測定可能な空間のカテゴリ

数学において、可測空間の圏（かくちょうかんのけい）は、しばしばMeasと表記され、その対象が可測空間であり、その射が可測写像である圏である。^{[1] [2] [3] [4]} これが圏であるのは、2つの可測写像の合成が再び可測であり、恒等写像が可測だからである。

注: 一部の著者は、測定空間をオブジェクトとするカテゴリにMeasという名前を予約し、測定可能な空間のカテゴリをMbleなどの他の表記法で表します。また、一部の著者は、このカテゴリを、標準的なボレル空間などの特定の行儀の良い測定可能な空間のみに制限します。

多くのカテゴリと同様に、カテゴリMeasは具体的なカテゴリであり、そのオブジェクトは追加の構造（つまりシグマ代数）を持つ集合であり、その射はこの構造を保存する関数である。自然な忘却関手が存在する。

U  :測定→設定

各測定可能空間に基礎集合を割り当て、各測定可能写像に基礎関数を割り当てる集合のカテゴリ。

忘却関手Uは左随伴関数と

D  :設定→測定

これは、与えられた集合に離散シグマ代数と右随伴関数を装備する。

I  :設定→測定

これは、与えられた集合に非離散または自明なシグマ代数を装備します。これらの関数は両方とも、実際にはUの右逆関数です（つまり、UDとUI はSet上の恒等関数に等しい）。さらに、離散空間間または非離散空間間の任意の関数は測定可能であるため、これらの関数は両方ともSetのMeasへの完全な埋め込みを提供します。

カテゴリMeas は完全かつ余完全であり、これはすべての小さな極限と余極限がMeasに存在することを意味します。実際、忘却関手U  : Meas → Set は、極限と余極限の両方を一意に持ち上げ、それらも保存します。したがって、Measの (余) 極限は、 Setの対応する (余) 極限に特定のシグマ代数を配置することによって与えられます。

Measにおける極限と余極限の例には次のものがあります。

• 空集合（可測空間とみなされる）はMeasの初期オブジェクトです。任意の単一可測空間は終端オブジェクトです。したがって、 Measにはゼロオブジェクトは存在しません。
• Measの積は、直積上のシグマ代数の積によって与えられます。余積は、測定可能な空間の互いに素な和集合によって与えられます。
• 一対の射のイコライザーは、集合論的イコライザーによって与えられた部分集合に誘導シグマ代数を配置することによって与えられます。双対的に、コイコライザーは、集合論的コイコライザーに商シグマ代数を配置することによって与えられます。
• 直接極限と逆極限は、それぞれ最終シグマ代数と初期シグマ代数を持つ集合論的極限です。直接システムと逆システムの標準的な例は、確率論における濾過から生じるものであり、そのようなシステムの極限と余極限は、それぞれシグマ代数の結合と交差です。

• Measにおける単射写像は入射的可測写像であり、エピモーフィズムは射影的可測写像であり、同型写像は可測空間の同型写像です。
• 分割単相写像は、（本質的には）測定可能なリトラクトをその周囲空間に含めることです。
• 分割エピモーフィズムは、（同型を除いて）測定可能な空間からそのリトラクトの 1 つへの測定可能な射影写像です。
• Meas はすべての空間に対して指数オブジェクトを持たないため、デカルト閉ではありません(したがってトポスでもありません)。

• 位相空間のカテゴリ – オブジェクトが位相空間であり、その射が連続写像であるカテゴリフォールバックとしてウィキデータの説明を表示するページ
• 集合のカテゴリ – 対象が集合である数学のカテゴリ
• 測定空間のカテゴリ
• マルコフカーネルのカテゴリ – 「マルコフカーネル」よりも詳細な、マルコフカーネルのカテゴリの定義とプロパティ。
• 測定可能空間 – 測度論における基本オブジェクト、集合とシグマ代数
• 測定可能な関数 – 数学関数の一種