伝達関数

工学において、システム、サブシステム、またはコンポーネントの伝達関数（システム関数^[1]またはネットワーク関数とも呼ばれる）は、システムの出力を各可能な入力に対してモデル化する数学関数である。[ 2 ] ^{[ 3] [4]これは、}回路シミュレータや制御システムなどの電子工学ツールで広く使用されている。単純なケースでは、この関数は、独立したスカラー入力と従属するスカラー出力（伝達曲線または特性曲線と呼ばれる）の2次元グラフとして表すことができる。コンポーネントの伝達関数は、特にブロック線図手法を使用して、電子工学および制御理論において、コンポーネントから組み立てられたシステムを設計および分析するために使用される。

伝達関数の次元と単位は、さまざまな入力に対するデバイスの出力応答をモデル化します。増幅器などの2 ポート電子回路の伝達関数は、入力に適用されるスカラー電圧の関数としての出力のスカラー電圧の 2 次元グラフである場合があります。電気機械アクチュエータの伝達関数は、デバイスに適用される電流の関数としての可動アームの機械的変位である場合があります。光検出器の伝達関数は、特定の波長の入射光の光度の関数としての出力電圧である場合があります。

「伝達関数」という用語は、ラプラス変換などの変換方法を使用するシステムの周波数領域解析でも使用されます。これは、入力信号の周波数の関数としての出力の振幅です。電子フィルタの伝達関数は、入力に適用された一定振幅の正弦波の周波数の関数としての出力の振幅です。光学画像装置の場合、光学伝達関数は、点像分布関数(空間周波数の関数)のフーリエ変換です。

伝達関数は、信号処理、通信理論、制御理論における単入力単出力 フィルタなどのシステムの解析でよく使用されます。この用語は、多くの場合、線形時不変(LTI) システムのみを指すために使用されます。実際のシステムのほとんどは非線形の入出力特性を持っていますが、公称パラメータ内で動作する (過剰駆動されていない) 多くのシステムは線形に近い動作をするため、LTI システム理論はそれらの入出力動作の適切な表現となります。

説明は複素変数、で与えられます。多くのアプリケーションでは、 (したがって)を設定すれば十分であり、これにより、複素引数を持つラプラス変換が実引数 ω を持つフーリエ変換に簡約されます。これは、LTI システムの定常応答 (多くの場合、信号処理や通信理論) に主に興味があるアプリケーションでは一般的であり、一瞬のターンオンとターンオフの過渡応答や安定性の問題には興味がありません。 ${\displaystyle s=\sigma +j\cdot \omega }$${\displaystyle \sigma =0}$${\displaystyle s=j\cdot \omega }$

連続時間入力信号と出力の場合、出力のラプラス変換 を入力のラプラス変換 で割ると、システムの伝達関数 が得られます。 ${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle y(t)}$${\displaystyle Y(s)={\mathcal {L}}\left\{y(t)\right\}}$${\displaystyle X(s)={\mathcal {L}}\left\{x(t)\right\}}$${\displaystyle H(s)}$

${\displaystyle H(s)={\frac {Y(s)}{X(s)}}={\frac {{\mathcal {L}}\left\{y(t)\right\}}}{{\mathcal {L}}\left\{x(t)\right\}}}}$

これは次のように並べ替えることができます。

${\displaystyle Y(s)=H(s)\;X(s)\,.}$

離散時間信号は、整数 でインデックス付けされた配列として表記できます(例:入力の場合は 、出力の場合は )。離散時間信号は、ラプラス変換 (連続時間信号に適しています) を使用する代わりに、 z 変換(や のように対応する大文字で表記)を使用して処理されるため、離散時間システムの伝達関数は次のように記述できます。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle x[n]}$${\displaystyle y[n]}$${\displaystyle X(z)}$${\displaystyle Y(z)}$

$${\displaystyle H(z)={\frac {Y(z)}{X(z)}}={\frac {{\mathcal {Z}}\{y[n]\}}{{\mathcal { Z}}\{x[n]\}}}.}$$

定数係数を持つ 線形微分方程式

${\displaystyle L[u]={\frac {d^{n}u}{dt^{n}}}+a_{1}{\frac {d^{n-1}u}{dt^{n-1}}}+\dotsb +a_{n-1}{\frac {du}{dt}}+a_{n}u=r(t)}$

