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数学において、随伴空間（または接続空間）は、位相空間が別の位相空間に接続または「接着」される一般的な構成です。具体的には、XとY を位相空間とし、A をYの部分空間とします。f : A → X を連続写像（接続写像と呼ばれる）とします。随伴空間X ∪ f Y （ X + f Yと表記されることもあります）は、 XとYの非結合和をとり、Aのすべてのaについてaをf ( a )と同一視することで形成されます。正式には、
ここで、同値関係~ は、 Aのすべてのaに対してa ~ f ( a )によって生成され、商には商位相が与えられます。集合として、X ∪ f Y は、 Xと ( Y − A )の互いに素な和集合で構成されます。ただし、位相は商構成によって指定されます。
直感的には、 Y はマップf を介してXに貼り付けられていると考えることができます。
例
- 付加空間の一般的な例として、Yが閉じたn球(またはセル) で、Aが球の境界、つまり ( n −1)球である場合が挙げられます。この空間に球面境界に沿ってセルを誘導的に付加すると、 CW 複合体の例が得られます。
- 付加空間は多様体の連結和を定義するためにも使用されます。ここでは、まずXとYから開いたボールを削除してから、削除したボールの境界を接続マップに沿って接続します。
- A が1 点の空間である場合、付加はXとYのくさび和です。
- X が1 点の空間である場合、付加項は商Y / Aです。
プロパティ
連続写像h : X∪fY → Zは、A内 のすべてのaに対してhX ( f ( a ))= hY ( a )を満たす連続写像hX : X → ZとhY : Y → Zのペアと1-1対応している。
AがYの閉じた部分空間である場合、写像X → X ∪ f Yは閉じた埋め込みであり、( Y − A ) → X ∪ f Yは開いた埋め込みであることが示されます。
カテゴリ別説明
付加構造は位相空間のカテゴリにおけるプッシュアウトの例です。つまり、付加空間は次の可換図式に関して普遍的です。
ここでi は包含写像であり、Φ X、Φ Y は商写像とXとYの非交わりの和への標準射影とを合成して得られる写像である。 i を任意の連続写像gに置き換えることで、より一般的なプッシュアウトを形成できる。その構成は同様である。逆に、 fも包含写像である場合、接続構成はXとY を共通の部分空間に沿って単純に接着するだけである。
参照
参考文献
- スティーブン・ウィラード著『一般位相幾何学』(1970年)、アディソン・ウェスレー出版社、マサチューセッツ州リーディング。(非常に短い紹介文が掲載されています。)
- 「付加空間」。PlanetMath 。
- Ronald Brown、「トポロジーと群体」pdf が利用可能、(2006) アマゾンのサイトから入手可能。ホモトピー型の付加空間について説明し、付加空間を (有限) セル複合体の入門として使用します。
- JHC Whitehead の「Borsuk による定理に関する注記」Bull AMS 54 (1948)、1125-1132 は、私が知る限り「adjuction space」という用語を使用した最も古い外部参考文献です。