テトラキス六面体

幾何学において、テトラキス六面体（テトラヘキサヘドロン、ヘキサテトラヘドロン、テトラキスキューブ、キスキューブ^[2]とも呼ばれる）はカタラン立体である。その双対は切頂八面体であり、アルキメデスの立体である。

これは、全切四面体の双対として、また四面体の重心分割として、二面体六面体または六面体四面体と呼ばれることがある。^[3]

原点を中心とした四面体の14の頂点の 直交座標は、点である。$${\displaystyle {\bigl (}{\pm {\tfrac {3}{2}}},0,0{\bigr )},\ {\bigl (}0,\pm {\tfrac {3}{2}},0{\bigr )},\ {\bigl (}0,0,\pm {\tfrac {3}{2}}{\bigr )},\ {\bigl (}{\pm 1},\pm 1,\pm 1{\bigr )}.}$$

この四面体の短い辺の長さは 3/2 で、長い辺の長さは 2 です。面は鋭角二等辺三角形です。これらの大きい方の角度は で、小さい方の 2 つの角度は です。 ${\displaystyle \arccos {\tfrac {1}{9}}\approx 83.62^{\circ }}$${\displaystyle \arccos {\tfrac {2}{3}}\approx 48.19^{\circ }}$

切頂八面体の双対である四面体六面体には、 3 つの対称位置があり、そのうち 2 つは頂点上に、1 つは中間辺上にあり​​ます。

銅や蛍石の系では、自然に発生する四六面体の（結晶）形成が観察されます。

ゲーマーはテトラキス六面体のような形をした多面体サイコロを時々使用します。

頂点優先の透視投影で見た24 セルは、四面体六面体の表面トポロジーと、菱形面が 2 つの三角形に分割された菱形十二面体の幾何学的比率を持ちます。

テトラキス ヘキサヘドロン (四面体) は、建築理論における最も単純な例の 1 つとして登場します。SL 4 ( R ) 群に関連付けられたリーマン対称空間を考えてみましょう_。そのティッツ境界は、アパートが2次元球である球面建築の構造を持ちます。この球を球面単体(部屋) に分割するには、テトラキス ヘキサヘドロン (四面体) の放射状投影を取る必要があります。

T _d、[3,3] (*332)四面体対称性では、三角形の面は四面体対称性の 24 の基本領域を表します。この多面体は、球面上の 6 つの大円から構築できます。また、頂点と面心によって三角形に分割された正方形の面を持つ立方体や、頂点、中間辺、中心点で分割された面を持つ四面体として見ることもできます。

球状テトラキス六面体の辺は、四面体対称の鏡面に対応する 6 つの大円に属します。これらは、3 組の直交円 (通常はそれぞれ 1 つの座標軸で交差) にグループ化できます。以下の画像では、これらの正方形ホソヘドラは赤、緑、青で色付けされています。

立方体の底辺の長さをaとすると、立方体からの各ピラミッドの頂点の高さは⁠ ⁠ です。${\displaystyle {\tfrac {a}{4}}.}$ピラミッドの各三角形の面の立方体面に対する傾きは( OEISのシーケンスA073000 ) です。二等辺三角形の 1 辺の長さはaで、他の 2 辺の長さは⁠ ⁠ です。これは、高さと底辺の長さにピタゴラスの定理を適用するとわかります。これにより、三角形 ( OEIS : A204188 ) の高さが得られます。面積はで、内角は で、補角は${\displaystyle \arctan {\tfrac {1}{2}}\approx 26.565^{\circ }}$${\displaystyle {\tfrac {3a}{4}},}$${\displaystyle {\tfrac {{\sqrt {5}}a}{4}}}$${\displaystyle {\tfrac {{\sqrt {5}}a^{2}}{8}},}$${\displaystyle \arccos {\tfrac {2}{3}}\approx 48.1897^{\circ }}$${\displaystyle 180^{\circ }-2\arccos {\tfrac {2}{3}}\approx 83.6206^{\circ }.}$

ピラミッドの体積は⁠ ⁠なので${\displaystyle {\tfrac {a^{3}}{12}};}$、6つのピラミッドと六面体の立方体の合計体積は⁠ ⁠です。${\displaystyle {\tfrac {3a^{3}}{2}}.}$

これは、立方体の各正方形の面を四角錐が覆っている立方体として見ることができます。つまり、これは立方体のクリートープです。正三角形の面を持つこの形状の非凸形は、正八面体と同じ表面形状を持ち、紙の八面体モデルをこの形状に折り直すことができます。^[4]この四角六面体の形状は、レオナルド・ダ・ヴィンチのルカ・パチョーリの「神の比例」 （1509年）で図解されています。^[5]

この非凸形のテトラキス六面体は、内側の立方体の正方形の面に沿って折り畳むことで、4 次元の立方体ピラミッドのネットとして折り畳むことができます。

これは、面構成V4.6.2 nによって定義されるシーケンス内の多面体です。このグループは、頂点ごとに辺の数がすべて偶数であり、多面体と平面内の無限の直線を通る二等分平面を形成し、 n ≥ 7の任意の n に対して双曲平面まで続くという点で特殊です 。

各頂点の面の数が偶数の場合、これらの多面体とタイリングは、隣接する面がすべて異なる色になるように 2 つの色を交互に配置することで表示できます。

これらの領域上の各面は、各三角形面の頂点に2、3、n 個のミラーを持つ対称群の基本領域にも対応します。

• ディスディアキス三十面体
• ディスディアキス十二面体
• キスロンビルタイル
• 3つの八面体の複合体
• 三角錐二十四面体、別の 24 面のカタロニア立体。

• ウィリアムズ、ロバート(1979)。自然構造の幾何学的基礎: デザインのソースブック。Dover Publications、Inc. ISBN 0-486-23729-X。（第3-9節）
• ウェニンガー、マグナス（1983）、デュアルモデル、ケンブリッジ大学出版局、doi：10.1017/CBO9780511569371、ISBN 978-0-521-54325-5、MR  0730208(13 個の半正凸多面体とその双対、14 ページ、テトラキスヘキサヘドロン)
• 物事の対称性2008、ジョン・H・コンウェイ、ハイディ・バーギエル、チャイム・グッドマン・シュトラウス、ISBN 978-1-56881-220-5 [1] （第21章、アルキメデスとカタロニアの多面体とタイリングの命名、284ページ、テトラキス六面体） 

• Weisstein, Eric W.、「テトラキス六面体」（「カタロニア立体」） 、 MathWorldにて。
• バーチャルリアリティ多面体 www.georgehart.com: 多面体百科事典
  • VRMLモデル
  • 多面体のコンウェイ表記法 「dtO」または「kC」を試してください
• テトラキス六面体 – インタラクティブ多面体モデル
• 均一な多面体