystyle u(x_{1},x_{2})=(x_{1}^{\alpha }+x_{2}^{\alpha }),\quad {\text{ただし}}\quad \alpha >1.}$

効用関数は凸関数ではなく、実際、需要は連続的ではない。${\displaystyle p_{1}<p_{2}}$消費者が製品1のみを要求し、${\displaystyle p_{2}<p_{1}}$消費者は製品2のみを要求する（${\displaystyle p_{1}=p_{2}}$需要対応関係には、製品1のみを購入するか、製品2のみを購入するかの2つの異なる組み合わせが含まれる。

• ヒックス需要関数
• 効用最大化問題
• スルツキー方程式
• 派生需要のヒックス・マーシャル法則

• マス＝コレル、アンドリュー；ウィンストン、マイケル＆グリーン、ジェリー（1995）。ミクロ経済学理論。オックスフォード：オックスフォード大学出版局。ISBN 0-19-507340-1。
• ニコルソン、ウォルター（1978）。ミクロ経済学（第2 版）。ヒンズデール：ドライデン・プレス。90-93頁。ISBN  0-03-020831-9。
• シルベルベルク、E. (2008).ヒックス的およびマーシャル的要求. ロンドン: パルグレイブ・マクミラン、ロンドン。ISBN 978-1-349-95121-5。
• レヴィン、ジョナサン、ミルグロム、ポール（2004年10月）。「消費者理論」（PDF） 。 2021年4月22日取得。
• ウォン、スタンレー（2006）。ポール・サミュエルソンの顕示選好理論の基礎（PDF）（改訂 版）。ラウトレッジ。ISBN 0-203-34983-02021年4月19日に取得。