副専攻（線形代数）

Aが正方行列の場合、 i行j列の要素の小行列式( ( i , j )小行列式、または第 1 小行列式^{[ 1 ]}とも呼ばれる) は、 i行j列を削除して形成される部分行列の行列式です。この数値はしばしばM _{i , j}と表記されます。( i , j )余因子は、小行列式に( − 1) ^{i + j}を掛けることで得られ、しばしばC _{i , j}と表記されます。

これらの定義を説明するために、次の3 × 3行列を考えてみましょう。

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&4&7\\3&0&5\\-1&9&11\\\end{bmatrix}}}$$

マイナー行列M _2,3とコファクター行列C _2,3を計算するには、上記の行列から 2 行目と 3 列目を除いた行列式を求めます。

$${\displaystyle M_{2,3}=\det {\begin{bmatrix}1&4&\Box \\\Box &\Box &\Box \\-1&9&\Box \\\end{bmatrix}}=\det {\begin{bmatrix}1&4\\-1&9\\\end{bmatrix}}=9-(-4)=13}$$

したがって、 （2,3）エントリの余因子は

$${\displaystyle C_{2,3}=(-1)^{2+3}(M_{2,3})=-13.}$$

Aをm × n行列、kを0 < k ≤ mかつk ≤ nを満たす整数とする。Aのk × k小行列式（Aのk次小行列式とも呼ばれる。m = nの場合は、Aの( n − k )番目の小行列式とも呼ばれる。「行列式」という語は省略されることが多く、「次数」の代わりに「次数」という語が使われることもある）は、Aからm − k行とn − k列を削除して得られるk × k行列の行列式である。この用語は、上記のようにAから( m − k行とn − k列を削除して得られる) k × k行列を指すのに使われることもあるが、この行列はAの(正方) 部分行列と呼ばれ、「小行列式」という用語はこの行列の行列式を指すために残されるべきである。上記の行列Aの場合、合計で${\textstyle {m \choose k}\cdot {n \choose k}}$k × kサイズの小行列式。0次小行列式は 1 と定義されることが多い。正方行列の場合、0 番目の小行列式は行列の行列式に等しい。^{[ 2 ] [ 3 ]}

させて $${\displaystyle {\begin{aligned}I&=1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq m,\\[2pt]J&=1\leq j_{1}<j_{2}<\cdots <j_{k}\leq n,\end{aligned}}}$$ インデックスの順序付きシーケンス（特に明記されていない限り、マイナーについて話すときは常に自然順序であると想定される）である。${\textstyle \det {\bigl (}(\mathbf {A} _{i_{p},j_{q}})_{p,q=1,\ldots ,k}{\bigr )}}$これらのインデックスの選択に対応するものは、${\displaystyle \det _{I,J}A}$または${\displaystyle \det \mathbf {A} _{I,J}}$または${\displaystyle [\mathbf {A} ]_{I,J}}$または${\displaystyle M_{I,J}}$または${\displaystyle M_{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{k},j_{1},j_{2},\ldots ,j_{k}}}$または${\displaystyle M_{(i),(j)}}$（ここで、（i）はインデックスのシーケンスIなどを表す）出典によって異なる。また、文献では2種類の表記法が用いられている。インデックスの順序付きシーケンスIとJに関連付けられたマイナーによって、一部の著者^{[ 4 ]}は、インデックスがIにある行とインデックスがJにある列から元の行列の要素を取り出して上記のように形成される行列の行列式を意味する。一方、他の著者は、IとJに関連付けられたマイナーによって、 Iの行とJの列を削除して元の行列から形成される行列の行列式を意味する^{[ 2 ]。}どの表記法が使用されているかは常に確認する必要がある。本稿では、Iの行とJの列から要素を選択するという包括的な定義を用いる。例外的なケースは、上記で説明した最初のマイナーまたは（i、j）マイナーの場合である。その場合、排他的な意味となる。${\textstyle M_{i,j}=\det {\bigl (}\left(\mathbf {A} _{p,q}\right)_{p\neq i,q\neq j}{\bigr )}}$これは文献ではどこでも標準的に使われており、この記事でも使われています。

正方行列Aの小行列式M _{ijk ... , pqr ...}の補行列B _{ijk ..., pqr ...}は、行列AからM _{ijk ..., pqr ...}に関連付けられたすべての行 ( ijk... ) と列 ( pqr... )を取り除いた行列式によって形成されます。要素a _ijの最初の小行列式の補行列は、その要素そのものです。^{[ 5 ]}

余因子は、行列式の展開に関するラプラスの公式において重要な役割を果たします。これは、より大きな行列式をより小さな行列式で表す方法です。n × n行列A = ( a ij ₎が与えられたとき、Aの行列式det( A )は、行列の任意の行または列の余因子に、それらを生成した要素を掛けたものの和として表すことができます。言い換えれば、定義すると、${\displaystyle C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}}$すると、 j番目の列に沿った補因子展開は次のようになる。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\det(\mathbf {A} )&=a_{1j}C_{1j}+a_{2j}C_{2j}+a_{3j}C_{3j}+\cdots +a_{nj}C_{nj}\\[2pt]&=\sum _{i=1}^{n}a_{ij}C_{ij}\\[2pt]&=\sum _{i=1}^{n}a_{ij}(-1)^{i+j}M_{ij}\end{aligned}}}$$

i行目に沿った補因子展開は次のようになる。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\det(\mathbf {A} )&=a_{i1}C_{i1}+a_{i2}C_{i2}+a_{i3}C_{i3}+\cdots +a_{in}C_{in}\\[2pt]&=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}C_{ij}\\[2pt]&=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}(-1)^{i+j}M_{ij}\end{aligned}}}$$