ここで、uとr はtの適切に滑らかな関数であり、L は関連する関数空間上で定義され、 u をrに変換する演算子です。 この種の方程式は、出力関数u を強制関数rに関して制約するために使用できます。 伝達関数は、 Lの右逆として機能する演算子を定義するために使用できます。つまり、 となります 。 ${\displaystyle F[r]=u}$${\displaystyle L[F[r]]=r}$

同次定数係数微分方程式 の解は、 を試して求めることができる。この置換により、特性多項式が得られる。${\displaystyle L[u]=0}$${\displaystyle u=e^{\lambda t}}$

${\displaystyle p_{L}(\lambda )=\lambda ^{n}+a_{1}\lambda ^{n-1}+\dotsb +a_{n-1}\lambda +a_{n}\,}$

非同次ケースは、入力関数rも の形であれば簡単に解くことができます。 を代入して、次のように定義すると 、${\displaystyle r(t)=e^{st}}$${\displaystyle u=H(s)e^{st}}$${\displaystyle L[H(s)e^{st}]=e^{st}}$

${\displaystyle H(s)={\frac {1}{p_{L}(s)}}\qquad {\text{どこでも}}\quad p_{L}(s)\neq 0.}$

伝達関数の他の定義も使用される。例えば^[5]${\displaystyle 1/p_{L}(ik).}$

周波数のシステムへの一般的な正弦波入力はと表記されます。時刻に始まる正弦波入力に対するシステムの応答は、定常応答と過渡応答の合計で構成されます。定常応答は、無限時間の制限におけるシステムの出力であり、過渡応答は応答と定常応答の差です。これは、微分方程式 の同次解に対応します。LTIシステムの伝達関数は、次の積として表記されます。 ${\displaystyle \omega _{0}/(2\pi )}$${\displaystyle \exp(j\omega _{0}t)}$${\displaystyle t=0}$

${\displaystyle H(s)=\prod _{i=1}^{N}{\frac {1}{s-s_{P_{i}}}}}$

ここで、s _{P i は}特性多項式のN根であり、伝達関数の極になります。 の単一極を持つ伝達関数では、単位振幅の一般正弦波のラプラス変換は になります。出力のラプラス変換は になり、時間出力はその関数の逆ラプラス変換になります。 ${\displaystyle H(s)={\frac {1}{s-s_{P}}}}$${\displaystyle s_{P}=\sigma _{P}+j\omega _{P}}$${\displaystyle {\frac {1}{sj\omega _{i}}}}$${\displaystyle {\frac {H(s)}{sj\omega _{0}}}}$

${\displaystyle g(t)={\frac {e^{j\,\omega _{0}\,t}-e^{(\sigma _{P}+j\,\omega _{P})t}}{-\sigma _{P}+j(\omega _{0}-\omega _{P})}}}$

分子の 2 番目の項は過渡応答であり、無限時間の限界ではσ _Pが正の場合、無限に発散します。システムが安定するには、その伝達関数に実部が正の極が存在しない必要があります。伝達関数が厳密に安定している場合、すべての極の実部は負になり、過渡動作は無限時間の限界でゼロに近づきます。定常状態の出力は次のようになります。

${\displaystyle g(\infty )={\frac {e^{j\,\omega _{0}\,t}}{-\sigma _{P}+j(\omega _{0}-\omega _{P})}}}$

システムの周波数応答(または「ゲイン」) Gは、出力振幅と定常入力振幅の比の絶対値として定義されます。

${\displaystyle G(\omega _{i})=\left|{\frac {1}{-\sigma _{P}+j(\omega _{0}-\omega _{P})}}\right|={\frac {1}{\sqrt {\sigma _{P}^{2}+(\omega _{P}-\omega _{0})^{2}}}},}$

これは、で評価された伝達関数の絶対値です。この結果は、伝達関数の極の数が任意である場合に有効です。 ${\displaystyle H(s)}$${\displaystyle j\omega _{i}}$

