時間不変システム

決定論的連続時間単入力単出力システムの時間不変性を示すブロック図。システムが時間不変であるのは、すべての時間

t

、すべての実定数

t

0

、およびすべての入力

x

1

(

t

)に対して

y 2 (t) = y 1 (t - t 0)

が成立する場合のみです。^[1]^[2]^[3]画像をクリックすると拡大します。

制御理論では、時間不変( TI )システムには、時間の直接的な関数ではない時間依存のシステム関数があります。このようなシステムは、システム分析の分野でシステムのクラスと見なされます。時間依存のシステム関数は、時間依存の入力関数の関数です。この関数が時間領域に間接的にのみ依存する場合(たとえば、入力関数を介して)、それは時間不変と見なされるシステムです。逆に、システム関数の時間領域への直接的な依存は、「時間変動システム」と見なされます。

数学的に言えば、システムの「時間不変性」は次の性質である: ^[4]^{: p. 50}

時間依存の出力関数⁠ ⁠ $y(t)$ と時間依存の入力関数⁠ ⁠ $x(t)$ を持つシステムを考えると、入力⁠ ⁠の時間遅延が出力⁠ $x(t+\delta )$ ⁠ $y(t+\delta )$ 関数の時間遅延と直接等しい場合、システムは時間不変であるとみなされます。たとえば、時間⁠ ⁠が「経過時間」である場合、「時間不変」とは、入力関数 $t$ ⁠ ⁠ $x(t)$ と出力関数⁠ ⁠ $y(t)$ の関係が時間⁠ ⁠ ⁠に対して一定であることを意味します。 $t:$

y(t)=f(x(t),t)=f(x(t)).

信号処理の言語では、システムの伝達関数が、入力と出力によって表現される場合を除いて、時間の直接関数でない場合、この特性を満たすことができます。

システム図のコンテキストでは、このプロパティは、右の図に示すように、次のように記述することもできます。

システムが時間不変である場合、システムブロックは任意の遅延で交換されます。

時間不変システムが線形でもある場合、それは線形時間不変理論（線形時間不変）の対象となり、 NMR分光法、地震学、回路、信号処理、制御理論、およびその他の技術分野に直接応用されます。非線形時間不変システムには、包括的な統制理論がありません。離散時間不変システムは、シフト不変システムとして知られています。時間不変特性がないシステムは、時間変動システムとして研究されます。

簡単な例

システムが時間不変かどうかを判断する方法を示すために、次の 2 つのシステムを考えます。

システムA: $y(t)=tx(t)$
システムB: $y(t)=10x(t)$

システム A のシステム関数は の外部でtに明示的に依存するため、時間依存性は入力関数の関数として明示的にはないため、時間不変ではありません。 $y(t)$ $x(t)$

対照的に、システム B の時間依存性は、時間によって変化する入力の関数のみです。これにより、システム B は時間不変になります。 $x(t)$

以下の正式な例では、システム B は時間tの関数としてシフト不変システムであるのに対し、システム A はそうではないことをより詳細に示しています。

正式な例

ここで、上記のシステム A と B が異なる理由について、より正式な証明を示します。この証明を実行するには、2 番目の定義を使用します。

システムA:入力の遅延から開始

x_{d}(t)=x(t+\delta )

y(t)=tx(t)

y_{1}(t)=tx_{d}(t)=tx(t+\delta )

出力を遅らせると

\delta

y(t)=tx(t)

y_{2}(t)=y(t+\delta )=(t+\delta )x(t+\delta )

したがって、システムは時間不変ではないことは明らかです。

y_{1}(t)\neq y_{2}(t)

システムB:入力の遅延から開始する

x_{d}(t)=x(t+\delta )

y(t)=10x(t)

y_{1}(t)=10x_{d}(t)=10x(t+\delta )

出力を遅らせると

\delta

y(t)=10x(t)

y_{2}(t)=y(t+\delta )=10x(t+\delta )

したがって、システムは明らかに時間不変です。

y_{1}(t)=y_{2}(t)

より一般的には、入力と出力の関係は

y(t)=f(x(t),t),

そして時間とともに変化する

{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {\partial f}{\partial x}}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}.