可逆行列の逆行列は、クラメルの公式を用いて余因子を計算することで、次のように書き下すことができます。正方行列Aのすべての余因子によって形成される行列は、余因子行列（余因子の行列、またはコマトリックスとも呼ばれる）と呼ばれます。

$${\displaystyle \mathbf {C} ={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&\cdots &C_{1n}\\C_{21}&C_{22}&\cdots &C_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\C_{n1}&C_{n2}&\cdots &C_{nn}\end{bmatrix}}}$$

すると、 Aの逆行列は、余因子行列の転置行列にAの行列式の逆数を掛けたものになります。

$${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}={\frac {1}{\operatorname {det} (\mathbf {A} )}}\mathbf {C} ^{\mathsf {T}}.}$$

余因子行列の転置行列は、 Aの随伴行列（古典的随伴行列とも呼ばれる）と呼ばれます。

上記の式は次のように一般化できます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}I&=1\leq i_{1}<i_{2}<\ldots <i_{k}\leq n,\\[2pt]J&=1\leq j_{1}<j_{2}<\ldots <j_{k}\leq n,\end{aligned}}}$$ インデックスの順序付きシーケンス（自然順序）（ここでAはn × n行列）である。すると^{[ 6 ]}

$${\displaystyle [\mathbf {A} ^{-1}]_{I,J}=\pm {\frac {[\mathbf {A} ]_{J',I'}}{\det \mathbf {A} }},}$$

ここで、I′、J′は、 I、Jに相補的なインデックスの順序付きシーケンス（インデックスは上記のように自然な大きさの順序）を表し、インデックス1、...、nはIまたはI'のいずれかにちょうど1回出現しますが、両方には出現しません（ JとJ'についても同様です）。また、[ A ] _I、Jは、インデックスセットIの行とインデックスセットJの列を選択して形成されるAのサブマトリックスの行列式を表します。また、${\displaystyle [\mathbf {A} ]_{I,J}=\det {\bigl (}(A_{i_{p},j_{q}})_{p,q=1,\ldots ,k}{\bigr )}.}$ウェッジ積を用いて簡単な証明を与えることができる。実際、

$${\displaystyle {\bigl [}\mathbf {A} ^{-1}{\bigr ]}_{I,J}(e_{1}\wedge \ldots \wedge e_{n})=\pm (\mathbf {A} ^{-1}e_{j_{1}})\wedge \ldots \wedge (\mathbf {A} ^{-1}e_{j_{k}})\wedge e_{i'_{1}}\wedge \ldots \wedge e_{i'_{n-k}},}$$

どこ${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}$は基底ベクトルである。両辺にAを作用させると、

$${\displaystyle {\begin{aligned}&\ {\bigl [}\mathbf {A} ^{-1}{\bigr ]}_{I,J}\det \mathbf {A} (e_{1}\wedge \ldots \wedge e_{n})\\[2pt]=&\ \pm (e_{j_{1}})\wedge \ldots \wedge (e_{j_{k}})\wedge (\mathbf {A} e_{i'_{1}})\wedge \ldots \wedge (\mathbf {A} e_{i'_{n-k}})\\[2pt]=&\ \pm [\mathbf {A} ]_{J',I'}(e_{1}\wedge \ldots \wedge e_{n}).\end{aligned}}}$$

この標識は次のように計算できます。 $${\displaystyle (-1)^{\left(\sum _{s=1}^{k}i_{s}-\sum _{s=1}^{k}j_{s}\right)},}$$したがって、符号はIとJ の要素の合計によって決定されます。

実数要素（または他の任意の体からの要素）を持つi × j行列で、ランクがrの場合、少なくとも 1 つの非ゼロr × rマイナーが存在し、それより大きいすべてのマイナーはゼロになります。

マイナーについては次の表記法を使用します。Aがi × j行列で、Iが{1, ..., i }のm個の要素を持つ部分集合、Jが{1, ..., j }のm個の要素を持つ部分集合である場合、Iのインデックスを持つ行とJのインデックスを持つ列に対応するAのm × mマイナーを[ A ] _{I , J}と書きます。

• Aが平方数でI = Jの場合、[ A ] _{I , J}は主小数と呼ばれます。
• Aが正方行列で、I = J = {1, ..., m }の場合、主小行列式[ A ] _{I , J}は、主小行列式 ( m次)またはコーナー (主) 小行列式 ( m次)と呼ばれます。^{[ 3 ]} i × iの正方行列の場合、主小行列式はi個あります。
• ランクrの行列の基本小行列式とは、非ゼロ値を持つr × r小行列式のことである。^{[ 3 ]}
• エルミート行列の場合、主小行列式を用いて正定値性を判定でき、主小行列式を用いて半正定値性を判定できます。詳細はシルベスターの判定基準を参照してください。

通常の行列乗算の公式と、2つの行列の積の行列式のコーシー・ビネの公式は、いずれも2つの行列の積の小行列式に関する次の一般的な記述の特殊な場合である。Aはi × k行列、Bはk × j行列、Iは{1, ..., i }のm個の要素を持つ部分集合、Jは{1, ..., j }のm個の要素を持つ部分集合であるとする。すると、 $${\displaystyle [\mathbf {AB} ]_{I,J}=\sum _{K}[\mathbf {A} ]_{I,K}[\mathbf {B} ]_{K,J}\,}$$ ここで、和は{1, ..., k }のすべての部分集合K （ m個の要素を持つ）にわたって計算される。