サブカテゴリ

数学、特に圏論において、ある圏のサブカテゴリー$\displaystyle {\mathcal {C}}}$カテゴリです$\displaystyle {\mathcal {S}}}$そのオブジェクトは$\displaystyle {\mathcal {C}}}$そしてその射は$\displaystyle {\mathcal {C}}}$同じ同一性と射の構成を持つ。直感的には、$\displaystyle {\mathcal {C}}}$は、$\displaystyle {\mathcal {C}}}$オブジェクトや矢印の一部を「削除」することによって。

させて$\displaystyle {\mathcal {C}}}$カテゴリである。サブカテゴリである。$\displaystyle {\mathcal {S}}}$の$\displaystyle {\mathcal {C}}}$は

• オブジェクトのサブコレクション$\displaystyle {\mathcal {C}}}$、と表記される${\displaystyle \operatorname {ob} ({\mathcal {S}})}$、
• 射のサブコレクション$\displaystyle {\mathcal {C}}}$、と表記される$\displaystyle \operatorname {mor} ({\mathcal {S}})}$。

そのため

• すべての${\displaystyle X}$で${\displaystyle \operatorname {ob} ({\mathcal {S}})}$恒等射 id_{${\displaystyle X}$}は$\displaystyle \operatorname {mor} ({\mathcal {S}})}$、
• すべての射に対して${\displaystyle f:X\to Y}$で$\displaystyle \operatorname {mor} ({\mathcal {S}})}$情報源も${\displaystyle X}$そしてターゲット${\displaystyle Y}$は${\displaystyle \operatorname {ob} ({\mathcal {S}})}$、
• 射のペアごとに${\displaystyle f}$そして${\displaystyle g}$で$\displaystyle \operatorname {mor} ({\mathcal {S}})}$複合${\displaystyle f\circ g}$は$\displaystyle \operatorname {mor} ({\mathcal {S}})}$定義されたときであればいつでも。

これらの条件により、$\displaystyle {\mathcal {S}}}$はそれ自体が一つのカテゴリーです。そのオブジェクトのコレクションは${\displaystyle \operatorname {ob} ({\mathcal {S}})}$射の集合は$\displaystyle \operatorname {mor} ({\mathcal {S}})}$、その同一性および構成は、次のとおりである。$\displaystyle {\mathcal {C}}}$明らかに忠実なファンクターが存在する${\displaystyle I:{\mathcal {S}}\to {\mathcal {C}}}$これは包含関手と呼ばれ、対象と射を自身に取り込む。

させて$\displaystyle {\mathcal {S}}}$カテゴリのサブカテゴリである$\displaystyle {\mathcal {C}}}$私たちはこう言います$\displaystyle {\mathcal {S}}}$は完全なサブカテゴリ$\displaystyle {\mathcal {C}}}$オブジェクトの各ペアについて${\displaystyle X}$そして${\displaystyle Y}$の$\displaystyle {\mathcal {S}}}$、

${\displaystyle \mathrm {Hom} _{\mathcal {S}}(X,Y)=\mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(X,Y).}$

完全サブカテゴリとは、すべての射を含むサブカテゴリのことである。$\displaystyle {\mathcal {C}}}$オブジェクト間の$\displaystyle {\mathcal {S}}}$任意のオブジェクトの集合${\displaystyle A}$で$\displaystyle {\mathcal {C}}}$独自の完全なサブカテゴリがあります$\displaystyle {\mathcal {C}}}$その対象は${\displaystyle A}$。

• 有限集合の圏は、集合の圏の完全部分圏を形成する。
• 対象が集合であり、射が全単射である圏は、集合の圏の非完全部分圏を形成する。
• アーベル群の圏は、群の圏の完全な部分圏を形成する。
• 環の圏（射が単位保存環準同型である）は、 rngの圏の非完全部分圏を形成する。
• 分野について${\displaystyle K}$カテゴリー${\displaystyle K}$-ベクトル空間は、（左または右）のカテゴリの完全なサブカテゴリを形成します${\displaystyle K}$-モジュール。

サブカテゴリが与えられた場合$\displaystyle {\mathcal {S}}}$の$\displaystyle {\mathcal {C}}}$包含関数${\displaystyle I:{\mathcal {S}}\to {\mathcal {C}}}$は、対象に対して忠実かつ単射である。 は、次の場合に限り完全である。$\displaystyle {\mathcal {S}}}$これは完全なサブカテゴリです。

埋め込みを完全かつ忠実な関手と定義する著者もいる。このような関手は、同型を除いて対象に対して必ず単射である。例えば、米田埋め込みはこの意味での埋め込みである。

一部の著者は、埋め込みを、対象に対して単射である完全かつ忠実なファンクターと定義している。^{[ 1 ]}

他の著者は、ファンクターが対象に対して忠実かつ単射である場合、それを埋め込みと定義している。同様に、${\displaystyle F}$射に対して単射である場合、それは埋め込みである。関手${\displaystyle F}$が完全関数であり、かつ埋め込みである場合、それは完全埋め込みと呼ばれます。

前の段落の定義により、任意の（完全な）埋め込みに対して${\displaystyle F:{\mathcal {B}}\to {\mathcal {C}}}$のイメージ​${\displaystyle F}$（完全な）サブカテゴリです$\displaystyle {\mathcal {S}}}$の$\displaystyle {\mathcal {C}}}$、 そして${\displaystyle F}$カテゴリー間の同型性を誘導する$\displaystyle {\mathcal {B}}}$そして$\displaystyle {\mathcal {S}}}$。 もし${\displaystyle F}$は完全かつ忠実な関手であるが、必ずしも対象に単射であるとは限らない。${\displaystyle F}$と同等​$\displaystyle {\mathcal {B}}}$。

いくつかの圏では、その圏の射を埋め込みと呼ぶこともできます。

サブカテゴリ$\displaystyle {\mathcal {S}}}$の$\displaystyle {\mathcal {C}}}$すべての同型が​${\displaystyle k:X\to Y}$で$\displaystyle {\mathcal {C}}}$そのため${\displaystyle Y}$は$\displaystyle {\mathcal {S}}}$また、$\displaystyle {\mathcal {S}}}$同型閉包完全部分圏は厳密に完全であると言われる。

サブカテゴリ$\displaystyle {\mathcal {C}}}$は、すべてのオブジェクトを含む場合、ワイドまたはlluf (ピーター・フレイド^{[ 2 ]}によって最初に提唱された用語)です。$\displaystyle {\mathcal {C}}}$^{[ 3 ]}広いサブカテゴリは通常完全ではありません。カテゴリの唯一の広い完全なサブカテゴリは、そのカテゴリ自体です。

セール部分圏とは、空でない完全部分圏のことである。$\displaystyle {\mathcal {S}}}$アーベル圏の$\displaystyle {\mathcal {C}}}$すべてのショート完全シーケンスに対して

${\displaystyle 0\to M'\to M\to M''\to 0}$

で$\displaystyle {\mathcal {C}}}$、${\displaystyle M}$に属する$\displaystyle {\mathcal {S}}}$両方が${\displaystyle M'}$そして ${\displaystyle M''}$そうです。この概念は、セールのC理論から生じています。

• 反省的サブカテゴリー
• 正確なカテゴリ、拡張機能で閉じられた完全なサブカテゴリ。