位相空間のカテゴリ

数学において、位相空間のカテゴリ（ Topと表記されることが多い）は、そのオブジェクトが位相空間であり、その射が連続写像であるカテゴリである。2 つの連続写像の合成が再び連続し、恒等写像が連続するため、これはカテゴリである。カテゴリ理論の手法を使用してTopおよび位相空間の特性を研究することをカテゴリ位相学と呼ぶ。

注: 一部の著者は、位相多様体を持つカテゴリ、 コンパクト生成空間をオブジェクトとして、連続写像を射として持つカテゴリ、またはコンパクト生成弱ハウスドルフ空間のカテゴリに対してTopという名前を使用しています。

多くのカテゴリと同様に、カテゴリTopは具体的なカテゴリであり、そのオブジェクトは追加の構造（つまり位相）を持つ集合であり、その射はこの構造を保存する関数である。自然な忘却関手が存在する。

U  :トップ→セット

各位相空間に基礎集合を割り当て、各連続写像に基礎関数を割り当てる集合のカテゴリ。

忘却関手Uは左随伴関数と

D  :セット→トップ

これは、与えられた集合に離散位相と右随伴位相を付与する。

I  :設定→トップ

これは、与えられた集合に非離散位相を装備します。これらの関数は両方とも、実際にはUの右逆関数です（つまり、UDとUI はSet上の恒等関数に等しい）。さらに、離散空間間または非離散空間間の任意の関数は連続であるため、これらの関数は両方ともSetのTopへの完全な埋め込みを提供します。

Top はファイバー完全でもあり、これは与えられた集合X上のすべての位相のカテゴリ( X上のUのファイバーと呼ばれる) が包含によって順序付けられたときに完全な格子を形成することを意味します。このファイバーの最大要素はX上の離散位相であり、最小要素は非離散位相です。

Top は、位相カテゴリと呼ばれるもののモデルです。これらのカテゴリは、すべての構造化ソースが一意の初期リフトを持つという事実によって特徴付けられます。Top では、初期リフトは、ソースに初期トポロジを配置することによって取得されます。位相カテゴリには、 Topと共通する多くの特性があります(ファイバー完全性、離散および非離散関数、および極限の一意のリフトなど)。 ${\displaystyle (X\to UA_{i})_{I}}$${\displaystyle (A\to A_{i})_{I}}$

カテゴリTop は完全かつ余完全であり、これはすべての小さな極限と余極限がTopに存在することを意味します。実際、忘却関手U  : Top → Set は、極限と余極限の両方を一意に持ち上げ、それらも保存します。したがって、Topの (余) 極限は、 Setの対応する (余) 極限に位相を置くことによって与えられます。

具体的には、F がTopの図式であり、 ( L、φ  : L → F ) がSetのUFの極限である場合、 TopのFの対応する極限は、初期位相を ( L、φ  : L → F )に配置することによって得られます。同様に、Topの余極限は、最終位相をSetの対応する余極限に配置することによって得られます。

多くの代数的カテゴリとは異なり、忘却関手U  : Top → Set は、通常、 Topに非普遍錐があり、それがSetの普遍錐を覆うため、極限を作成または反映しません。

Topにおける極限と余極限の例には次のものがあります。

• 空集合（位相空間として考えた場合）はTopの初期オブジェクトです。任意のシングルトン位相空間は終端オブジェクトです。したがって、 Topにはゼロオブジェクトは存在しません。
• Topの積は、直積上の積位相によって与えられます。余積は、位相空間の互いに素な和集合によって与えられます。
• 一対の射のイコライザーは、集合論的イコライザーに部分空間位相を配置することによって与えられます。双対的に、コイコライザーは、集合論的コイコライザーに商位相を配置することによって与えられます。
• 直接極限と逆極限は、それぞれ最終トポロジと初期トポロジを持つ集合論的極限です。
• 付加空間はTopにおけるプッシュアウトの例です。

• Topにおける単射写像は単射連続写像であり、エピモーフィズムは射影連続写像であり、同型写像は同相写像である。
• 極限単射は（同型性を除いて）部分空間埋め込みです。実際、Topではすべての極限単射が、正則であるというより強い性質を満たしています。
• 極値写像は（本質的には）商写像である。すべての極値写像は正則である。
• 分割単射は、（本質的には）リトラクトをその周囲空間に含めることです。
• 分割エピモーフィズムは、（同型を除いて）空間からそのリトラクトの 1 つへの連続射影写像です。
• Topには零射は存在せず、特にカテゴリは前加法的ではありません。
• Top はすべての空間に対して指数対象を持たないため、直積閉ではない（したがってトポスでもない）。この特徴が望ましい場合、コンパクト生成ハウスドルフ空間CGHausの完全なサブカテゴリ、またはコンパクト生成弱ハウスドルフ空間 のカテゴリに制限されることが多い。しかし、Top は擬位相の指数カテゴリに含まれており、擬位相の指数カテゴリ自体は（これも指数的な）収束空間のカテゴリのサブカテゴリである。^[1]

• 尖った位相空間 Topのカテゴリ_•はTop上の余スライスカテゴリです。
• ホモトピー圏 hTop には、オブジェクトの位相空間と、射の連続写像のホモトピー同値類があります。これはTopの商圏です。同様に、尖ったホモトピー圏hTop _•を形成することもできます。
• Top には、ハウスドルフ空間の重要なカテゴリHaus が完全なサブカテゴリとして含まれています。このサブカテゴリの追加構造により、より多くのエピモーフィズムが可能になります。実際、このサブカテゴリのエピモーフィズムは、まさにその共領域に稠密な像を持つ射であり、そのためエピモーフィズムは全射である必要はありません。
• Top には、コンパクトに生成されたハウスドルフ空間の完全なサブカテゴリCGHaus が含まれます。これは、デカルトの閉じたカテゴリでありながら、関心のある典型的な空間をすべて含むという重要な特性を持っています。このため、CGHaus は位相空間の特に便利なカテゴリとなり、 Topの代わりによく使用されます。
• Setへの忘却関手には、具体的なカテゴリのセクションで説明したように、左随伴関数と右随伴関数の両方があります。
• 局所 のカテゴリLocには、位相空間をその開集合の局所に送る関数があります。この関数には、各局所をその点の位相空間に送る右随伴関数があります。この随伴関数は、厳密な空間のカテゴリと空間の局所間の同値に制限されます。
• ホモトピー仮説は、 Top を∞-群体のカテゴリである∞Grpdに関連付けます。この予想は、 ∞-群体は、弱いホモトピー同値を除いて位相空間と同値であると述べます。

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