ローゼンブロックシステムマトリックス

応用数学において、ローゼンブロックシステム行列または線形時不変システムのローゼンブロックシステム行列は、状態空間表現と伝達関数行列形式をつなぐ便利な表現である。これは1967年にハワード・H・ローゼンブロックによって提案された。^[1]

動的システムを考える

${\displaystyle {\dot {x}}=Ax+Bu,}$

${\displaystyle y=Cx+Du.}$

ローゼンブロックシステム行列は次のように表される。

${\displaystyle P(s)={\begin{pmatrix}sI-A&-B\\C&D\end{pmatrix}}.}$

Rosenbrock によるオリジナルの研究では、定数行列はの多項式であることが許可されています。 ${\displaystyle D}$${\displaystyle s}$

入力 と出力の間の伝達関数は次のように表される。 ${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$

${\displaystyle g_{ij}={\frac {\begin{vmatrix}sI-A&-b_{i}\\c_{j}&d_{ij}\end{vmatrix}}{|sI-A|}}}$

ここで はの列であり、は の行です。 ${\displaystyle b_{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle B}$${\displaystyle c_{j}}$${\displaystyle j}$${\displaystyle C}$

この表現に基づいて、ローゼンブロックは独自の PBH テストを開発しました。

計算目的には、ローゼンブロックシステム行列の短縮形がより適切であり^[2]、次のように表される。

${\displaystyle P\sim {\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}.}$

ローゼンブロックシステム行列の短縮形は、制御理論のH無限大法で広く使用されており、パック形式とも呼ばれています。MATLABのコマンドpckを参照してください。 ^[3]ローゼンブロックシステム行列の線形分数変換としての解釈については、^{[4]を参照してください。}

ローゼンブロック形式の最初の応用の一つは、ピボット要素法に基づいたカルマン分解の効率的な計算法の開発であった。ローゼンブロック法の変形は、 Matlab ^[5]と GNU Octaveのminrealコマンドに実装されている。