が一般線形時不変システムへの入力であり、が出力である場合、およびの両側ラプラス変換は ${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle y(t)}$${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle y(t)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}X(s)&={\mathcal {L}}\left\{x(t)\right\}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int _{-\infty }^{\infty }x(t)e^{-st}\,dt,\\Y(s)&={\mathcal {L}}\left\{y(t)\right\}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int _{-\infty }^{\infty }y(t)e^{-st}\,dt.\end{aligned}}}$

出力は伝達関数によって入力と関連しており、 ${\displaystyle H(s)}$

${\displaystyle Y(s)=H(s)X(s)}$

そして伝達関数自体は

${\displaystyle H(s)={\frac {Y(s)}{X(s)}}.}$

振幅、角周波数、位相を持つ正弦波成分を持つ複素高調 波 信号（argは引数）の場合、 ${\displaystyle |X|}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \arg(X)}$

${\displaystyle x(t)=Xe^{j\omega t}=|X|e^{j(\omega t+\arg(X))}}$

どこ${\displaystyle X=|X|e^{j\arg(X)}}$

線形時間不変システムに入力されると、出力の対応するコンポーネントは次のようになります。

${\displaystyle {\begin{aligned}y(t)&=Ye^{j\omega t}=|Y|e^{j(\omega t+\arg(Y))},\\Y&=|Y|e^{j\arg(Y)}.\end{aligned}}}$

線形時間不変システムでは、入力周波数は変化せず、正弦波の振幅と位相角のみがシステムによって変化します。周波数応答は、ゲインの観点から 周波数ごとにこの変化を説明します。${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle H(j\omega )}$${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle G(\omega )={\frac {|Y|}{|X|}}=|H(j\omega )|}$

位相シフト

${\displaystyle \phi (\omega )=\arg(Y)-\arg(X)=\arg(H(j\omega )).}$

位相遅延（伝達関数によって正弦波に導入される周波数依存の遅延量）は

${\displaystyle \tau _{\phi }(\omega )=-{\frac {\phi (\omega )}{\omega }}.}$

群遅延（伝達関数によって正弦波の包絡線に導入される周波数依存の遅延量）は、角周波数に対する位相シフトの導関数を計算することによって求められます。 ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle \tau _{g}(\omega )=-{\frac {d\phi (\omega )}{d\omega }}.}$

伝達関数は、となる双対ラプラス変換の特殊なケースであるフーリエ変換を使用して表示することもできます。 ${\displaystyle s=j\omega }$

あらゆる LTI システムは何らかの伝達関数で記述できますが、特殊な伝達関数の「ファミリー」が一般的に使用されます。

• バターワースフィルタ – 与えられた次数に対して通過帯域と阻止帯域で最大限に平坦である
• チェビシェフフィルタ（タイプI）  - 阻止帯域で最大限に平坦で、同じ次数のバターワースフィルタよりもカットオフが鋭い
• チェビシェフフィルタ（タイプII） – 通過帯域で最大限に平坦で、同じ次数のバターワースフィルタよりもカットオフが鋭い
• ベッセルフィルタ –与えられた次数に対して最大限に一定の群遅延
• 楕円フィルタ – 指定された次数に対する最も急峻なカットオフ（通過帯域と阻止帯域の間の遷移が最も狭い）
• 最適な「L」フィルター
• ガウスフィルタ – 最小のグループ遅延。ステップ関数にオーバーシュートを与えない
• レイズドコサインフィルタ

制御工学と制御理論では、伝達関数はラプラス変換で導出されます。伝達関数は、古典的な制御工学で使用される主要なツールでした。伝達行列は、あらゆる線形システムのダイナミクスやその他の特性を分析するために取得できます。伝達行列の各要素は、特定の入力変数を出力変数に関連付ける伝達関数です。状態空間と伝達関数法を橋渡しする表現は、Howard H. Rosenbrockによって提案され、Rosenbrock システム行列として知られています。

イメージングでは、伝達関数を使用して、シーンの光、画像信号、および表示される光の関係を記述します。

緩和振動子などの多くの非線形システムには伝達関数が存在しない。^[6]しかし、記述関数はそのような非線形時間不変システムを近似するために使用されることがある。

• ECE 209: LTI システムとしての回路のレビュー — (電気) LTI システムの数学的分析に関する短い入門書。