ニールセン理論

ニールセン理論は、位相的不動点理論に起源を持つ数学研究の一分野である。その中心的な概念はデンマークの数学者ヤコブ・ニールセンによって発展させられ、彼の名にちなんで名付けられている。

コンパクト空間からそれ自身への写像fのいわゆる最小数MF [ f ] の研究において発展した理論は、次のように定義される。

${\displaystyle {\mathit {MF}}[f]=\min\{\#\mathrm {修正} (g)\,|\,g\sim f\},}$

ここで、~は写像のホモトピーを表し、#Fix( g ) はgの不動点の数を表します。最小数を計算することは、ニールセンの時代には非常に困難であり、今日でも困難です。ニールセンのアプローチは、不動点集合をクラスにグループ化し、ホモトピーによって「除去」できるかどうかに応じて「必須」または「非必須」と判断することです。

ニールセンの元の定式化は、次のものと同等です。空間X上の自己写像fの不動点の集合上に同値関係を定義します。xがyと同値であるとは、 xからyへのパスcが存在し、f ( c )がパスとしてcと同値である場合に限ります。この関係に関する同値類はfのニールセン類と呼ばれ、ニールセン数N ( f ) は、不動点インデックスの合計がゼロでないニールセン類の数として定義されます。

ニールセンは、

${\displaystyle N(f)\leq {\mathit {MF}}[f],}$

これにより、彼の不変量は、はるかに難しいMF [ f ] を推定するための優れたツールとなります。これはすぐに、現在ニールセンの不動点定理として知られるものにつながります。任意の写像 f は、少なくとも N(f) 個の不動点を持ちます。

固定点インデックスによる定義のため、ニールセン数はレフシェッツ数と密接な関係にある。実際、ニールセンの最初の研究の後まもなく、ウェッケンとライデマイスターによって、この2つの不変量が1つの「一般化レフシェッツ数」（最近ではライデマイスタートレースと呼ばれる）に統合された。

• ヴェルナー・フェンケル;ニールセン、ヤコブ(2003)。アスムス L. シュミット (編)。双曲面内のアイソメトリの不連続なグループ。デ・グリュイター 数学を研究。 Vol.  29. ベルリン: Walter de Gruyter & Co.

• ニールセン理論に関する調査記事（ Robert F. Brown 著、Topology Atlas掲載、2006年10月2日アーカイブ）