時間不変システムの場合、システム特性は時間とともに一定のままであり、

{\frac {\partial f}{\partial t}}=0.

上記のシステムAとBに適用:

f_{A}=tx(t)\qquad \implies \qquad {\frac {\partial f_{A}}{\partial t}}=x(t)\neq 0

一般的には時間不変ではないので、

f_{B}=10x(t)\qquad \implies \qquad {\frac {\partial f_{B}}{\partial t}}=0

したがって、時間に依存しません。

抽象的な例

シフト演算子は、ベクトルのインデックスセットをシフトする量で表すことができます。たとえば、「1ずつ進める」システムでは、 $\mathbb {T} _{r}$ $r$

x(t+1)=\delta (t+1)*x(t)

この抽象表記法では次のように表される。

{\tilde {x}}_{1}=\mathbb {T} _{1}{\tilde {x}}

ここで関数は次のように与えられる。 ${\tilde {x}}$

{\tilde {x}}=x(t)\forall t\in \mathbb {R}

システムはシフトされた出力を生成する

{\tilde {x}}_{1}=x(t+1)\forall t\in \mathbb {R}

入力ベクトルを 1 進める演算子も同様です。 $\mathbb {T} _{1}$

あるシステムを演算子で表すとします。このシステムはシフト演算子と可換であれば時間不変です。つまり、 $\mathbb {H}$

\mathbb {T} _{r}\mathbb {H} =\mathbb {H} \mathbb {T} _{r}\forall r

システム方程式が次のように与えられるとすると

{\tilde {y}}=\mathbb {H} {\tilde {x}}

システム演算子に続けてシフト演算子を適用するか、シフト演算子に続けてシステム演算子を適用すると、2 つの計算で同等の結果が得られ、時間不変になります。 $\mathbb {H}$ ${\tilde {x}}$ $\mathbb {T} _{r}$ $\mathbb {T} _{r}$ $\mathbb {H}$

システム演算子を最初に適用すると、

\mathbb {T} _{r}\mathbb {H} {\tilde {x}}=\mathbb {T} _{r}{\tilde {y}}={\tilde {y}}_{r}

最初にシフト演算子を適用すると、

\mathbb {H} \mathbb {T} _{r}{\tilde {x}}=\mathbb {H} {\tilde {x}}_{r}

システムが時間不変である場合、

\mathbb {H} {\tilde {x}}_{r}={\tilde {y}}_{r}

参照

参考文献

^ Bessai, Horst J. (2005). MIMO信号とシステム. Springer. p. 28. ISBN 0-387-23488-8。
^ Sundararajan, D. (2008).信号とシステムへの実践的アプローチ. Wiley. p. 81. ISBN 978-0-470-82353-8。
^ Roberts, Michael J. (2018).信号とシステム: 変換法と MATLAB® を使用した解析(第 3 版). McGraw-Hill. p. 132. ISBN 978-0-07-802812-0。
^ オッペンハイム、アラン; ウィルスキー、アラン (1997)。信号とシステム(第 2 版)。プレンティスホール。

[Bessai_2005-1] Bessai, Horst J. (2005). MIMO信号とシステム. Springer. p. 28. ISBN 0-387-23488-8。

[Sundararajan_2008-2] Sundararajan, D. (2008).信号とシステムへの実践的アプローチ. Wiley. p. 81. ISBN 978-0-470-82353-8。

[Roberts_2018-3] Roberts, Michael J. (2018).信号とシステム: 変換法と MATLAB® を使用した解析(第 3 版). McGraw-Hill. p. 132. ISBN 978-0-07-802812-0。

[4] オッペンハイム、アラン; ウィルスキー、アラン (1997)。信号とシステム(第 2 版)。プレンティスホール。